何麗琴,游小英,方連花

（1.漳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程學(xué)院,福建漳州363000；2.泉州信息工程學(xué)院通識(shí)教育中心,福建 泉州362000）

數(shù)學(xué)家Pawlak提出的粗糙集理論[1]是一種用于處理模糊、不確定信息的數(shù)學(xué)方法.目前，已有很多學(xué)者在不同的方向上對(duì)其展開了研究，這些方向有：覆蓋粗糙集[2]、變精度粗糙集[3]、多粒度粗糙集[4-6]、變精度多粒度粗糙集[7]等.

粗糙集上、下近似的定義太過(guò)于精確，不具有容錯(cuò)性.根據(jù)經(jīng)典粗糙集的非容錯(cuò)性特征，Ziarko[3]結(jié)合概率論，定義了變精度粗糙集模型，它能夠靈活地處理生活中一些具有模糊不確定的概念與決策.經(jīng)典粗糙集與變精度粗糙集都屬于單粒度粗糙集模型，然而實(shí)際問題的處理常常需要從多個(gè)角度來(lái)考慮，因此多粒度粗糙集更能適應(yīng)于現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用.

現(xiàn)今，關(guān)于變精度多粒度粗糙集的成果不斷涌現(xiàn).錢宇華等[4-6]提出了多粒度粗糙集、并研究了該模型的一些性質(zhì)；竇慧莉等[7]提出了可變精度多粒度粗糙集模型，并探討了該模型的性質(zhì).

證據(jù)理論[8-9]是由mass函數(shù)生成的信任、似然函數(shù)來(lái)描述知識(shí)的不確定性.同樣用于度量不確定性的粗糙集理論，其近似算子可用證據(jù)理論中的信任、似然函數(shù)來(lái)定性描述.B Marszal-Paszek 等[13]結(jié)合證據(jù)理論與變精度粗糙集模型，探究了β-近似域定義下的信任和似然函數(shù).Tan 等[11]結(jié)合證據(jù)理論，探討了多粒度粗糙集的一些數(shù)值特征.車曉雅等[12]探究了證據(jù)理論下多粒度覆蓋粗糙集的屬性特征.然而，證據(jù)理論與變精度多粒度粗糙集的關(guān)系的研究目前比較少，對(duì)于基于證據(jù)理論的變精度多粒度粗糙集的數(shù)值屬性研究有待進(jìn)一步完善.

本文結(jié)合了變精度多粒度粗糙集和證據(jù)理論，并對(duì)其數(shù)值屬性問題進(jìn)行了一些探討，首先介紹了變精度多粒度粗糙集模型的上近似算子、下近似算子，然后通過(guò)劃分函數(shù)將多粒度粗糙集轉(zhuǎn)化成單粒度粗糙集，構(gòu)建了變精度多粒度粗糙集模型的信任結(jié)構(gòu)，并生成相應(yīng)的信任函數(shù)與似然函數(shù)，這些結(jié)果有利于完善變精度多粒度粗糙集的數(shù)值屬性約簡(jiǎn)理論.

1 變精度粗糙集

設(shè)U為有限非空論域，A表示所有屬性的集合，則稱二元組(U,A)為信息系統(tǒng).對(duì)?a∈A，定義映射a:U→Va，Va表示屬性a的值域，即a(x) ∈Va(?x∈U).在信息系統(tǒng)(U,A)中，由屬性集A，可得到一個(gè)不可分辨關(guān)系IND(A)={(x,y) ∈U2:?a∈A,a(x)=a(y)}.

易證，不可分辨關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，[x]A={y∈U:(x,y) ∈IND(A)}，表示x的等價(jià)類.

定義1[3](相對(duì)正確分類率)設(shè)有限論域U，對(duì)?X,Y?U，定義X相對(duì)于Y的相對(duì)正確分類率為：其中|X|表示的是集合X的元素個(gè)數(shù)(基數(shù)).

定義2[3](變精度上、下近似)設(shè)論域U，A是所有屬性的集合，(U,A)為信息系統(tǒng)，0.5<β≤1，對(duì)于?X?U，則X的β下近似、上近似算子分別定義為而X的β邊界域和負(fù)域?yàn)?/p>

定義3[13]設(shè)論域U，定義集函數(shù)m:2U→[0,1](2U是U的全體子集)，稱其為mass函數(shù)，若滿足：

1)m(?)=0；

基于上述定義，可導(dǎo)出信任、似然函數(shù)的定義：

定義4[8]設(shè)論域U，集函數(shù)m:2U→[0,1]為mass函數(shù).則以下函數(shù)：

1)集函數(shù)Bel:2U→[0,1]稱為U上的信任函數(shù)，若滿足

2)集函數(shù)Pl:2U→[0,1]稱為U上的似然函數(shù)，若滿足顯然，Bel(X)=～Pl(～X).此外，信任函數(shù)還滿足：

1)Bel(?)=0；

2)Bel(U)=1；

2 變精度多粒度粗糙集

定義5[7]（變精度多粒度粗糙集的下近似與上近似）設(shè)信息系統(tǒng)(U,A)，其中U是論域，且A1，A2，…，Am?A，對(duì)?X?U，0.5<β≤1，有：

1)X的變精度樂觀多粒度下、上近似為：

2)X的變精度悲觀多粒度下、上近似為：

3 變精度多粒度粗糙集的信任結(jié)構(gòu)

Tan等[11]曾表明樂觀多粒度粗糙集不能用證據(jù)理論來(lái)刻畫，悲觀多粒度粗糙集才能被證據(jù)理論刻畫.因此，我們只探討變精度悲觀多粒度粗糙集的信任結(jié)構(gòu).

信息系統(tǒng)(U,A∪syggg00)被稱為決策表，其中d為決策屬性.我們假設(shè)決策屬性d的值域是Vd={1,…,l}，且決策類U d={D1,D2,…,Dl}，其中Di={x∈U:d(x)=i}，i是決策類的序.

定義6信息系統(tǒng)(U,A∪syggg00)，對(duì)于任意屬性B?A及?x∈U，定義集函數(shù)jB:2U→2U:jB(X)={x∈U|(x)B=X}.對(duì)于?X∈2U，則jB(X)是論域U上的一個(gè)劃分.

證明首先，證明?X，X`?U，X≠X`，jB(X) ∩jB(X`)≠?.假設(shè)?x∈U，使x∈jB(X) ∩jB(X`)，則有(x)B=X=X`成立，這與X≠X`矛盾.因此，?X，X`?U，X≠X`，jB(X) ∩jB(X`)≠?.其次，證明U=有x∈(x)B，(x)B≠?，(x)B?U，則故對(duì)于?X∈2U，jB(X)是論域U上的一個(gè)劃分.

根據(jù)以上集函數(shù)，可把變精度多粒度粗糙集轉(zhuǎn)化成單粒度粗糙集.此時(shí)，變精度單粒度粗糙集便存在信任結(jié)構(gòu)，并且在集函數(shù)產(chǎn)生的劃分jB(X)下的X的β變精度單粒度下近似、上近似分別為：

而X的β變精度單粒度邊界域和負(fù)域?yàn)?/p>

對(duì)于信息系統(tǒng)(U,A∪syggg00)，決策屬性d的值域是Vd={1,…,l}，且決策類U d={D1,D2,…,Dl}，集合Vd={1,…,l} 稱為d定義下的不可區(qū)分框架.對(duì)?θ?Vd，我們定義的θ的β邊界域?yàn)椋?/p>

命題1[10]集族中所有不空的集合組成了論域U上的一個(gè)劃分.

對(duì)于信息系統(tǒng)(U,A∪syggg00) 被稱為決策表，決策屬性d的值域是Vd={1,…,l}，且決策類U d={D1,D2,…,Dl}.我們將Vd拓展成Vd∪{0}，其中0 是一個(gè)特殊元，這就意味著，對(duì)于集合??U，BdjB(X),β(?)有著特殊的決策d=0.

定義7對(duì)于?θ?Vd∪{0}，定義函數(shù)

上述的函數(shù)將決策類的序數(shù)集合Vd∪{0}的子集轉(zhuǎn)化成中的元素.

定義8設(shè)Θ={θ0,θ1,…,θk}是一個(gè)決策表的不可區(qū)分兼容框架，定義一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)雙射函數(shù)χ:Θ→Vd∪{0}，χ(θi)=i，i=0,1,…,l.

定義9對(duì)于Vd∪{0}，?x∈U，定義新的β決策屬性函數(shù)來(lái)近似決策屬性d，函數(shù)如下：

命題2設(shè)信息系統(tǒng)(U,A∪syggg00)，其中U是論域，對(duì)?X?U，?x∈U，?θ?Vd∪{0}，mass 函數(shù)m:2Θ→[0,1]定義如下：則

證明mjB(X),β(?)=0，顯然成立.

綜上，易得以下定理：

定理設(shè)信息系統(tǒng)(U,A∪syggg00)，Θ是一個(gè)決策表的不可區(qū)分兼容框架，χ是一個(gè)從Θ到Vd∪{0}的標(biāo)準(zhǔn)雙射函數(shù).對(duì)?X?U，?x∈U，?θ?Vd∪{0}，由mass函數(shù)，則可導(dǎo)出信任函數(shù)和似然函數(shù)：

4 實(shí)例說(shuō)明

例設(shè)信息系統(tǒng)(U,A∪syggg00)，設(shè)U={x1,x2,…,x21} 為論域，決策類為U d={D1,D2,D3}，其中D1={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x20,x21}，D2={x13,x14,x15,x16,x17}，D3={x11,x12,x18,x19}.

對(duì)不同屬性A1，A2產(chǎn)生的多粒度劃分為：

令B={A1,A2}，則

則可以得到

U jB(X)={{x1,x2,x11,x12,x19},{x3},{x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x13,x20,x21},{x14,x15,x16,x17,x18}}.令β=0.9，則變精度單粒度粗糙集上、下近似算子為：

我們有Vd={1,2,3}，可以直接計(jì)算出

5 結(jié)論

本文構(gòu)建了證據(jù)理論下變精度多粒度粗糙集模型的信任結(jié)構(gòu)，并產(chǎn)生了該模型的信任函數(shù)與似然函數(shù)，還用實(shí)例來(lái)說(shuō)明這整套方法的合理性.通過(guò)上述的研究，為變精度多粒度粗糙集研究提供了一個(gè)新思路.今后的工作，我們可以通過(guò)變精度多粒度粗糙集的信任結(jié)構(gòu)去探索該模型的屬性約簡(jiǎn)方法.