吳 彤

(東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 長春 130024)

1 預(yù)備知識

Chen建立了陳不等式后，許多幾何學(xué)者對不同空間不同聯(lián)絡(luò)的陳不等式進行了研究[1-4].文獻[5]研究了實空間半對稱度量及非度量聯(lián)絡(luò)的陳不等式.

(1)

其中P是N上的向量場，并且π(Y)=ɡ(P，Y).

(2)

其中：

(3)

數(shù)量曲率τ在x點為

(4)

2 主要結(jié)論及證明

(5)

(6)

設(shè)Π=span{e1，e2}，并且令

tr(α|Π)=α(e1，e1)+α(e2，e2)，

tr(h|Π)=h(e1，e1)+h(e2，e2)，

則有

(7)

同理有

(8)

那么

(9)

所以

(10)

通過文獻[7]引理2.4，可知

(11)

則定理成立.

(12)

(13)

(14)

(15)

證明設(shè)X∈TxM是在x點的單位切向量，選擇一組標準正交基{e1，…，en}，令e1=X.則

(16)

(17)

證明在x點選擇一組標準正交基{e1，…，en，en+1，…，en+p}使得en+1平行平均曲率向量H(x)，則