童其林

三角函數(shù)除了具有一般函數(shù)的各種性質(zhì)外，還具有周期性和獨特的對稱性，再加上系統(tǒng)豐富的三角公式，使其產(chǎn)生的各種問題豐富多彩，層次分明，變化多端.?圍繞三角函數(shù)的考題總是以新穎的形式出現(xiàn)，在高考試題中占據(jù)重要的位置，成為高考命題的熱點之一.?下面就三角函數(shù)高考考點作個例題分析，供考生參考.

考點一：三角函數(shù)的基本概念、同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式

三角函數(shù)的概念、同角公式、誘導公式是學習三角函數(shù)的基礎，可以單獨考查，也常和后面的三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角變換及解三角形結合在一起進行考查.?其中，三角函數(shù)在各個象限的符號，誘導公式，同角三角函數(shù)的基本關系式是考查的重要內(nèi)容.?本考點常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，因此復習中要重視選擇、填空題的一些特殊方法，如數(shù)形結合法、函數(shù)法、代入檢驗法、特殊值法、待定系數(shù)法、排除法等.?另外對有些具體問題還要掌握和運用一些基本結論.

例1.（2021年全國新高考Ⅰ卷第6題）若tan=-2，則=（????）

A.?-?B.?- ? C.? ? D.

解析1：因為tan=-2<0，根據(jù)三角函數(shù)定義，知的終邊落在第二或第四象限.

當?shù)慕K邊落在第二象限時，sin=，cos=-，sin2=2sincos=2··（-）=-，

所以==.

當?shù)慕K邊落在第四象限時，sin=-，cos=，

sin2=2sincos=2·（-）·）=-，

==.

兩種情形的答案都是，故選C.

解析2：將式子進行齊次化處理得：

==sin（sin+cos）====，故選C.

點評：解析1用的是分類討論，即利用tan=-2，求出sin，cos的值，需要分象限討論其正負.?解析2通過齊次化處理，可以避開了這一討論，簡化了運算，這是同角三角函數(shù)的基本關系的正確運用.

例2.?已知tan=2，則=________.

解法1：=

=

==.

解法二：由已知條件得sin=2cos，

==，因為cos2=，所以，原式==.

點評：（1）由tan=2可知cos≠0，為了能用化名法使目標式向tan靠近，可先用變1法將分子、分母變換為三次齊次式;（2）由已知條件得sin=2cos，代入原式可將異名函數(shù)化為同名函數(shù).

考點二：三角函數(shù)的作圖、識圖和用圖

專家強調(diào)：“在高考中，充分利用選擇題和填空題的題型特點，為考查數(shù)形結合的思想提供了方便，能突出考查考生將復雜的數(shù)量關系轉化為直觀的幾何圖形問題來解決的意識.”根據(jù)這一思想，每一年的高考題中的選擇或填空題（包括解答題）都有運用數(shù)形結合解決問題的題目，側重考察的是作圖、識圖、用圖的能力，而三角函數(shù)是考查作圖、識圖和用圖的重要內(nèi)容.

例3.?函數(shù)y=的圖像與曲線y=2sinx（-2≤x≤4）的所有交點的橫坐標之和等于________.

解析：如圖所示，兩個圖像在點（1，0）對稱，當x∈[-2，4]時兩個函數(shù)圖像有四個交點，對稱的兩交點的橫坐標的和為2，4個點就是兩對對稱點，所以和為4.

例4.?已知函數(shù)f（x）=Asin（？棕x+）（A>0，？棕>0，|φ|<）的圖像的一部分如圖2所示.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式;

（2）當x∈[-6，-]時，求函數(shù)y=f（x）的最大值與最小值及相應的x的值.

解析：（1）由圖像知A=2，T=8=，

∴ω=，得f（x）=2sin（x+）.

由×1+=2k+=2k+，k∈Z.

又|φ|<，∴φ=.?∴?f（x）=2sin（x+）.

（2）f（x）=2sin（x+）.

∵x∈[-6，-]，∴x+∈[-，]，

∴當x+=-，即x=-6時f（x）取得最大值為，

當x+=-，即x=-3時f（x）取得最小值為-2.

考點三：三角函數(shù)的定義域、值域、最值

例5.?函數(shù)f（x）=，x∈（0，2）的定義域是（???）

A.[，]??B.[，]??C.[，]??D.[，]

解析：定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍.

由題意可得sinx-≥0sinx≥+2k≤x≤+2k，k∈Z，又x∈（0，2π），

∴函數(shù)f（x）=，x∈（0，2）的定義域是[，].?故選B.

點評：求定義域要緊緊抓住三角函數(shù)本身自變量的取值范圍，如y=sinx，y=cosx的定義域為R，y=tanx的定義域為{x|x≠k+，k∈Z?}，再結合具體給出的函數(shù)，使得分母不為零，對數(shù)的真數(shù)大于零，算術根非負，x0中的x不為零，等等.

例6.?函數(shù)y=sin2x+2cosx在區(qū)間?[-，]?上的值域為（???）

A.[-，2]??B.[-，2]??C.[-，]??D.[-，]

解析：∵x∈[-，]，∴cosx∈[-，1]?.

又∵y=sin2x+2cosx=1-cos2x+2cosx=-（cosx-1）2+2，則y∈[-，2]?.?故選A.

點評：三角函數(shù)的值域問題要學會轉化，如轉化為一次函數(shù)，二次函數(shù)，或轉化為分式函數(shù)處理，或利用函數(shù)的有界性、單調(diào)性求解.?注意變換前后函數(shù)的等價性，正弦、余弦的有界性及函數(shù)定義域對最值確定的影響，含參數(shù)函數(shù)的最值，解題要注意參數(shù)的作用和影響.

考點四：三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性

例7.?設函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0）.?若f（x）在區(qū)間[，]上具有單調(diào)性，且f（）=f（）=-f（），則f（x）的最小正周期為________.

解析：結合圖像3，得=-，即T=π.

點評：三角函數(shù)的周期問題一般將函數(shù)式化為y=Af（ωx+φ）（其中f（x）為三角函數(shù)，ω>0）.?實際上，滿足本題的一個函數(shù)解析式為f（x）=Asin（2x+），但本題中代入函數(shù)值計算不太方便，故要充分利用函數(shù)圖像的特征進行判斷求解.

例8.?若將函數(shù)f（x）=sin（2x+）的圖像向右平移φ個單位，所得圖像關于y軸對稱，則φ的最小正值是_______.

解法1：將f（x）=sin（2x+）的圖像向右平移φ個單位，得到y(tǒng)=sin（2x+-2φ）的圖像，由該函數(shù)的圖像關于y軸對稱，可知sin（-2φ）=±1，即sin（2φ-）=±1，故2φ-=kπ+，k∈Z，即φ=+，k∈Z，所以當φ>0時，φmin=.

解法2：由f（x）=sin（2x+）的圖像向右平移φ個單位后所得的圖像關于y軸對稱可知，-2φ=+kπ，k∈Z，又φ>0，所以φmin=.

點評：三角函數(shù)的奇偶性的判別主要依據(jù)定義：首先判定函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，當函數(shù)的定義域關于原點對稱時，再運用奇偶性定義判別.?特別要注意的是，一個三角函數(shù)可能不具有奇偶性，但仍有可能關于某點對稱，或者關于直線對稱.

例9.（多選題）已知函數(shù)f（x）=2sin2x·cosx-sinx，則（???）

A.?將函數(shù)f（x）的圖像向左平移得到的函數(shù)圖像解析式為g（x）=cos3x

B.?函數(shù)f（x）最小正周期為

C.?函數(shù)f（x）圖像的對稱中心為（，0），k∈Z

D.?函數(shù)f（x）的圖像關于直線x=k+，k∈Z對稱

解法1：f（x）=2sin2x·cosx-sinx

=4sinx·cos2x-sinx=sinx·（4cos2x-1）=sinx·（2cos2x+cos2x）

=sinx·（2cosx·cosx+cos2x）=sin2x·cosx+sinx·cos2x=sin3x，

所以f（x）的周期為T=，B對.

將函數(shù)f（x）的圖像向左平移得到的解析式為g（x）=sin3（x+）=-cos3x，A錯.

f（x）=sin3x圖像的對稱中心為（，0），k∈Z，C對.

f（x）=sin3x圖像的關于直線x=+，k∈Z，對稱，D錯.

所以選BC.

解法2：f（x）=2sin2x·cosx-sinx=sin2x·cosx+sin2x·cosx-sinx=sin2x·cosx+sinx·（2cos2x-1）=sin2x·cosx+sinx·cos2x=sin3x.

以下同解法1.

點評：本題的化簡，有一定的技巧.

例10.?寫出一個最小正周期為2的奇函數(shù)f（x）=________.

解析：基本初等函數(shù)中既為周期函數(shù)又為奇函數(shù)的函數(shù)為y=sinx，或y=tanx，所以此題可考慮在此基礎上調(diào)整周期使其滿足題意.

設f（x）=sin？棕x，且T=2=？棕=，所以最小正周期為2的一個奇函數(shù)可以為f（x）=sinx.

或者f（x）=tanx.

點評：開放性問題，答案不唯一.

考點五：三角函數(shù)的求值

三角函數(shù)的求值，包含“給角求值”，“給值求值”，“給值求角”等問題.

例11.?求值sin+cos=________.

解法1：由半角公式，得原式=+=.

解法2：由差角公式，得原式=sin（-）+cos（-）=.

解法3：由倍角公式，得原式==.

解法4：直接將原式變形，得原式sin（+）=sin=.

點評：上面四種解法運用了不同的公式和變形方法，不僅進一步熟悉了三角公式的用法，也訓練了思維的靈活性.

“給角求值”，一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關系，解題時，要利用觀察得到的關系，結合公式轉化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解.

例12.?已知tan=-2，tan（+）=，則tan的值為_______.

解析：tan?=tan（+?-）===3.

點評：“給值求值”，即給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系.

例13.?已知tan（-?）=，tan?=-，且，∈（0，），求2-的值.

解析：∵2-?=2（-?）+?，tan?（-?）=，

∴tan2（-?）==，

從而tan（2-?）=tan[2（-?）+?]====1.

又∵tan=tan[（-?）+?]==<1.

且0<<，∴0<<.?∴0<2<.

又tan?=-<0，且∈（0，），

∴

∴-<2-?<0.?∴2-?=-.

點評：“給值求角”，實質(zhì)是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角.即解決“給值求角”問題是由兩個關鍵步驟構成：①把所求角用含已知角的式子表示;②由所得的函數(shù)值結合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角.

考點六：三角函數(shù)式的化簡與證明

例14.?化簡（<<2）

解析：∵<<2，∴=cos=cos.

又∵<<，∴=sin=sin，∴原式=sin.

例15.?若2tan=3tan?β，證明：tan（-?β）=.

解析：∵tan=tan?β，

∴tan（-β）===.

又∵=

===.

∴tan（α-β）=.

點評：將被證等式的兩邊都用tan?β表示，而不含tan?α，本質(zhì)上是“消元法”.?將多個變量的表達式，變?yōu)閱蝹€變量的表達式，往往要使用“消元”的方法.

考點七：三角函數(shù)的應用

三角函數(shù)是工具，在平面幾何、立體幾何、向量、導數(shù)問題中都有用武之地.

例16.?如圖4，直線l⊥平面?α，垂足為O，已知在直角三角形ABC中，BC=1，AC=2，AB=.?該直角三角形在空間做符合以下條件的自由運動：①A∈l，②C∈α.?則B、O兩點間的最大距離為_______.

解析：易知，當A，O，C，B共面且O、B在CA異側時，B、O兩點間有最大距離.?此時點B記為點B′，過B′作α的垂線B′D，垂足為D，設∠B′CD=，則CD=cos，B′D=sin，OC=2cos（-）=2sin，

所以OD=2sin+cos在直角三角形OB′D中，

OB′==

==

==

當2-=時，OB有最大值=+1.

點評：首先要判斷問題何時兩點間有最大距離，然后設法表示兩點間的距離，引入輔助角是武器.

例17.?在平面直角坐標系中，O為原點A（-1，0），B（0，），C（30）動點D滿足=1，則++的最大值是__________.

解析：動點D的軌跡是以C為圓心的單位圓（x-3）2+y2=1，可設點D坐標為（3+cos，sin）（0∈[0，2）），則

++=，

==，

所以++的最大值為=1+.

例18.?設函數(shù)f（x）=，則（?）

A.?f（x）=f（x+）??????????B.??f（x）的最大值為

C.?f（x）在（-，0）單調(diào)遞增?????D.?f（x）在（0，）單調(diào)遞減

解析：f（x）==，代入驗證可知f（x）=f（x+），所以A正確.

又f（x）可變形為f（x）===2·，f（x）的幾何意義為單位圓上的動點（sin2x，cos2x）與點（-4，0）連線的斜率的2倍（如圖所示5），相切時取最大值為，故B錯.

當x∈（-，0）時，動點在第二象限從左到右運動，斜率先增大后減小，故C錯.

當x∈（0，）時，動點在第一象限從左到右運動，斜率先增大后減小，故D正確.

故正確答案是AD.

點評：構造適合題意的圖形，利用其幾何意義判斷BCD是否正確，是快速求解本題的有效途徑.

例19.?如圖6，圓O的直徑AC=8cm，直線l與圓相切于點A，P為圓的右半圓弧上的動點，PB⊥直線l于B，求△PAB面積的最大值.

解析：設∠POC=，半徑OP=4cm，

作PD⊥AC于D，∵AC⊥l，PB⊥l，∴?PD=AB，PB=AD.

∴?AB=PD=4sin，PB=AD=4+4cos

∴△PAB的面積

S=f（）=AB·PB=8sin（1+cos）=8（sin+sincos），∈（0，）

S′=?f?′（）=8（cos+cos2-sin2）=16（cos-）（cos+1），cos∈（-1，1）.

在（0，）內(nèi)f?′（）>0，在（，）內(nèi)f?′（）<0，即f（）在（0，）內(nèi)遞增，在（，）內(nèi)遞減，

∴?=時，（S△PAB）max=?f（）=6cm2.

∴?△PAB面積的最大值為6cm2.

責任編輯 徐國堅