閆寶強(qiáng) 程紅梅 房欽賀 夏 洋

(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 250358, 濟(jì)南 )

1 引 言

數(shù)學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科, 為其他學(xué)科的進(jìn)步提供了很多理論支持. 近年來(lái), 隨著生物學(xué)中實(shí)驗(yàn)技術(shù)的快速發(fā)展, 許多生物學(xué)中的數(shù)據(jù)需要用到數(shù)學(xué)理論、統(tǒng)計(jì)理論還有計(jì)算方法來(lái)分析和模擬, 以便能了解生物的發(fā)展過(guò)程以及某些傳染病的傳播機(jī)制. 因此, 生物數(shù)學(xué)成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中較為活躍的一個(gè)研究分支. 對(duì)于生物數(shù)學(xué)的研究, 一般從下面兩個(gè)方面來(lái)開(kāi)展, 一方面是通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型、分析數(shù)學(xué)模型, 利用已有的數(shù)學(xué)理論來(lái)了解和預(yù)測(cè)生物過(guò)程; 另一方面是通過(guò)建立的模型發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題, 尋求新的數(shù)學(xué)研究方向和研究方法.著名數(shù)學(xué)家Friedman[1]討論了生物數(shù)學(xué)中一些具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題, 其中就提到了一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具——偏微分方程. 目前, 偏微分方程的研究也因?yàn)樯飻?shù)學(xué)的快速發(fā)展被注入了新鮮血液. 反應(yīng)擴(kuò)散方程作為經(jīng)典的四大偏微分方程之一, 也因?yàn)槠錆夂竦膶?shí)際背景而快速發(fā)展.

1937年, Kolmogorov等人[2]和Fisher[3]分別研究了下面的反應(yīng)擴(kuò)散方程

(1)

其中,f(u)=u(1-u),x∈R,t>0.模型(1)可以描述外來(lái)入侵物種的行波現(xiàn)象或者動(dòng)物在一維無(wú)窮棲息地上優(yōu)良基因的傳播過(guò)程.Fisher等人核心工作是研究方程(1)的行波解, 即形如u(x,t)=φ(x-ct)的特解, 其中, 常數(shù)c>0表示波速, 函數(shù)φ(x-ct)為傳播過(guò)程中的波形. 這一類(lèi)行波解具有平移不變性,該性質(zhì)表明了在傳播過(guò)程中, 波的形狀不會(huì)改變. 此后, 反應(yīng)擴(kuò)散方程的行波解問(wèn)題逐漸發(fā)展為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要研究?jī)?nèi)容之一. 因?yàn)樾胁ìF(xiàn)象廣泛存在于生物學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)和傳染病學(xué)等領(lǐng)域中[4-8], 所以該問(wèn)題具有很重要的實(shí)際意義.行波解可以描述生物學(xué)中新物種的入侵、物理學(xué)中從一個(gè)平衡態(tài)到另一個(gè)平衡態(tài)的轉(zhuǎn)化過(guò)程、化學(xué)反應(yīng)中物質(zhì)濃度的變化、傳染病的傳播過(guò)程等等. 這些過(guò)程的共同特點(diǎn)是以有限速度傳播并保持傳播形狀不變.

對(duì)于反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解的研究結(jié)果已有很多,古典的研究方法是將行波方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的常微分方程, 再利用相平面分析法得到其存在性和唯一性[9,10]. 對(duì)于已知行波解存在性的反應(yīng)擴(kuò)散方程, 很自然地要考慮其行波解的穩(wěn)定性. Aronson等人[11]研究了非線性項(xiàng)滿足單穩(wěn)型(存在一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)和一個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn), 即經(jīng)典的Fisher-KPP型)、燃燒型和雙穩(wěn)型(存在兩個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn), 又稱(chēng)Allen-Cahn型)等類(lèi)型的反應(yīng)擴(kuò)散方程的連接兩個(gè)平衡點(diǎn)的行波解的存在性和穩(wěn)定性,并考慮了該行波解在高維空間中的穩(wěn)定性[12]. 后來(lái), Matano等人[13,14]考慮了連接兩個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)的行波解的穩(wěn)定性以及解的長(zhǎng)時(shí)間行為，通過(guò)構(gòu)造合適的上下解, 再應(yīng)用比較原理得到了相應(yīng)的穩(wěn)定性結(jié)論. 這也是最近考慮行波解應(yīng)用最多的方法之一. 對(duì)于穩(wěn)定性理論的研究, Chen等人[15]使用上下解結(jié)合擠壓技巧得到了相應(yīng)的結(jié)論. 同時(shí), Mei等人[16]采用能量估計(jì)的方法來(lái)考慮行波解的穩(wěn)定性,并將相關(guān)結(jié)果作了進(jìn)一步的推廣.研究行波解的穩(wěn)定性理論，還有另一個(gè)常用的重要方法就是對(duì)積分算子進(jìn)行相應(yīng)的譜理論分析[17-19].

近幾年, Lou[20]對(duì)空間生態(tài)學(xué)中的一些反應(yīng)擴(kuò)散方程模型做了詳細(xì)的總結(jié), 但是沒(méi)有重點(diǎn)給出特殊的行波解的研究情況. 本文主要通過(guò)介紹相應(yīng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程模型的行波解,以便了解和研究傳染病模型中擴(kuò)散項(xiàng)和時(shí)滯項(xiàng)對(duì)行波解存在性和穩(wěn)定性的影響以及相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)行為. 目前, 種群動(dòng)力學(xué)研究的一個(gè)重要趨勢(shì)是其與生物學(xué)其它研究方向的深度融合, 如物種進(jìn)化、疾病傳播、細(xì)胞生物學(xué)、癌癥研究、抗藥性研究等方面. 本文試圖通過(guò)建立和實(shí)際更加接近的一系列反應(yīng)擴(kuò)散方程模型, 把空間生態(tài)學(xué)、空間中的疾病傳播、進(jìn)化理論等方面有機(jī)融合起來(lái), 探討在該領(lǐng)域的進(jìn)一步研究前景,并給出一些關(guān)于外界環(huán)境變化對(duì)生物模型影響的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

2 局部反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解的研究進(jìn)展

帶有局部擴(kuò)散項(xiàng)的Allen-Cahn方程

(2)

其中,Δ為標(biāo)準(zhǔn)的拉普拉斯算子.

當(dāng)n=1時(shí), 系統(tǒng)(2)可以記成下面的形式

考慮該方程連接兩個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)±1的行波解u(x,t)=φ(x-kt), 其中k為常數(shù). 也就是, 考慮函數(shù)φ(ξ)(ξ=x-kt)滿足如下條件的解：

φ''(ξ)+cφ'(ξ)+f(φ(ξ))=0,ξ∈R,

(3)

φ(±∞)=?1，

(4)

φ(0)=0.

(5)

對(duì)于連接這兩個(gè)平衡點(diǎn)的行波解u(x,t)=φ(x-kt)，Aronson等人[11]研究了行波解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性.

當(dāng)n≥2時(shí), 記空間變量為(x,y,z),x∈Rn-2,y∈R,z∈R,方程(2)可以記為

(6)

Aronson等人所考慮的行波解是波型中最簡(jiǎn)單的平面波.后來(lái),雙穩(wěn)的Allen-Cahn方程的非平面波也引起了大家的研究興趣,例如二維V型波和三維錐型波. 這些高維行波解都是在平面行波解φ(ξ)存在的基礎(chǔ)上得到的. 也就是說(shuō)需要平面行波解存在的假設(shè)條件.

假設(shè)2存在常數(shù)k∈R和函數(shù)φ(ξ)∈R2滿足方程(3)-(5).

當(dāng)n=2時(shí), 方程(6)存在如下的二維V型行波解.

定理1[22]假設(shè)1和假設(shè)2成立, 對(duì)任意的常數(shù)c滿足|c|>|k|, 存在函數(shù)V(y,z-ct)滿足方程(6)和

定理2[22]令u0(y,z)滿足

那么方程(6)的解u(y,z,t;u0)滿足

Ninomiya等人[23]繼續(xù)考慮了該行波解V(y,z-ct)的全局漸近穩(wěn)定性.

顯然, 當(dāng)n>2時(shí), 函數(shù)V(y,z-ct)仍然滿足方程(6). 因此,u(x,y,z,t)=V(y,z-ct)仍為方程(6)的解. 盛偉杰等人[24]考慮了該行波解V(y,z-ct)在高維空間下的穩(wěn)定性.

當(dāng)n≥3時(shí), 記空間變量為(x,y,z),x∈Rn-3,y∈R2,z∈R,方程(2)可以記為

(7)

令m≥3為給定的正整數(shù), 常數(shù)c>k, 記

令向量

為曲面{z=τ(Ajy1+Bjy2)}的單位標(biāo)準(zhǔn)向量, 記hj(y1,y2)=τ(Ajy1+Bjy2),

(8)

Sj={(y1,y2,hj(y1,y2))∈R3|(y1,y2)∈Ωj},

其中,j=1,2,…,m.令

D(γ)={(y1,y2,z)∈R3|dist((y1,y2,z),Γ)≥γ},

其中,γ≥0.

Taniguchi[25]給出了當(dāng)n=3時(shí), 方程(7)的三維錐型行波解V(y1,y2,z-ct)的存在性.

定理3[25]當(dāng)n=3時(shí), 令常數(shù)c>k,h(y1,y2)為(8)式中所定義的. 假設(shè)1和假設(shè)2成立, 則方程(7)存在解V(y1,y2,z-ct)滿足

其中,D(γ)為上文所定義的形式,并且

Taniguchi[26]考慮了該錐型行波解V(y1,y2,z-ct)的唯一性和穩(wěn)定性. 當(dāng)n>3時(shí), 定理3中的函數(shù)V(y1,y2,z-ct)為方程(7)的錐型行波解.當(dāng)n>3時(shí), 繼續(xù)考慮該錐型行波解V(y1,y2,z-ct)的高維穩(wěn)定性. 為了簡(jiǎn)單, 記V(y1,y2,z-ct)為V(y1,y2,s)，且滿足

Vy1 y1+Vy2 y2+Vss+cVs+f(V)=0,

其中,s=z-ct.

定理4[27]令n≥4, 假設(shè)1和假設(shè)2成立, 設(shè)函數(shù)u0(x,y1,y2,z)在Rn上光滑有界并且滿足

那么, 以函數(shù)u0(x,y1,y2,z)為初始函數(shù)的方程(7)的解u(x,y1,y2,z,t)滿足

定理5[27]令n≥4,假設(shè)1和假設(shè)2成立, 設(shè)u0(x,y1,y2,z)函數(shù)為

u0(x,y1,y2,z)=V(y1,y2,z-v0(x)),

(9)

其中,v0∈L1(Rn-3)∩L∞(Rn-3), 那么, 以u(píng)(x,y1,y2,z,0)=u0(x,y1,y2,z)為初始函數(shù)的方程(7)的解u(x,y1,y2,z,t)滿足

其中, 常數(shù)C>0依賴于函數(shù)f,‖v0‖L1(Rn-3)和‖Vz‖L∞(R3).

定理6[27]令n≥4, 假設(shè)1和假設(shè)2成立, 設(shè)函數(shù)u0(x,y1,y2,z)滿足方程(9), 其中v0≥0,v0≠0,或者v0≤0,v0≠0, 那么, 存在常數(shù)C1>0,C2>0,使得以函數(shù)u0(x,y1,y2,z)為初始函數(shù)的方程(7)的解u(x,y1,y2,z,t)滿足

其中,tm=m(m!)2/4.

Cheng等人得到了三維錐型行波解在高維空間下的穩(wěn)定性及其收斂速度. Kurokawa等人[28]考慮了n≥4時(shí)方程(2)的高維錐型行波解V(x-e·ct)的存在性.

3 非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解的研究進(jìn)展

Murray[29]提到了物種的擴(kuò)散是自由和隨機(jī)的, 而不是按照固定的模式運(yùn)動(dòng)的. 因此, 用局部拉普拉斯算子來(lái)表示空間擴(kuò)散現(xiàn)象會(huì)存在很多缺陷,也不能夠準(zhǔn)確地描述研究對(duì)象的時(shí)空行為.采用一些特殊的積分算子來(lái)表示空間中的非局部擴(kuò)散現(xiàn)象, 能夠更加準(zhǔn)確地描述所考慮的實(shí)際問(wèn)題.

Chen[15]研究了一類(lèi)非局部算子方程

ut(x,t)=A[u(·,t)](x),x∈R,t>0,

(10)

其中,A為非局部算子, 映空間變量·為x的函數(shù), 不依賴于時(shí)間t, 可以生成L∞(R)中的半群, 同時(shí)滿足平移不變性.利用算子的平移不變性, 可得A映常函數(shù)為常函數(shù), 映射I記為值域?yàn)镮的函數(shù), 則存在函數(shù)f(·)滿足

A[α1]=f(α)I,?α∈R.

(11)

同時(shí), 假設(shè)f滿足

f∈C1(R),f(0)=f(1)=0,f'(0)<0,f'(1)<0.

(12)

也就是說(shuō),0、1為A的兩個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn).考慮連接0、1的行波解u(x,t):=U(x-ct)滿足

(13)

假設(shè)31)A是平移不變的, (11)式中定義的f滿足(12)式;

2) 如果ut≥A[u],vt≤A[v],u(·,0)≤(≠)v(·,0), 則u(·,t)>v(·,t),?t>0;

3) 存在常數(shù)K1,K2, 概率測(cè)度ν, 使得對(duì)任意函數(shù)u,v滿足-1≤u,v≤ 2,且

其中,A'為A的Frechet導(dǎo)數(shù).Chen[15]得到了局部算子方程(10)的行波解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性.

定理8[15](唯一性) 假設(shè)3成立, 方程(10)存在行波解(U,c)滿足下面的性質(zhì)

考慮方程(10)行波解的穩(wěn)定性時(shí), 需要滿足下面的假設(shè)條件4.

假設(shè)41)A是平移不變的, 對(duì)某正常數(shù)a-,a+,0 0, 在區(qū)間(0,a-)∪ (1,2)上滿足f< 0;

2) 存在定義在[1,∞)上的非增正函數(shù)η(m), 使得對(duì)任意滿足

-1≤u,v≤ 2,ut≥A[u],ut≤A[v],u(·, 0)≥v(·,0)

的u(x,t),v(x,t), 都有

3) 對(duì)假設(shè)3中定義的K1,K2,ν,u,v,有

定理9[15](穩(wěn)定性) 若假設(shè)3和假設(shè)4成立, 方程(10)存在滿足相應(yīng)性質(zhì)(13)的行波解(U,c), 則存在正常數(shù)k, 使得當(dāng)u0∈L∞(R1)時(shí)滿足0≤u0≤ 1和

時(shí), 以u(píng)(·，0)=u0(·)為初值的解u(x,t)滿足

||u(·,t)-U(·-ct+ξ)||L∞(R)≤Ke-kt.

考慮方程(10)滿足性質(zhì)(13)的行波解的存在性時(shí), 需要滿足下面的假設(shè)條件5.

假設(shè)51)A是平移不變的, 存在a∈(0,1),當(dāng)u∈(-1,0)∪(a,1)時(shí)，f(u)>0,

當(dāng)u∈(0,a)∪(1,2)時(shí)，f(u)<0,f′(0)<0,f′(1)<0,f′(a)>0.

2) 存在定義在[0,∞)×[0,∞)上的正連續(xù)函數(shù)η(x,t), 使得對(duì)任意的u(x,t),v(x,t)滿足-1≤u,v≤2,ut≥A[u],vt≤A[v],u(·, 0)≥v(·,0)時(shí), 都有

3) 存在正常數(shù)K1,K2,K3, 概率測(cè)度ν, 使得對(duì)任意的u(x,t),v(x,t)滿足-1≤u,v≤2時(shí), 對(duì)任意的x∈R都有

4) 對(duì)任意滿足0≤u0≤1, ||u0||C3(R)<∞的函數(shù)u0(·)，以函數(shù)u0(·)，為初值的方程(10)的解u(x,t)滿足

定理10[15](存在性) 假設(shè)5成立, 則方程(10)存在滿足相應(yīng)性質(zhì)的行波解(U,c).

Carr等人[30]考慮了非局部的Fisher-KPP方程

ut=J*u-u+f(u),x∈R,

其中,f(0)=f(1)=0,f(u)>0 ,u∈ (0,1). Carr等人給出了方程在0和1之間有界的行波解的唯一性. Carr等人首先給出了行波解的一個(gè)估計(jì), 并研究該估計(jì)對(duì)所有滿足0≤u(x,t)≤1的行波解都成立. 為了證明滿足這些條件的行波解的唯一性, Carr等人又引入了Ikehara′s定理, 也就是拉普拉斯變換的Tauberian定理,構(gòu)造了輔助函數(shù)

利用引入的拉普拉斯變換的性質(zhì), 尋找矛盾進(jìn)而得到唯一性的結(jié)論. Coville等人[31]研究了非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解的傳播速度, 利用變分公式給出了行波解的速度的表達(dá)式，并研究了一維積分微分方程

(14)

其中L為一個(gè)非局部擴(kuò)散算子, 形式如下

(15)

J是一個(gè)偶的正積分核,f是一個(gè)給定的非線性項(xiàng). 同時(shí),變分公式(15)還可以應(yīng)用到更一般的算子

Lu=auxx+b[J*u(x)-u(x)]-dux-eu(x),

其中,a,b,e≥0,(a,b)≠(0,0),d∈R，并且積分核函數(shù)J滿足

(16)

定理11[31]如果f為雙穩(wěn)型和燃燒型的非線性項(xiàng), 核函數(shù)J滿足條件(16)和下面的條件

(17)

則問(wèn)題(14)存在解(u,c*), 并且在平移意義下, 該解是唯一的, 也就是說(shuō), 如果(v,c')為另一個(gè)解, 則c*=c', 并且u(x)=v(x+y)對(duì)于固定的y成立. 如果f為單穩(wěn)型的非線性項(xiàng), 核函數(shù)J滿足條件(16)和下面的條件

(18)

則存在最小波速c*>0, 使得

1) 如果c≥c*, 問(wèn)題(14)存在解(u,c), 并且u'>0;

2) 如果c0的解(u,c).

定理12[31]令L為由(15)定義的作用在X={w∈C1(R)|w是遞增的，w(+∞)=1,w(-∞)=0}上的算子. 假設(shè)(16)和(17)成立,f為雙穩(wěn)型或者燃燒型, 滿足

則波速c*滿足

假設(shè)(16)和(18)成立,f為單穩(wěn)型, 則最小波速c*滿足

非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性以及波的傳播速度等問(wèn)題已被廣泛研究[32-34]. 在此基礎(chǔ)上Cheng等人[35]考慮了單穩(wěn)的反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解的存在性,唯一性和穩(wěn)定性, 得到了類(lèi)似的結(jié)論;同時(shí)還考慮了帶有非局部擴(kuò)散項(xiàng)和非局部時(shí)滯的雙穩(wěn)的反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解的穩(wěn)定性[36]. 以積分算子J為擴(kuò)散項(xiàng)的非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程和以古典的拉普拉斯算子為擴(kuò)散項(xiàng)的局部反應(yīng)擴(kuò)散方程是密切相關(guān)的. 如果取核函數(shù)J=δ+δ'', 其中,δ為Diracdelta函數(shù), 那么該積分算子就可以退化為局部的拉普拉斯算子.

4 傳染病模型行波解的研究進(jìn)展

Kermack等人[37]提出了如下的傳染病模型

(19)

模型(19)對(duì)傳染病的數(shù)學(xué)動(dòng)力行為的研究起著很重要的作用,Kendall[38]在1965年考慮了依賴于空間的積分微分方程

其中, 核函數(shù)K(x-y)≥0表示位置y的染病個(gè)體對(duì)位置x處的易感個(gè)體的影響, 滿足

后來(lái),Mottoni 等人[39]考慮了個(gè)體的空間移動(dòng), 也就是帶有拉普拉斯擴(kuò)散項(xiàng)的模型

(20)

當(dāng)空間無(wú)界,μ=σ=0并且K(·)為常數(shù)β和δ函數(shù)的乘積時(shí), 系統(tǒng)(20)減弱為下面的反應(yīng)擴(kuò)散模型

(21)

1994年, Hosono等人[40]考慮了帶有擴(kuò)散項(xiàng)的模型(21), 給出了相應(yīng)的行波解的存在性的結(jié)論,即如果R0>1， 那么當(dāng)

時(shí), 系統(tǒng)(21)存在滿足

S(-∞)=S0,S(+∞)=ε,I(±∞)=0

的行波解(S(x-ct),I(x-ct)), 其中ε

最近帶有非局部擴(kuò)散項(xiàng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程模型的相應(yīng)性質(zhì)被廣泛研究, Yang等人[41]考慮了下面的帶有非局部擴(kuò)散項(xiàng)的模型

實(shí)際生活中, 有很多疾病存在一定的潛伏期.潛伏期在數(shù)學(xué)模型中被稱(chēng)為時(shí)滯, 由于它的出現(xiàn), 系統(tǒng)不再是微分方程, 而是泛函微分方程，因此, 研究起來(lái)將有一定的困難[42-44]. Wang等人[45]考慮了如下的模型

Wang等人得到了上述系統(tǒng)的行波解的存在性與不存在性，進(jìn)一步研究了反應(yīng)項(xiàng)和時(shí)滯對(duì)行波解的存在性以及波速的影響. Ducrot等人[46]證明了帶有核函數(shù)

的上述系統(tǒng)的行波解的存在性和不存在性. 對(duì)于帶有時(shí)滯的模型的行波解的研究結(jié)果詳見(jiàn)文獻(xiàn)[47-50].

Cheng等人[51]考慮了帶有非局部擴(kuò)散項(xiàng)和反應(yīng)項(xiàng)的模型

的行波解的存在性. Cheng等人得到了相應(yīng)的行波解的存在性定理,該定理和相應(yīng)的局部擴(kuò)散系統(tǒng)的結(jié)論相同. 因此, 疾病的傳播不依賴于個(gè)體間的非局部反應(yīng)和非局部擴(kuò)散. 但是, 疾病的傳播速度卻依賴于相關(guān)干擾項(xiàng)，即c*依賴于染病個(gè)體的擴(kuò)散速率d2, 染病個(gè)體和易感人群之間的相互作用以及疾病的潛伏時(shí)間. 同時(shí),時(shí)滯可以降低疾病的傳播速度, 非局部反應(yīng)項(xiàng)和染病個(gè)體的移動(dòng)項(xiàng)可以加快疾病的傳播速度.

5 分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解的研究進(jìn)展

分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子是由穩(wěn)定的Levy過(guò)程導(dǎo)出的[52]. 由于擴(kuò)散過(guò)程中跳躍的存在可以加快不穩(wěn)定狀態(tài)向穩(wěn)定狀態(tài)的入侵,因而分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子可以更好地描述一些化學(xué)反應(yīng)或者傳染病的傳播現(xiàn)象,相應(yīng)的研究模型更加接近現(xiàn)實(shí).Engler[53]詳細(xì)研究了分?jǐn)?shù)階微分方程的解的傳播速度. Cabré等人[54]考慮了下面帶有初始函數(shù)w(x,0)=w0(x)的分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程的初值問(wèn)題

?tw(x,t)+(-Δ)αw(x,t)=w(x,t)f(w(x,t)),t>0,x∈R,

(22)

其中,Δα為α階拉普拉斯算子(α∈(0,1)),其定義為

其中P.V.為主值,函數(shù)f∈C1:[0,a]→R,a>0為常數(shù)，f在[0,a]上非增,且f(a)=0.

對(duì)任意的σ∈(0,σ*), 有

當(dāng)n=1時(shí),可以進(jìn)一步得到帶有非減初始函數(shù)的初值問(wèn)題(22)的解的長(zhǎng)時(shí)間行為.

1) 對(duì)所有的u(x,t)=v(x+te)

定理15[54]令n=1,α∈(0,1), 則方程(22)不存在非常數(shù)平面行波解. 也就是說(shuō), 方程(22)的所有在[0, 1]內(nèi)取值的解u(x,t)=v(x+te)等于0或者1，即方程

(-Δ)αv+e·v'=vf(v)

的解v滿足v≡0或者v≡1.

6 切換環(huán)境下反應(yīng)擴(kuò)散方程的研究進(jìn)展

在現(xiàn)實(shí)世界中, 從細(xì)菌到動(dòng)物等一切生物物種的棲息地通常是非自治并且空間和時(shí)間異質(zhì)的. 物種棲息地經(jīng)常受到影響, 除了季節(jié)和地理的差異, 氣候全球變暖、工業(yè)化和過(guò)度發(fā)展也是影響因素.因?yàn)闀r(shí)空異質(zhì)性, 氣候變化自然會(huì)導(dǎo)致生物物種棲息地的變化. 人們自然想知道氣候變化會(huì)對(duì)地球上不同物種的種群產(chǎn)生什么樣的影響.顯然無(wú)論是對(duì)單一物種, 還是對(duì)相互作用的物種都會(huì)產(chǎn)生很大的影響. Walther等人[62]為最近氣候變化的生態(tài)反應(yīng)做出了評(píng)論. Berestycki等人[63]忽略了地球的有限性把北極想象為負(fù)無(wú)窮, 把赤道想象為正無(wú)窮.這為理論分析提供了一個(gè)很好的框架，氣候變暖及其影響可以看作是當(dāng)?shù)貧夂蜻m宜程度的變化. 對(duì)物種的種群密度分布進(jìn)行追蹤, 如果一個(gè)物種保持了它的速度, 它在北方的面積擴(kuò)大的范圍和在南方的面積縮小的范圍是一樣大的；如果它的速度落后了很多,就會(huì)導(dǎo)致滅絕.這兩種情況哪一種更適用? 答案取決于物種關(guān)于區(qū)域的廣泛性, 氣候變化的速度和氣候?qū)ξ锓N的影響. 如果這個(gè)物種能生存下來(lái), 其種群的大小和形態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化? Berestycki等人提出了一個(gè)比較現(xiàn)實(shí)的模型.以仿真為主要工具,關(guān)于這類(lèi)主題的實(shí)地研究已有許多結(jié)果[64-67].

最近也有一些關(guān)于物種數(shù)量動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)模型的定量研究,該研究集中于一種特殊的環(huán)境變化模式, 即以恒定的速度移動(dòng). 例如, 為了理解物種轉(zhuǎn)移的分布隨時(shí)間的變化和預(yù)測(cè)物種是否能跟上氣候的變化, Elith等人[68-71]應(yīng)用了一種實(shí)用的方法描述棲息地的“移動(dòng)”,即假設(shè)人口增長(zhǎng)率r(x,t)是依賴于時(shí)間t和位置x的特殊形式r(x,t)=r(x-ct), 該形式反映了環(huán)境以恒定速度向右移動(dòng)的特點(diǎn). 為了能夠解決隨著氣候變化棲息地的變化物種的范圍分布和擴(kuò)散等問(wèn)題, Li等人[72]將上述遷移模式加到單穩(wěn)的反應(yīng)擴(kuò)散方程中, 得到了如下方程

?tu(x,t)=d?xxu(x,t)+u(x,t)[r(x-ct)-u(x,t)],

(23)

其中假設(shè)增長(zhǎng)函數(shù)r(·)是連續(xù)非減與有限分段連續(xù)可微的, 并且滿足r(-∞)<00相結(jié)合, 表明該區(qū)域適宜種群增長(zhǎng)的生存環(huán)境正在不斷向右推進(jìn).Li等人[72]探討了物種的滅絕性和持久性的條件以及在持久存在的時(shí)候, 種群向右傳播速度的情況.Hu等人[73]考慮了在生長(zhǎng)函數(shù)0≤r(-∞)0)還是膨脹(c<0)的情況, 并得到了模型(23)當(dāng)c∈R時(shí), 強(qiáng)迫行波解的存在性.Fang等人從經(jīng)典SIS模型中推導(dǎo)出形如(23)的標(biāo)量形式的流行病模型:一種描述病原體種群隨宿主種群的遷移而擴(kuò)散的模型.

相對(duì)于模型(23), 更一般的情形是方程

?tu(x,t)=d?xxu(x,t)+g(r(x-ct),u(x,t)).

(24)

Berestycki等人[8]研究了當(dāng)非線性項(xiàng)函數(shù)g有一個(gè)有限的緊支集時(shí)的模型(24)，結(jié)果表明環(huán)境的有利部分有一個(gè)緊支集. 隨后, Berestycki等人[76]將文獻(xiàn)[63]的結(jié)果擴(kuò)展到更高維的空間上并且考慮具有更一般類(lèi)型的擴(kuò)散函數(shù)g的模型(24). Vo在文獻(xiàn)[77]中去掉了有利環(huán)境內(nèi)的緊支條件, 并得到了相似的結(jié)果. 最近, Berestycki等人[78]還研究了非線性反應(yīng)項(xiàng)g(s,u)滿足當(dāng)s→-∞時(shí)為漸近KPP型時(shí), 模型(24)的強(qiáng)迫行波解的存在性. Alfaro等人[79]在研究表型特征時(shí), 將方程(23)擴(kuò)展為更一般的方程, 引入了一個(gè)非本地種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng), 采用二維競(jìng)爭(zhēng)空間域,確定了一個(gè)關(guān)鍵的氣候變化速度,得到了種群的生長(zhǎng)函數(shù)是擴(kuò)散或消失的情形.

經(jīng)常有一個(gè)以上的生物物種共享同一個(gè)棲息地, 它們通常會(huì)爭(zhēng)奪棲息地的資源. 當(dāng)棲息地發(fā)生變化時(shí)(比如氣候變化), 人們自然想知道這樣的變化是如何持續(xù)的以及速度與物種的擴(kuò)散和物種之間的競(jìng)爭(zhēng)相互作用是如何影響種群動(dòng)態(tài)的. Potapov等人[80]考慮了在一個(gè)移動(dòng)邊界的范圍內(nèi)的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)模型,得到了每個(gè)物種保持持久生存和傳播的關(guān)鍵區(qū)域的大小. 隨后, Berestycki等人[81]繼續(xù)考慮了Lotka-Volterra帶有兩種都在“移動(dòng)”的增長(zhǎng)函數(shù)的競(jìng)爭(zhēng)模型

Berestycki等人發(fā)現(xiàn)如果棲息地邊緣的速度超過(guò)了前進(jìn)物種的Fisher型入侵的速度, 就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)很大的缺口. 最近, Zhang等人[82]和Yuan等人[83]在不同的角度和假設(shè)條件下考慮了該模型的傳播動(dòng)力系統(tǒng), 前者關(guān)注的是兩個(gè)物種的持久性和滅絕性, 而后者則旨在比較當(dāng)棲息地以恒定速度惡化時(shí), 不同擴(kuò)散率對(duì)這兩個(gè)物種的時(shí)空動(dòng)態(tài)的影響.

最近, Li等人[84]利用在切換環(huán)境下帶有非局部擴(kuò)散項(xiàng)方程

ut=d[J*u-u]+u[r(x-ct)-u],

(25)

探索在氣候變化背景下的物種傳播形式. Li等人證明了存在一個(gè)常數(shù)c*,當(dāng)c>c*時(shí), 整個(gè)環(huán)境中的種群將會(huì)滅絕, 當(dāng)c

7 開(kāi)放性問(wèn)題

近年來(lái), 非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程在空間生態(tài)學(xué)、物種進(jìn)化、疾病傳播等眾多領(lǐng)域中有很多重要的應(yīng)用, 因此, 該問(wèn)題得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注. 針對(duì)其行波解的存在性和穩(wěn)定性的分析,目前已取得了一系列優(yōu)秀的研究成果, 然而仍有許多問(wèn)題需進(jìn)一步討論.

1) 考慮切換環(huán)境下帶有非局部擴(kuò)散項(xiàng)和時(shí)滯項(xiàng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程特殊解的存在性及其長(zhǎng)時(shí)間行為,從而使得考慮的模型能更加清晰地描述實(shí)際問(wèn)題,能夠?qū)夂蜃兓约艾F(xiàn)實(shí)生活中存在的潛伏期都考慮到.這樣所考慮的模型會(huì)更具有實(shí)際意義.

2) 利用單個(gè)方程已有的結(jié)論, 考慮切換環(huán)境下帶有非局部擴(kuò)散項(xiàng)的傳染病模型的傳播機(jī)制, 考慮環(huán)境變化速率和傳染病的傳播速率之間的關(guān)系,考慮行波解的存在性和穩(wěn)定性等定性性質(zhì),從而為控制傳染病的傳播提供很好的理論依據(jù).這將是一個(gè)重要的研究方向.

3) 考慮切換環(huán)境下帶有非局部擴(kuò)散項(xiàng)捕食模型的動(dòng)力學(xué)行為, 考察兩個(gè)種群在什么情況下共存、什么情況下滅亡、什么情況下一個(gè)生存一個(gè)滅亡，考慮每種狀態(tài)的分界點(diǎn)的情況以及擴(kuò)散速率和環(huán)境變化速率之間的關(guān)系, 進(jìn)一步探索各種生物進(jìn)化過(guò)程以及機(jī)制.這將會(huì)是一個(gè)非常有意義的課題.

4) 重點(diǎn)考慮切換環(huán)境下帶有分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散項(xiàng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程的行波解的性質(zhì), 建立其最值原理和比較原理等相關(guān)的理論, 利用相應(yīng)的理論考慮該平衡解的定性性質(zhì).考慮切換環(huán)境下帶有分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散項(xiàng)的傳染病模型的傳播機(jī)制和捕食模型的動(dòng)力學(xué)行為, 利用相應(yīng)的理論討論行波解的存在性與不存在性、唯一性和穩(wěn)定性等性質(zhì). 隨著生物數(shù)學(xué)的迅速發(fā)展, 生物數(shù)學(xué)和偏微分方程的交叉領(lǐng)域?qū)⒊蔀闃O具活力的前沿地帶.