鄭洽才

【摘要】運算始終是數(shù)學課程最基本的內(nèi)容，也是最基本的能力。很多高中生計算能力較差，不少學生對一些簡單的運算都過不了關，造成成績不理想。而高考很重視考查學生的計算能力，學生計算能力的好壞直接影響到數(shù)學成績，很多學生由于運算出錯而失分。出錯的原因除了粗心大意外，還有可能是記錯、記混運算公式，或審題時對常見的運算易錯點不注意等。本文對學生在高中數(shù)學運算的幾個易錯點進行舉例研究并提出一些對策，希望可以幫助學生減少運算方面內(nèi)容的扣分。

【關鍵詞】高中數(shù)學運算? 公式? 易錯點? 對策

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）07-0134-02

課程標準對高中數(shù)學運算能力提出了較高的要求，不僅要求學生會根據(jù)法則、公式，進行正確運算和變形，而且要能根據(jù)問題的條件，尋求與設計合理、簡捷的運算途徑。高中數(shù)學的運算形式多樣，對初中的數(shù)學知識進行推廣和引申，學生還要學習很多新的運算符號和一些新的運算，例如對數(shù)運算。這樣對學生的運算能力提出了更高的要求，運算的難度也比初中要高。如在初中對基本初等函數(shù)的函數(shù)值的考查較低，對含有參變量一元二次方程都不作要求，但這部分含參的內(nèi)容在高中經(jīng)常出現(xiàn)。還有一元二次方程因式分解的內(nèi)容，初中有些學校對它講解和訓練得較少，而在高中數(shù)學中分解因式的技巧、十字相乘都有很高的要求。高中運算的數(shù)的大小和范圍都比初中要廣，數(shù)由實數(shù)擴充到了復數(shù)，運算的步驟總體也比初中多。很多學生考試時往往會在運算的某方面出錯失分，因此，有必要對這些易錯點及應對策略進行研究。下面結合本人的教學實踐，談談在這方面的相關認識和做法。

易錯點一：沒有注意到運算過程中一些常見的運算細節(jié)

例1：Sn=n2-1求數(shù)列{an}的通項公式。

解：當n=1時，a1=S1=0

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=（n2-1）-[（n-1）2-1]=n2-1-n2-2n

分析：其中可以看出學生去括號時只是變了一個符號而導致錯誤，最后不是減2n應該是加2n。其實本題可以先化出Sn-1 后用Sn減去Sn-1，運算過程中Sn-1的每一項符號都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，這樣可以盡量避免失誤。

例2：asinx=0.5a，求sinx及x。

解：sinx=0.5且x=30°

分析：本題解的過程中沒有注意到a為參數(shù)不能直接除，得討論a為0和a不為0的情況，而且角度應該為30°+360°k或150°+360°k（k為整數(shù)）。另外，求ax2-（a+1）x+1>0的解時得討論a是否為0來判斷是不是為一元二次不等式。還有例如求有關對數(shù)函數(shù)的題目時，如果真數(shù)是變量則一般要注意真數(shù)大于0。而在三角形中若sinA=，則A=60°，實際上，由sinA=，可得A=60°或A=120°等。

對策：其實高中數(shù)學運算的過程中有很多注意點，所以，老師可以讓學生有意識地記錄這些注意點，然后利用課余時間去復習以便加深印象。另外，也可告訴學生如果平時自己做題有遇到運算出錯時，一定要好好研究一下出錯的具體原因，而不是簡單地歸結為是粗心大意就不再去深入總結。針對具體的問題研究用什么方法能更好地避免運算失誤或者可以和同學老師探討一下應對方法。老師還要引導學生重視高中常用的四種數(shù)學思想，這些數(shù)學思想滲透在運算的過程中。例如如果學生對分類討論的思想掌握較好時則可避免很多運算錯誤，如遇到集合關系中含于符號時要注意討論集合為空集和不為空集兩種情況，對數(shù)的底數(shù)是a時要討論a>1還是0

易錯點二：運算過程不仔細、潦草

分析：本題最后的運算沒有把i2等于-1寫出來導致最后出錯，本題是高考的高頻考點，難度不大，但往往很多學生運算不完整導致最后失分，所以要求學生把一些易錯題最好每一步都細化算出來。

分析：本題解分式不等式，它的解題細化過程為移項通分后系數(shù)都化為正數(shù)最后才求解。學生對整個解題流程不熟悉，所以這個題就錯在少了一步，沒有把系數(shù)化為正而導致了錯誤。理解一元二次不等式時有一規(guī)則為“大于號取兩邊，小于號取中間”，其前提也是得先把系數(shù)化為正，即開口向上才成立。

對策：在教學中，教師要培養(yǎng)學生的運算意識，要讓學生知道運算是數(shù)學學習的重要方面。部分同學重視解題時思維推導過程，但對運算的過程卻不是很重視，這樣就會造成運算的準確性下降。例如有些學生在考試中經(jīng)常在運算方面出問題，如果不總結還會出現(xiàn)重復的錯誤。因此，教師在教學中要結合教學的內(nèi)容，講究訓練形式多樣化，把學生動手運算的積極性調(diào)動起來，轉變學生懶于計算或厭于計算的壞習慣。另外，在課堂上教師也要讓學生在草稿紙上的書寫不能太隨意，要工整規(guī)范，不同題目之間的解題區(qū)域區(qū)分要明顯，否則很容易看錯、看混。有的學生考試時書寫不規(guī)范，經(jīng)常將1寫成7、3寫成8，或者把負號寫得很小等，而數(shù)學運算看錯一個符號或數(shù)字都會讓整個運算出錯。另外，對簡單的計算題也要細心，一些運算題型的解題步驟要做到心中有數(shù)，才能在運算過程中不會遺漏掉某些過程，例如求解分式不等式的步驟一移二化三求，而本題還沒化就先求解了。

易錯點三：記錯記混運算公式或性質

例5：求解log23×log25的值

解：log23×log25=log2（3+5）=3

分析：本題記錯了公式，logaM+logaN=logaMN，有些同學錯記成logaM+logaN=logaMlogaN。本公式是由冪的運算性質anam=an+m推導出來的，指數(shù)式中的指數(shù)就相當對數(shù)式中的對數(shù)，所以知道推導過程有助于對公式的正確記憶。

例6：cos75°=cos（30°+45°）=cos30°cos45°+sin30°sin45°

分析：本題錯在記混了兩角和余弦公式，最后的運算應該是減號而非加號，可能學生誤記成了兩角和正弦公式的符號，這就是相似的公式或性質容易記混。再例如有些同學常把雙曲線a、b、c三者的關系記成橢圓的關系a2=b2+c2。

對策：很多同學運算不正確的原因常常是概念模糊，公式、法則遺忘，性質混淆或生搬硬套。因此，指導學生在理解的基礎上進行記憶尤其重要，得加強公式、定理發(fā)生、發(fā)展和形成過程的教學。例如有些同學把余弦定理記成a2=b2+c2+2cbcosA，如果學生知道它是由向量的減法公式推導出來的，一般就不會把減號寫成加號了。同時我們還要讓學生知道很多知識和規(guī)律的產(chǎn)生都有一個過程，教師在教學中要先告訴學生知識的來源或發(fā)展，這樣可以讓學生加深對知識的印象。例如高中的向量運算，若學生能夠了解向量運算與物理中的合力、做功等知識有聯(lián)系，則對知識的掌握更深刻，以后做題時就能更好地應用這些運算。學生還可以通過經(jīng)?？匆恍┲R點小冊子或筆記來加強對概念、公式、法則的記憶。而對一些掌握不好的運算知識點，可以通過多做一些題來加深對它們的認識和理解。另外，老師平時在教學中可以對公式或性質中一些容易出錯的地方和特點加以強調(diào)。

易錯點四：對運算公式或性質的使用條件不清楚而用錯

分析：本題錯在不知道等比數(shù)列求和公式只適合公比不為1的等比數(shù)列，所以在使用公式前要確保這個數(shù)列的公比不為1。而此題x可能為1，就不能用上面這個公式;也可能為0，那就不是等比數(shù)列了。

分析：本題錯在沒有考慮x為負數(shù)的情形，忽視基本不等式成立的前提“正數(shù)”?；静坏仁降氖褂靡弦徽ㄈ嗟鹊臈l件才算最終使用正確。很多同學在對公式或性質使用時不注意它們的適用條件而出錯。例如在奇函數(shù)求參數(shù)題時，很多同學直接利用f（0）=0，但這個性質的使用前提是函數(shù)的定義域必須含有0才成立。在導數(shù)的學習中也有一些學生用錯運算公式，例如（bex）'=ex+bex，學生因對運算公式的使用條件不理解而錯用了運算公式，b是常數(shù)而非變量x，故正確的結果應該為（bex）'=bex 。再比如有些同學在求兩平行線的距離時直接用公式d=，忘了公式的使用前提是兩直線方程中x和y的系數(shù)必須先保證是相同的。

對策：學生忽視公式、定理的前提條件，濫用公式、定理，都是造成學生計算失分的主要原因，所以老師指導學生在理解的基礎上進行記憶顯得尤其重要。如果教師對公式和性質定理的形成沒有進行深入的推導，則學生對知識掌握不夠深刻，常常忘了公式的使用條件和范圍，甚至造成學生不理解題意而錯用公式。我們在教學中也可以設計一些不符合運算公式使用條件和范圍的題目，讓學生自己通過做題去體驗一下是否對知識點達到完全的理解，并讓學生在思想上意識到有些運算公式或性質定理的使用是有范圍和條件的。例如兩直線平行則k1=k2前提是直線的斜率存在才行。同時還可以引導學生在做題時根據(jù)題目條件聯(lián)想到使用某個公式，例如知道兩正數(shù)求最值的問題，可以考慮用基本不等式法。因此，教師在課堂上不僅要教學生公式、定理本身，也要告訴學生公式、定理成立的條件及特殊情形等易錯點。

易錯點五：審題不仔細而導致運算出錯

分析：本題錯在沒看清向量的方向就默認夾角為角B，由于公共點B在一個向量為起點一個為終點，所以兩向量的夾角應該為角B的補角才對。做錯題的同學可能對向量的夾角概念掌握得不好，所以對概念、定理、性質的理解是運算準確性的前提。

例10：△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a=2，c=3，∠B=30°，則b=? ?3? ?。

解：由余弦定理得：b2= a2+c2-2accosB=3

分析：本題錯在沒看清題意，主要是審題不仔細，它問的是邊長而非b的平方。又如學生還會經(jīng)常因沒看清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，而用錯性質或公式。還有題目有時求長軸或求焦距時，有些學生會求成長半軸或焦半距，幾何體求表面積看成求側面積，求圓或球的直徑看成是求半徑等。

對策：準確、敏銳、深入地審題是正確分析問題、把握本問題本質、探尋解題思路、提高數(shù)學運算準確性的關鍵，學生審題能力的高低會直接影響解題的結果。平時做作業(yè)或考試時，有些學生因粗心大意，不認真審題。經(jīng)常出現(xiàn)以下的問題：12看成21、2看成5、3看成8等。由于有些學生沒有認真看清題意，結果本來會做的題卻沒有得分或得不到滿分。所以，在教學中教師要有意識地培養(yǎng)學生的審題能力，要求學生要審清題目中的數(shù)字和符號等細節(jié)。對題目里的一些重要信息，可以邊審邊用筆先把它畫出來，特別是最終題目的目標是什么。數(shù)學題目中有很多都存在關鍵的字詞，對它們進行深入研究能找到解題的突破口。所以，審題時除了注意各個部分之間的區(qū)別和聯(lián)系外，還要針對關鍵數(shù)字，展開解題的思維起點，進而培養(yǎng)學生的審題能力。在平時的學習中也可以對一些運算時易審錯的地方多加留意，總結經(jīng)驗。

總之，平時在學生易出錯之處，讓學生去嘗試，去充分“暴露問題”，然后認真剖析其錯誤，不斷引導，使學生留下深刻印象。同時要求學生多做一些課后習題，并在平時的學習和訓練中，要在思想上重視這些運算的易錯點。引導學生在經(jīng)過長期運算訓練后，對一些關鍵性的計算公式和自己容易犯錯誤的地方進行總結，并利用一些對策盡量減少在考試中的失分，在平時進行檢驗運算時總結一些需要注意的常見易錯點，那么在考試時就可以展開更有效的驗算。這樣才能提高學生在考試時的運算能力，從而提高學生的數(shù)學成績，進而提升他們學好數(shù)學的自信心。

參考文獻：

[1]《數(shù)學課程標準解讀》，北京師范大學出版社，2002

[2]顧建峰.高中生數(shù)學運算能力的問題與對策研究[D].重慶：重慶師范大學，2012