孔祥強(qiáng)，趙培臣

(菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 菏澤 274015)

分裂四元數(shù)是非交換的結(jié)合代數(shù)，且含有零因子、冪零元和冪等元[1-3].文獻(xiàn)[4-5]研究了分裂四元數(shù)及雙曲型交換四元數(shù)的極表示.文獻(xiàn)[6-7]定義了新的非交換環(huán)并給出2階實(shí)矩陣的棣莫弗定理.文獻(xiàn)[8-11]研究了對(duì)偶四元數(shù)表示矩陣及分裂半四元數(shù)的棣莫弗定理.有關(guān)對(duì)偶分裂四元數(shù)的研究已取得部分成果[12-16].本文將對(duì)偶分裂四元數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)其四階表示矩陣的研究，通過引入極表示，給出對(duì)偶分裂四元數(shù)表示矩陣的不同形式的棣莫弗定理，同時(shí)得到對(duì)偶分裂四元數(shù)表示矩陣方程的求根公式.

符號(hào)R、D、H、HD分別表示實(shí)數(shù)集、對(duì)偶數(shù)集、分裂四元數(shù)集、對(duì)偶分裂四元數(shù)集，I4表示4階實(shí)單位矩陣.

1 對(duì)偶分裂四元數(shù)

2 對(duì)偶分裂四元數(shù)的表示矩陣

定理1 任一對(duì)偶分裂四元數(shù)均可表示為D上的4階矩陣.

由此可定義對(duì)偶分裂四元數(shù)集合為D上4階對(duì)偶矩陣集合

3 對(duì)偶分裂四元數(shù)表示矩陣的棣莫弗定理

3.1 Nq>0，NVq<0時(shí)的情形

證明由數(shù)學(xué)歸納法，設(shè)對(duì)任意的正整數(shù)n，有

故

又

所以

故對(duì)任意的整數(shù)n，結(jié)論成立.

3.2 Nq>0，NVq>0時(shí)的情形

則

證明根據(jù)歸納法，設(shè)對(duì)任意的正整數(shù)n，有

故

故對(duì)任意的整數(shù)n，結(jié)論成立.

3.3 Nq<0，NVq<0時(shí)的情形

且：

(1) 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

(2) 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

定理4的證明與定理2—3的方法類似，此處不再贅述.

(1) 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

(2) 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

4 對(duì)偶分裂四元數(shù)表示矩陣的方程的根

其中k為整數(shù).

其中k=0，1，2，…，n-1.

當(dāng)k=0時(shí)，第1個(gè)根為

當(dāng)k=1時(shí)，第2個(gè)根為

依次可求出其余根.

5 結(jié)語

對(duì)偶分裂四元數(shù)及其表示矩陣是四元數(shù)領(lǐng)域研究的重要課題.本文從對(duì)偶分裂四元數(shù)的極表示出發(fā)，分3種情形分別介紹了對(duì)偶分裂四元數(shù)表示矩陣的棣莫弗定理，推廣了歐拉公式.當(dāng)對(duì)偶角為實(shí)數(shù)角時(shí)，得到了表示矩陣方程的求根公式.以本文為基礎(chǔ)，可進(jìn)一步研究對(duì)偶分裂四元數(shù)的其他問題.