孟 曉 玲

(鄭州航空工業(yè)管理學院數(shù)學學院，河南 鄭州 450015)

1 預備知識

分數(shù)階系統(tǒng)同步取得了很多研究成果.[1-9]文獻[10]對一類不確定分數(shù)階混沌系統(tǒng)實現(xiàn)了積分滑模同步；文獻[11]實現(xiàn)了分數(shù)系統(tǒng)主動滑模同步；文獻[12]實現(xiàn)了同步時間的估計；文獻[13]實現(xiàn)了分數(shù)階不確定Victor-Carmen混沌系統(tǒng)的滑模同步.另一方面，單擺混沌系統(tǒng)引起了眾多學者的高度關注.文獻[14]研究了整數(shù)階分數(shù)階單擺混沌系統(tǒng)的混沌同步；文獻[15]研究了分數(shù)階單擺混沌系統(tǒng)的終端滑模同步.系統(tǒng)的不確定性是影響系統(tǒng)不穩(wěn)定的根源，另外利用自適應方法研究不確定分數(shù)階單擺混沌系統(tǒng)方面的結果還是比較少的.本文研究不確定整數(shù)階和不確定分數(shù)階單擺系統(tǒng)的自適應滑模混沌同步，給出了不確定整數(shù)階及不確定分數(shù)階單擺混沌系統(tǒng)的自適應滑模同步，通過設計適應律和控制器得到單擺系統(tǒng)獲得滑模同步的2個相關結論.

定義1[16-17]分數(shù)階Caputo微分可定義為

2 主要結果

分數(shù)階單擺系統(tǒng)可以描述為

(1)

(2)

其中：y(t)=(y1，y2)T，[0，+∞)和di(t)為不確定項和外擾，ui(t)代表控制量.

假設1 不確定項Δfi(y)和外擾di(t)均有界，即存在未知常量mi，ni>0，滿足

|Δfi(y)|

定義ei=yi-xi(i=1，2)，則有

(3)

引理1[18]若x(t)為連續(xù)可微的函數(shù)，則對任意的t≥0，有

自適應控制律為

從而ei(t)→0，滑模面穩(wěn)定.

整數(shù)階單擺混沌系統(tǒng)描述如下：

(4)

設計(4)為主系統(tǒng)，從系統(tǒng)如下：

(5)

定義ei=yi-xi(i=1，2，…，n)，從而得

(6)

自適應律設計為

兩邊積分得

由引理3，得si→0?ei(t)→0，則系統(tǒng)(4)與(5)是滑模同步的.

3 數(shù)值仿真

分數(shù)階單擺混沌系統(tǒng)的系統(tǒng)誤差如圖1—2所示.

圖1 第1誤差變量

圖1 第2誤差變量

4 結論

本文研究了單擺混沌系統(tǒng)的滑模同步，給出了帶有不確定性和有界擾動的單擺混沌系統(tǒng)獲得滑模同步的結論，設計出新型趨近速度更快的滑模函數(shù)是下一步考慮的嶄新課題.