吳文俊 吳海元

初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)課題學(xué)習(xí)“最短路徑問題”，實(shí)際上是幾何中的最值問題。幾何中的最值問題是指在一定的條件下求平面幾何圖形中某個(gè)確定的量（如線段的長度、角度大小、圖形面積等）的最大值或者最小值。這類問題學(xué)生初次接觸，往往無從下手，是初中階段幾何教學(xué)的難點(diǎn)，本人在教學(xué)過程中將這類問題歸納為四種類型：

類型一：在直線l上找一點(diǎn)P，使其到直線同旁兩定點(diǎn)A、B的距離最短。

依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短。

解決方法：作點(diǎn)A（或點(diǎn)B）關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A'（或B'）連接A'B（或B'A）交L于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求。

鞏固練習(xí)1：如圖，在等邊△ABC中，邊BC上的高AD=5，點(diǎn)P是高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是邊AB的中點(diǎn)，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，存在PE+PB的最小值，則這個(gè)最小值是（ ?）

A：4 ? B：5 ? ? C：6 ? ? D：10

解題思路：顯然B、E兩定點(diǎn)在AD的同旁，欲在AD上求符合條件的點(diǎn)P，只需作B點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，而B、C關(guān)于AD對(duì)稱，因此只需連CE交AD于點(diǎn)P，所以CE就是PE+PB的最小值。選B

鞏固練習(xí)2.如圖，臺(tái)球桌上有一黑球M一個(gè)白球N，如何去擊白球使其撞到AB邊反彈后在撞到黑球上（說明方向即可）？

解題思路：顯然M、N兩定點(diǎn)在AB的同旁，欲找撞擊方向，只需作N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N'，連MN'交AB于點(diǎn)P。利用物理學(xué)入射角等于反射角，沿NP方向撞擊白球即可。

鞏固練習(xí)3：如圖，正方形ABCD的邊長為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上求一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為（ ? ?）

A：5 ? ? B：6 ? ?C：8 ? ?D：12

解題思路：顯然D、E兩定點(diǎn)在AC的同旁，且B、D關(guān)于AC對(duì)稱，連BE交AC于點(diǎn)P，則P點(diǎn)為所求。顯然選D

類型二：在已知∠MON的一邊ON上有一定點(diǎn)A，在兩邊OM、ON上分別找一個(gè)點(diǎn)P、Q，使PQ+PA最小。

依據(jù)：垂線段最短.

解決方法：如圖，作定點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A'，過點(diǎn)A'作ON 的垂線交OM于P，交ON于Q，則點(diǎn)P、Q為所求，且A'Q為PQ+PA的最小值。

鞏固練習(xí)1.已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)E在邊OB上，且OE=10厘米，點(diǎn)F是OB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），點(diǎn)P是OC上的動(dòng)點(diǎn)，求PE+PF的最小值。

解題思路：過點(diǎn)E作OC的對(duì)稱點(diǎn)E'，過點(diǎn)E'作E'F⊥OB，垂足為F，交OC于點(diǎn)P，則P、F為所求的點(diǎn)，且E'F為PE+PF的最小值。（易求E'F=5 ?）

鞏固練習(xí)2.正方形ABCD的對(duì)角線AC長為4，∠DAC的角平分線交DC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值為（ ?）

解題思路：顯然，D為∠DAE的邊AD上一定點(diǎn)，P、Q是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，欲使DQ+PQ最小，只需作D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)D'，再過點(diǎn)D'作D'P⊥AD，垂足為P，交AE于點(diǎn)Q，則D'P就是DQ+PQ的最小值。（易求D'P=2）

類型三：在∠BOC的內(nèi)部有一定點(diǎn)A，在角的兩邊上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，使兩動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)A構(gòu)成的△APQ周長最小。

依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短.

解決方法：作點(diǎn)A關(guān)于∠BOC兩邊的對(duì)稱點(diǎn)M、N，連接MN交∠BOC的兩邊于P、Q，則P、Q為所求的點(diǎn)。且MN的長為△APQ周長的最小值。

鞏固練習(xí)1：如圖，∠MON=30°，P是∠MON中的一定點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在射線OM，ON上移動(dòng)，當(dāng)△PAB的周長最小時(shí)，

∠APB的值為 （ ? ）

解題思路：過點(diǎn)P分別作OM，ON的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，連接P1、P2交于OM，ON于點(diǎn)A、B，則A、B所求的點(diǎn)，且P1P2為△PAB周長最小值。（易求∠APB=120°）

鞏固練習(xí)2：四邊形ABCD中

∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N使△AMN得周長最小，此時(shí)∠AMN+∠ANM的度數(shù)（ ?）

解題思路：此題可以把點(diǎn)A看作是∠DCB內(nèi)一點(diǎn)，欲使△AMN的周長最小，需作點(diǎn)A關(guān)于CB，CD的對(duì)稱點(diǎn)A1、A2連接A1A2交CB，CD于點(diǎn)M、N，點(diǎn)M、N即為所求，此時(shí)∠AMN=2∠A1，∠ANM=2∠A2， ∠AMN+∠ANM=2（∠A1+A2）=120°。

類型四：在角的內(nèi)部有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在角的兩邊有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q，使兩動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)構(gòu)成的四邊形周長最小。

依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短。

解決方法：分別過點(diǎn)A、B作OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)A'、B'，連接A'B'交OM、ON于點(diǎn)P、Q，則A'B'+AB為四邊形ABPQ周長的最小值。

鞏固練習(xí)：牧馬人從A地出發(fā)，先到草地某處牧馬，在到河邊飲水，然后回到B處，請(qǐng)畫出最短路徑。

解題思路：分別作點(diǎn)A、B關(guān)于草地、河對(duì)稱點(diǎn)A'、B'，連接A'B'交草地、河邊P、Q，則行進(jìn)的最短路徑為A→P→Q→B。