簡璐 蔣香玲

“創(chuàng)課導學”教學法具有鮮明的直觀性、形象性，能將抽象的數(shù)學概念形象化，有助于學生深刻理解數(shù)學概念.下面，筆者以人教A版高中數(shù)學必修1“3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點”教學為例，介紹“創(chuàng)課導學”教學法在數(shù)學概念課中的具體運用.

一、教學內(nèi)容分析及數(shù)學概念課“創(chuàng)課導學”授課路徑設計

系統(tǒng)學習函數(shù)的概念、性質(zhì)及三個基本初等函數(shù)，學會運用函數(shù)解決實際問題，是高中數(shù)學的重要學習任務.“方程的根與函數(shù)的零點”一課的學習目標之一，是發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)的零點之間的關系，探究函數(shù)零點的存在性定理.然而，由于學生的函數(shù)思維不夠深刻、抽象能力不足，采取傳統(tǒng)教學方法很難達成這一目標.于是，我們借助PAD技術引導學生探究函數(shù)零點概念的生成與發(fā)展過程，最終達到運用知識解決問題的目的.

遵循“創(chuàng)課導學”教學法和概念課教學策略，我們設計了本課的教學流程（如圖1）：在“問題導向”環(huán)節(jié)，通過給出具體實例，創(chuàng)設問題情境，讓學生自主探究二次函數(shù)圖象與一元二次方程的根的存在性和根的個數(shù)間的關系，引出函數(shù)的零點概念，向?qū)W生呈現(xiàn)數(shù)學概念的生成與辨析過程;在“實驗導學”環(huán)節(jié)，借助PAD、PowerPoint2010、Excel、交互智能平板、動態(tài)幾何畫板等現(xiàn)代信息技術，采取以形輔數(shù)、數(shù)形結合的學習方法，讓學生對在“問題導向”環(huán)節(jié)中獲得的知識進行反復實驗、論證，嘗試總結、提煉出一般方程與相應函數(shù)的關系，培養(yǎng)邏輯推理、抽象概括的能力，形成函數(shù)的零點概念;在“目標解惑”環(huán)節(jié)，呈現(xiàn)習題，讓學生嘗試遷移運用所學知識和方法解決相關問題，真正掌握函數(shù)的零點概念.

具體來說，就是在“問題導向”環(huán)節(jié)，以紅軍四渡赤水的故事導入，呈現(xiàn)“問題導向任務單”（如圖2）.在“實驗導學”環(huán)節(jié)，讓學生利用PAD技術作圖和計算，自主繪制函數(shù)圖象，運用變量思想確定參數(shù)并開展模擬實驗，計算函數(shù)值，探究函數(shù)的零點的存在性定理，生成相關概念.在這個環(huán)節(jié)中，學生經(jīng)歷了直觀感知、類比歸納、抽象概括等思維過程，體驗了函數(shù)的零點概念的生成與發(fā)展、拓展與延伸.在“目標解惑”環(huán)節(jié)，設計相關練習題，引導學生研究圖形、比較數(shù)據(jù)、辨析函數(shù)值符號，判斷函數(shù)的零點是否存在，了解零點存在的條件，最終歸納出函數(shù)的零點的存在性定理.

“零點”作為方程與函數(shù)的結合點，揭示了函數(shù)與方程二者聯(lián)系的本質(zhì).因此，用函數(shù)的觀點研究方程，就是將局部問題置于整體體系中研究，將靜態(tài)結果放在動態(tài)過程中研究，這樣能較好地培養(yǎng)學生的整體觀、發(fā)展觀.學習本課，可為學生后續(xù)學習“用二分法求方程的近似解”提供認知基礎.

二、基于PAD技術的數(shù)學概念課教學實踐

沿著既定的教學路徑，我們在本課教學中設計了“情境引入，問題導向→實驗導學，生成概念→深層推進，辨析概念→目標解惑，鞏固概念→簡單應用，總結提升”5個教學環(huán)節(jié).

（一）情境引入，問題導向

師：這是歷史上著名的紅軍四渡赤水戰(zhàn)役，其中包含了許多數(shù)學問題.（播完視頻后展示圖片，如圖3.）看看這張圖片，你覺得哪種情形說明紅軍已經(jīng)渡過了赤水河？為什么？若將赤水河當作坐標系中的x軸，紅軍走過的路線當作函數(shù)圖象，你覺得這和方程與函數(shù)的知識有什么關聯(lián)？

生：紅軍在1月28日、2月7日出現(xiàn)在河的兩岸，說明已經(jīng)渡過了赤水河.如果將赤水河當作x軸，紅軍走過的路線當作函數(shù)圖象，則函數(shù)圖象穿過了x軸.

師：非常好！看來大家對函數(shù)和方程有了一定的了解.請你們再看看這兩個方程.（課件出示方程[x2-][2x-3=0]和[lnx+2x-6=0.]）根據(jù)前面的觀察和學過的知識，你能判斷這兩個方程有實數(shù)根嗎？你是用什么方法判斷的？

生：能.比如方程[x2-2x-3=0，]可以用判別式法、因式分解法、求根公式法進行判斷.

師：用同樣的方法能否判斷方程[lnx+2x-6=0]的根的情況？

生：不能.

師：我們能否找到一種可以判斷各種一元方程的根的情況的方法？

教師用歷史故事創(chuàng)設問題情境，體現(xiàn)了“數(shù)學應用”的思想;以學生的經(jīng)驗為基礎，提出具有探究性、趣味性、開放性的問題，激發(fā)學生的學習興趣和探究欲望，讓學生在解決問題的過程中培養(yǎng)抽象思維能力.

（二）實驗導學，生成概念

師：請用PAD畫出以下3個函數(shù)的圖象，觀察并完成以下任務.（課件呈現(xiàn)表1.）據(jù)此，你覺得一元二次方程的根和相應二次函數(shù)圖象與x軸交點之間有怎樣的關系？（生用PAD作圖，討論后得出結論：一元二次方程有幾個根，相應的二次函數(shù)圖象就與x軸有幾個交點.）

師：這個結論可以推廣到一般的方程與函數(shù)嗎？請你用學過的幾類函數(shù)的知識來解決，并作圖，舉例說明.

生1：二次函數(shù)與x軸有一個交點，對應的一元二次方程有1個根.

生2：對數(shù)函數(shù)也滿足.

生3：還有冪函數(shù).

師：（投屏學生作圖）根據(jù)你們所說，老師做了一下提煉.若方程[f（x）=0]有實數(shù)根（x=x0），則函數(shù)[y=f（x）]的圖象與x軸有交點（橫坐標x=x0）.對于這個橫坐標，我們賦予它一個新的名稱——“零點”（板書零點的定義，略）.結合定義，你覺得函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)圖象與x軸的交點，三者之間有什么關系？

生：三者是一樣的.

師：你說得大致對了，但這樣說會更準確.當x=x0時，函數(shù)[y=f（x）]有零點;當x=x0時，方程[f（x）=0];當橫坐標x=x0時，函數(shù)[y=f（x）]的圖象與x軸有交點.

為了加深學生的理解，教師進一步設計了隨堂檢測題.

教師用兩道例題，讓學生進行函數(shù)區(qū)間端點的函數(shù)值乘積符號的比較，從中學會了判斷零點是否存在的方法;然后根據(jù)學生所得的結論，讓學生回歸紅軍四渡赤水的問題并進行繪圖演示（如圖5），解釋是否存在零點與紅軍是否過河的關系，驗證結論是否正確.在這個過程中，學生進行了反向思考、多維度思考，領悟了“連續(xù)不斷”的含義，掌握了“零點存在性定理中兩個條件缺一不可”的知識.

教師用一個實例引導學生借助PAD技術畫出函數(shù)圖象，完成相應表格，通過數(shù)形結合幫助學生學會確定函數(shù)的零點及零點個數(shù)的方法，并設計不同的解題情境，啟發(fā)學生尋找不同的解題方法.在這個過程中，學生“做中學，學中做”，既拓寬了解題思路，又加深了對零點存在性定理的理解，提高了數(shù)學思維能力，培養(yǎng)了數(shù)學思想.

（五）簡單應用，總結提升

教師出示兩道例題，引導學生學會運用函數(shù)的零點知識解決實際問題.

[例題5]請觀察下圖（如圖8）.這是氣象局觀測到的新疆某天的氣溫變化模擬函數(shù)圖（一個連續(xù)不間斷的函數(shù)圖象），由于圖中有一段圖象被墨水污染了，現(xiàn)在小明想了解當天從a時到b時有沒有溫度是0攝氏度的情況，請你幫幫他.問：有沒有可能出現(xiàn)0攝氏度的情況？為什么？如果有，可能出現(xiàn)幾次？

在解決問題過程中，學生進一步理解了確定函數(shù)的零點及零點個數(shù)的方法，并梳理出“一組關系、兩種問題、三種思想”，即函數(shù)的零點與方程的根的關系，求函數(shù)的零點問題、判斷零點個數(shù)和所在區(qū)間的問題，以及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.

本課以一個切合教學內(nèi)容的紅軍四渡赤水戰(zhàn)役為背景引入課題，滲透了愛國主義教育，激發(fā)了學生的求知欲和學習熱情;然后，根據(jù)“創(chuàng)課導學”教學法的理念，設計了“挖掘現(xiàn)實問題→把現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學問題→引入課題→形成認知沖突→探索新知→應用新知解決現(xiàn)實問題”的教學思路，以現(xiàn)實問題作為學生探究的對象，并結合學生的知識水平、認知水平進行設問和引導，要求學生利用PAD技術探究問題、解決問題，嘗試總結出一般性的解題方法，提升學科核心素養(yǎng)，為后續(xù)學習“用二分法求方程的近似解”“函數(shù)模型及其應用”等知識打下了良好基礎.

這節(jié)課還告訴學生一個道理：數(shù)學知識存在于生活的每一個角落，要學會用數(shù)學的眼光看世界，要善于發(fā)掘生活、歷史、政治、科學等存在的數(shù)學問題，不斷提升我們的數(shù)學學科素養(yǎng).

在落實本課教學過程中，教師既注重學科知識與現(xiàn)實生活的對接，關注學生認知能力、實操能力等的提升，又重視學生探究問題習慣的培養(yǎng)，各教學環(huán)節(jié)逐層推進、前后呼應，有效達成了提升學生學科學習能力和核心素養(yǎng)的目標.（題圖左為作者簡璐，右為作者蔣香玲）

（責編 蒙秀溪）