王蔚松，吳洪波，王靈杰，劉銘鑫，趙尚男，張 新*

（1.中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所光學(xué)系統(tǒng)先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林 長(zhǎng)春 130033；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

1 引 言

單像素成像（Single Pixel Imaging，SPI）作為新興的計(jì)算成像技術(shù)，其利用結(jié)構(gòu)光調(diào)制，僅使用一個(gè)不具備空間分辨能力的單像素探測(cè)器實(shí)現(xiàn)成像，能夠感知微弱光強(qiáng)的變化，具有很高的探測(cè)效率［1］，隨著硬件性能的提升，且價(jià)格相較于面陣探測(cè)器更便宜，SPI在不可見(jiàn)光波段如紅外、X、熒光、太赫茲波段具有優(yōu)勢(shì)。SPI能夠在時(shí)間維度上編碼空間信息［2］，記 錄一維的光強(qiáng)信號(hào)，因此具有極高的時(shí)間分辨率，可應(yīng)用于時(shí)間域的成像［3］或發(fā)展超快成像領(lǐng)域［4-5］。

單像素成像是通過(guò)犧牲時(shí)間換取空間的成像方法，對(duì)場(chǎng)景需要進(jìn)行大量的采樣。采樣的結(jié)構(gòu)光基底分為非正交基底和正交基底，通過(guò)參考光（結(jié)構(gòu)光）與信號(hào)光之間的關(guān)聯(lián)運(yùn)算進(jìn)行成像［6–8］。使用隨機(jī)散斑或者二進(jìn)制圖案作為非正交基底對(duì)光場(chǎng)進(jìn)行編碼，需要遠(yuǎn)大于重建圖像分辨率的采樣次數(shù)才能夠恢復(fù)清晰的圖像［9-10］，比 如Sun使 用 了106種隨機(jī)圖案進(jìn)行了百萬(wàn)次測(cè)量來(lái)重建分辨率為256×192的圖像［11］。即使使用空間光調(diào)制器件加快了調(diào)制速率，采樣數(shù)量和成像時(shí)間仍是限制單像素成像技術(shù)應(yīng)用的重要因素。壓縮感知技術(shù)指出，低于奈奎斯特采樣頻率的信號(hào)也能夠恢復(fù)原始信號(hào)［12］，基于壓縮感知算法的單像素成像算法極大的降低采樣次數(shù)，并且能夠恢復(fù)低噪聲和高質(zhì)量的圖像［13-16］。但隨之帶來(lái)較長(zhǎng)的重建時(shí)間依然限制了成像效率。

此時(shí)一些具有正交性的感知矩陣進(jìn)入研究人員的視野。根據(jù)變換基底的不同，產(chǎn)生了基于小波變換［17-18］、離散余弦變換［19］、傅里葉變換［20-22］、哈達(dá)瑪變換［23-25］等單像素成像技術(shù)，在數(shù)學(xué)上促進(jìn)了各成像領(lǐng)域之間的融合。單采樣的次數(shù)等價(jià)于圖像分辨率大小，因此仍表現(xiàn)為低幀速率成像。為降低采樣次數(shù)，Bian提出的eSPI方法，提取并恢復(fù)頻域占比最大的區(qū)域，將采樣數(shù)量降低了兩個(gè)數(shù)量級(jí)［26］，Shi等人在稀疏傅里葉單像素成像的基礎(chǔ)上結(jié)合了壓縮感知技術(shù)，在降低采樣數(shù)量的同時(shí)提高了成像的質(zhì)量［27］。實(shí)際上，場(chǎng)景中的有效信息僅占場(chǎng)景的一部分，Sun等人使用小波變換提取目標(biāo)中的感興趣區(qū)域，并使用哈達(dá)瑪單像素成像方法對(duì)感興趣區(qū)域進(jìn)行高分辨率重建［17］，其屬于多分辨率成像的范疇；Ji‐ang等人通過(guò)傅里葉切片定理定位一個(gè)目標(biāo)區(qū)域，并在目標(biāo)區(qū)域自適應(yīng)的進(jìn)行傅里葉單像素成像，降低了采樣圖案的數(shù)量［28］，但只能夠?qū)我荒繕?biāo)成像；Shi給出了使用Hadamard變換實(shí)現(xiàn)目標(biāo)邊緣定位的方案，具有極高的檢測(cè)速度［29］，但需要背景信息作為先驗(yàn)，并且沒(méi)有實(shí)現(xiàn)目標(biāo)區(qū)域的成像。

Radon變換建立了物體內(nèi)部元素與投影數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，Harald最早將Radon變換用于單像素成像［30］，但使用旋轉(zhuǎn)的機(jī)械結(jié)構(gòu)和標(biāo)線圓盤(pán)提取Radon變換系數(shù)會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，且標(biāo)線圓盤(pán)靈活性差；Shi通過(guò)空間光調(diào)制器產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)光對(duì)整個(gè)場(chǎng)景進(jìn)行調(diào)制，實(shí)現(xiàn)了Radon單像素成像（Radon Single-Pixel Imaging，RSI）［31］，需要等同于圖像分辨率的采樣次數(shù)才能夠?qū)崿F(xiàn)高質(zhì)量成像。本文在Radon單像素成像的基礎(chǔ)上，提出了自適應(yīng)Radon單像素成像方法（Adaptive Ra‐don Single-Pixel Imaging，ARSI），使用Radon投影變換定位目標(biāo)區(qū)域的基礎(chǔ)上，匹配的基底圖案大小，對(duì)目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行單像素采樣和重建，提高了單像素成像的成像效率。

2 基本原理

2.1 基于ARSI的目標(biāo)區(qū)域定位

如圖1（a）所示，場(chǎng)景的分辨率為256×256，場(chǎng)景中的有效信息僅集中在矩形框中，我們稱(chēng)之為目標(biāo)區(qū)域。使用傳統(tǒng)的單像素成像方法，在不結(jié)合壓縮感知技術(shù)的前提下，至少需要256×256次采樣，才能夠清楚地重建整幅場(chǎng)景圖片，以保證目標(biāo)區(qū)域成像質(zhì)量。實(shí)際上，背景中基本包含很少量的信息，在采樣過(guò)程中可以被忽略，因此僅對(duì)目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行采樣與重建能夠大量減少單像素成像的采樣數(shù)量。ARSI方法的關(guān)鍵問(wèn)題分為使用目標(biāo)區(qū)域的定位與重建。

Radon變換可被描述為：給定圖像Radon變換是圖像沿給定角度的線積分［32］，也被形容為圖像在給定方向上的投影。Radon變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

L是xOy面上的直線，s是原點(diǎn)到L的距離，θ是L的法線與x軸正向的交角。s和θ是直線L的位置參數(shù)，給定s和θ時(shí)L被唯一確定。r(s，θ)的集合被稱(chēng)為f(x，y)的Radon變換，其中項(xiàng)δ是狄拉克分布函數(shù)。

根據(jù)Radon投影變換定理，圖像在不同方向的投影積分曲線表現(xiàn)出不同的分布特征，這是ARSI定位目標(biāo)區(qū)域的依據(jù)，因此我們分別提取圖像在x方向和y方向的投影曲線，此時(shí)θ=0和

圖1（b）為圖像在x方向的投影分布r(s)θ=0，圖1（c）為圖像在y方向的投影分布r(s)θ=π/2。目標(biāo)區(qū)域的能量分布與背景具有顯著的差別，通過(guò)邊緣檢測(cè)［33］能夠得到目標(biāo)區(qū)域的邊界點(diǎn)(x1，y1)(x2，y1)(x1，y2)(x2，y2)，目標(biāo)區(qū)域的中心坐標(biāo)為，記為M(xr，yr)。圖1（d）為場(chǎng)景的Radon投影變換，紅色曲線為四個(gè)邊緣點(diǎn)的Radon投影結(jié)果，每一個(gè)點(diǎn)的投影軌跡都表現(xiàn)為正弦分布，并且目標(biāo)區(qū)域Radon投影變換后，其能量分布集中在四條正弦曲線限制的范圍內(nèi)。

圖1 目標(biāo)區(qū)域定位方法Fig.1 Target region positioning method

場(chǎng)景圖像f（x，y）的大小為N×N，實(shí)現(xiàn)單像素成像的Radon投影變換基底模式為：

其作用為提取圖像在給定直線L(s，θ)上的所有像素點(diǎn)，遍歷所有的s和θ即可獲得圖像Ra‐don投影變換。而P(s，θ)在空間光調(diào)制器上表現(xiàn)為“亮”直線，編碼方式雖然簡(jiǎn)單，但是每次僅獲取一條直線上的像素點(diǎn)，SLM的運(yùn)用效率極低，且獲取的光強(qiáng)值極小。本文結(jié)合Hadamard變換，使用統(tǒng)計(jì)學(xué)原理獲取圖像在不同方向上的投影能量［31，29］。Radon-Hadamard（R-H）基底為：

其中，H-1{}表示哈達(dá)瑪變換，Tθ表示旋轉(zhuǎn)因子。Radon-Hadamard模式基底圖案如圖2所示，圖2（a）（b）分別為獲得圖像在x和y方向的投影模式圖案，選取i=3階Radon-Hadamard示例以簡(jiǎn)要顯示。

圖2 三階Radon-Hadamard基底圖案Fig.2 Third-order Radon-Hadamard basis pattern

使用Radon-Hadamard基底對(duì)場(chǎng)景圖片的采樣獲得的測(cè)量值為：

D+和D-分別為單像素探測(cè)器獲得的測(cè)量值，差分的測(cè)量方式能夠有效的抑制噪聲［24］，通過(guò)R-H模式獲取的Radon投影變換域的系數(shù)為：

當(dāng)θ=0和θ=π/2則能夠獲得圖1（b）和圖1（c）對(duì)應(yīng)的投影曲線?？紤]到Radon變換的周期特性，全采樣需要的角度范圍是[0，π)，因此對(duì)整個(gè)場(chǎng)景進(jìn)行全采樣所需的模式圖案數(shù)量為Np=2×m×N，m為投影方向的數(shù)量（m=π/Δθ，Δθ為角度的采樣間隔）。

如圖3（a）所示，ARSI通過(guò)投影定位出目標(biāo)區(qū)域，僅對(duì)目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行單像素采樣和成像，能夠很大程度降低測(cè)量次數(shù)。如圖3（b）所示，我們計(jì)算目標(biāo)區(qū)域的中心坐標(biāo)為M(xr，yr)，選取與目標(biāo)區(qū)域大小接近的Radon-Hadamard模式作為采樣圖案，新的R-H模式大小為n×n(n=2i，n≤N)，小于場(chǎng)景分辨率N×N。更新后的目標(biāo)區(qū)域大于原始目標(biāo)區(qū)域，降低了對(duì)初始目標(biāo)區(qū)域定位的精度要求。此時(shí)所單像素成像需要的采樣數(shù)量為Np=2×m×n。R-H模式變?yōu)椋?/p>

圖3 匹配目標(biāo)區(qū)域Fig.3 Matched target region

目標(biāo)區(qū)域的Radon變換域?yàn)椋?/p>

其中s_r為目標(biāo)區(qū)域的投影坐標(biāo)，更新后的目標(biāo)區(qū)域大小為n×n，中心坐標(biāo)不變，此時(shí)目標(biāo)區(qū)域的范圍變?yōu)椋?/p>

圖4為ARSI對(duì)目標(biāo)區(qū)域Ω(x，y)的采樣過(guò)程，通過(guò)單像素成像方法，使用圖4（c）中不同的R-H模式圖案調(diào)制目標(biāo)區(qū)域，能夠獲取如圖4（d）所示的Radon變換域。

圖4 場(chǎng)景全采樣和目標(biāo)區(qū)域采樣：（a）目標(biāo)區(qū)域定位；（b）目標(biāo)區(qū)域采樣；（c）不同的R-H模式圖案；（d）目標(biāo)區(qū)域的Radon變換Fig.4 Full sampling of the scene and sampling of the tar‐get region：（a）Target region positioning；（b）Tar‐get region sampling；（c）Different R-H pattern pat‐terns；（d）Radon transform of the target region

我們定義目標(biāo)區(qū)域和場(chǎng)景區(qū)域的采樣壓縮比為：

其中，t為目標(biāo)個(gè)數(shù)。

2.2 圖像重建

濾波反投影算法用于重建圖像，其多用于計(jì)算機(jī)斷層成像領(lǐng)域，能夠?qū)D像信息從Radon變換域轉(zhuǎn)為空間域，其表達(dá)式為：

r(s，θ)為單像素方法獲取的Radon變換域，h(s)為濾波器函數(shù)，當(dāng)不存在h(s)時(shí)，公式（15）為直接反投影的過(guò)程，f(x，y)中會(huì)存在星狀偽影，造成圖像質(zhì)量的下降。本文采用Hamming濾波函數(shù)，避免了大量的正弦、余弦計(jì)算，所重建圖像輪廓清楚。目標(biāo)區(qū)域的單像素成像結(jié)果為fr(x，y)：

為獲得還原目標(biāo)在場(chǎng)景中的位置，將目標(biāo)區(qū)域與背景融合，使最終的重建場(chǎng)景與原場(chǎng)景具有相同的分辨率（N×N），坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為：

3 成像分析

圖5為ARSI方法，圖5（a）為ARSI方法的組成結(jié)構(gòu)，主要包括單像素成像硬件和ARSI算法；圖5（b）為實(shí)現(xiàn)ARSI的光路結(jié)構(gòu)，光路類(lèi)型為前調(diào)制型單像素成像光路［20］，選用數(shù)字投影儀器（Digital Projector，DLP）作為SLM用于產(chǎn)生編碼圖案，DLP生成時(shí)間變化的編碼R-H模式序列用于照明場(chǎng)景，生成速率5 000 Hz，反射光經(jīng)過(guò)焦距為125 mm的聚光透鏡，光電二極管作為單像素探測(cè)器，數(shù)據(jù)采集設(shè)備（DAQ）用于數(shù)據(jù)采集和信號(hào)轉(zhuǎn)換，計(jì)算機(jī)用于控制和處理數(shù)據(jù)，物體距離透鏡0.5 m。

圖5 ARSI方法Fig.5 ARSI method

3.1 單目標(biāo)ARSI

我們繼續(xù)使用“小?！眻D驗(yàn)證ARSI算法，重建場(chǎng)景分辨率為256×256，如圖6所示，根據(jù)投影定位算法，圖6（a）為計(jì)算出目標(biāo)區(qū)域的邊界，其中心坐標(biāo)為M（129，168），選取64×64的R-H模式圖案，因此更新后的目標(biāo)區(qū)域如圖6（b）所示，采樣壓縮比為25%。

圖6 目標(biāo)區(qū)域定位與R-H模式匹配Fig.6 Target region positioning and R-H pattern match‐ing

R-H模式基底采樣時(shí)，設(shè)置角度間隔為1°，因此m=180。通過(guò)一系列不同的R-H模式圖案對(duì)目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行采樣，以獲取Radon變換域系數(shù)，再通過(guò)濾波反投影方法重建目標(biāo)區(qū)域圖像，通過(guò)圖像融合最終獲得重建后的場(chǎng)景，如圖7所示，添加結(jié)構(gòu)相似性系數(shù)以客觀評(píng)價(jià)圖像重建結(jié)果［35］，以研究重建目標(biāo)區(qū)域與原始目標(biāo)區(qū)域之間的差別。

圖7 ARSI成像結(jié)果Fig.7 ARSI imaging results

ARSI的采樣次數(shù)為23 040，RSI的采樣次數(shù)為92 160，ARSI的采樣次數(shù)為RSI的1/4，成像效率提升4倍，但最終的成像質(zhì)量相同，證明了ARSI在降低采樣數(shù)量的同時(shí)，還能夠保證成像的質(zhì)量。實(shí)驗(yàn)對(duì)真實(shí)“小鴨子”場(chǎng)景進(jìn)行ARSI，重建場(chǎng)景分辨率為256×256。根據(jù)ARSI定位，128×128的Radon-Hadamard的模板對(duì)目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行采樣，采樣壓縮比為C=50%，角度間隔為1°，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示，對(duì)于大目標(biāo)區(qū)域的重建依舊表現(xiàn)出較高的成像質(zhì)量，成像效率是全采樣條件下2倍。

圖8 大目標(biāo)區(qū)域ARSI成像結(jié)果Fig.8 ARSI imaging results of a large target region

實(shí)驗(yàn)還設(shè)置了相同采樣次數(shù)的條件下，RSI和ARSI成像質(zhì)量的對(duì)比，分別設(shè)置n=32，64，128，256大小的R-H模式圖案執(zhí)行RSI和ARSI，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示。當(dāng)R-H模板僅為32×32時(shí)，其小于目標(biāo)區(qū)域的大小，矩形區(qū)域放大后顯示，目標(biāo)區(qū)域大部分特征得以恢復(fù)但邊緣信息丟失，ARSI重建的目標(biāo)區(qū)域不完整，此為R-H模式大小不匹配的重建結(jié)果。此時(shí)RSI重建質(zhì)量非常差，無(wú)法識(shí)別目標(biāo)區(qū)域特征信息。隨著R-H模式大小匹配目標(biāo)區(qū)域，R-H模式分辨率小于圖像分辨率時(shí)，RSI無(wú)法實(shí)現(xiàn)全采樣，重建圖像的質(zhì)量明顯低于ARSI，實(shí)驗(yàn)證明了當(dāng)壓縮率小于100%時(shí)，ARSI有效提高了單像素成像的成像效率。

圖9 RSI和ARSI成像 對(duì)比Fig.9 RSI and PRSI imaging comparison

3.2 多目標(biāo)ARSI

在已知具有三個(gè)目標(biāo)區(qū)域的情況下，使用ARSI尋找目標(biāo)區(qū)域的位置坐標(biāo)。如圖10所示，設(shè)置了三種不同位置分布的場(chǎng)景，重建場(chǎng)景分辨率為256×256，分別為：（a）三個(gè)“小牛”的橫縱坐標(biāo)互不混疊，在x方向和y方向上的投影具有三個(gè)明顯的特征峰分布，因此能夠準(zhǔn)確定位出三個(gè)目標(biāo)區(qū)域的位置；在圖10（b）中，“小牛2”和“小牛3”橫坐標(biāo)重疊，其投影的特征峰發(fā)生混疊，三個(gè)“小?！痹趚方向上僅表現(xiàn)出兩個(gè)特征峰，但在y方向上的投影互不影響，明顯區(qū)分其坐標(biāo)位置，因此依然能夠定位三個(gè)目標(biāo)位置；圖10（c）中，“小牛1”和“小牛2”縱坐標(biāo)重疊，“小牛2”和“小牛3”橫坐標(biāo)重疊，在x和y方向上都表現(xiàn)出兩個(gè)特征峰，尤其是peak-2其投影的能量值大于peak-1，且peak-2的 寬 度 大 于peak-1，這表示peak-2為兩個(gè)目標(biāo)合成的特征峰，但無(wú)法區(qū)分二者的位置，我們添加了y=x方向的投影分布，在該方向上能夠準(zhǔn)確區(qū)分三個(gè)特征峰，借助三個(gè)方向的投影曲線，能夠精準(zhǔn)定位三個(gè)目標(biāo)區(qū)域的中心坐標(biāo)。圖10（c）定位所需的R-H基底的采樣次數(shù)為1 536次，使用SLM調(diào)制花費(fèi)極少的時(shí)間。

圖10 多目標(biāo)定位和成像Fig.10 Multi-target positioning and imaging

圖10（c）為多目標(biāo)區(qū)域的重建結(jié)果，R-H模板大小為64×64，分別對(duì)三個(gè)區(qū)域進(jìn)行成像，然后融合背景信息還原場(chǎng)景，全采樣所需的采樣數(shù)量 為92 160，ARSI采樣次數(shù)為3×2×64×180=69 120，采樣壓縮比C=75%。該實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了ARSI具有對(duì)場(chǎng)景內(nèi)多目標(biāo)圖像定位和重建的能力，其所需的采樣數(shù)量少于全采樣條件下的采樣數(shù)量。

3.3 局限性

本文所提出的方法也具有局限性，實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景的背景信息過(guò)于簡(jiǎn)單，當(dāng)目標(biāo)區(qū)域位于復(fù)雜的場(chǎng)景中時(shí)，其定位難度將增加；Hadamard變換的對(duì)象只能為2i大小，限制了目標(biāo)區(qū)域范圍，但如果不考慮探測(cè)效率，使用高靈敏度的單像素探測(cè)器，可以?xún)H通過(guò)線編碼獲取Radon變換域；對(duì)于多個(gè)目標(biāo)區(qū)域的定位，目標(biāo)區(qū)域之間距離不能過(guò)小，否則會(huì)造成解糾纏困難，產(chǎn)生定位誤差。ARSI在多目標(biāo)區(qū)域定位中具有潛在能力，通過(guò)更改Radon-Hadamard模式尺寸使其應(yīng)用于場(chǎng)景的多分辨率成像，未來(lái)結(jié)合深度學(xué)習(xí)提升其在復(fù)雜目標(biāo)和場(chǎng)景下的應(yīng)用能力。

4 結(jié) 論

本文提出使用Radon投影變換實(shí)現(xiàn)目標(biāo)區(qū)域定位和成像的技術(shù)。在有效信息僅占場(chǎng)景一部分的情況下，使用水平和垂直的Radon-Had‐amard模式作為采樣的基底圖案，定位目標(biāo)區(qū)域的中心位置和計(jì)算其大小范圍。選用匹配分辨率的基底圖案對(duì)目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行重建，ARSI所需的采樣數(shù)量遠(yuǎn)小于全采樣的采樣數(shù)量，且能夠保證重建圖像質(zhì)量，提高了單像素成像的成像效率。另外嘗試了多目標(biāo)實(shí)驗(yàn)，通過(guò)增加投影方向，ARSI能夠定位并成像多個(gè)目標(biāo)區(qū)域，可應(yīng)用于多目標(biāo)探測(cè)領(lǐng)域。