摘? 要：研究了一類具有隨機長連接強度的時滯小世界網(wǎng)絡(luò)的特征值分布。首先給出小世界網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和矩陣表示，分析了構(gòu)成小世界網(wǎng)絡(luò)的規(guī)則環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的連接強度矩陣的最大特征值、最小特征值和其他n-2個特征值的取值范圍，討論了小世界網(wǎng)絡(luò)的長連接強度矩陣元素Xij的數(shù)學(xué)期望和方差，進而分析了小世界網(wǎng)絡(luò)的長連接強度矩陣X的特征值分布，最后給出了小世界網(wǎng)絡(luò)連接強度矩陣D的特征值分布。

關(guān)鍵詞：小世界網(wǎng)絡(luò);隨機長連接強度;時滯;特征值分布

中圖分類號：O157.5? ? ? 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：2096-4706（2021）05-0135-03

Study on the a Kind of Eigenvalues of Small World Network

ZHOU Jing

（Institute of Information Technology，Jilin Agricultural University，Changchun? 130118，China）

Abstract：A kind of eigenvalue distribution of a small world network with time delay with random long connection strength is studied. Firstly，the structure and matrix representation of small world network are given. The maximum eigenvalue，the minimum eigenvalue and the value range of other n-2 eigenvalues of the connection strength matrix of regular ring network of small world network are analyzed. The mathematical expectation and variance of the element Xij of the long connection strength matrix of small world network is discussed，then the eigenvalue distribution of the long connection strength matrix X of small world network is analyzed. Finally，the eigenvalue distribution of the connection strength matrix D of small world network is given.

Keywords：small world network;random long connection strength;time delay;eigenvalue distribution

0? 引? 言

小世界網(wǎng)絡(luò)是一類特殊的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，具有較高的集聚系數(shù)和較短的平均路徑長度，它普遍存在于人類社會中，我們比較熟悉的人際關(guān)系網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)、大腦功能網(wǎng)絡(luò)[1]以及最近兩年對人們的生產(chǎn)生活產(chǎn)生著巨大影響的新冠病毒傳播網(wǎng)絡(luò)[2]等等，這些網(wǎng)絡(luò)都有著明顯的小世界特性。因此，關(guān)于小世界網(wǎng)絡(luò)方面的研究，特別是小世界網(wǎng)絡(luò)的建模、動力學(xué)性質(zhì)以及控制等方面的研究得到了全世界專家和學(xué)者們的廣泛關(guān)注，取得了許多有意義的研究成果，并在各個領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

小世界網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜多樣，因此在以往很多關(guān)于小世界網(wǎng)絡(luò)的研究中，為方便討論，通常假設(shè)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和節(jié)點間的連接方式是固定不變的，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點間的連接概率、連接強度及時滯等網(wǎng)絡(luò)參數(shù)均為常數(shù)。然而，在實際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和外部的干擾對小世界網(wǎng)絡(luò)的行為和性能有著非常重要的影響。特別地，對于小世界網(wǎng)絡(luò)來說，長連接是小世界網(wǎng)絡(luò)的重要標(biāo)志，起著關(guān)鍵性的作用，因此，如果對長連接的連接方式和連接強度的研究更接近于現(xiàn)實世界中小世界網(wǎng)絡(luò)的長連接的話，那將更有利于促進人們對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的認(rèn)識，掌握它的發(fā)展方向和未知的應(yīng)用。

在小世界網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)研究中，關(guān)于網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)行為的研究更加受到研究者們的青睞，如穩(wěn)定性問題、分岔問題、同步問題等等。一般地，為了定量的研究上述諸多問題，通常用微分方程或時滯微分方程來描述小世界網(wǎng)絡(luò)，而特征值問題是研究微分方程動力學(xué)性質(zhì)的關(guān)鍵問題，學(xué)者們在這方面也已經(jīng)取得了大量的研究成果，如：羅佳偉等[3]應(yīng)用特征值法給出了穩(wěn)定性切換準(zhǔn)則，研究了參數(shù)與時滯相關(guān)的延遲振子的穩(wěn)定性;盛夏等[4]應(yīng)用特征值法分析一個具有時滯的高維環(huán)狀神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的線性穩(wěn)定性，給出了從平凡解分岔出周期解的局部存在性;YU等[5]應(yīng)用特征值法討論了一類具有興奮性和抑制性長連接的時滯小世界網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性、不穩(wěn)定性和分岔模式，給出了穩(wěn)定性的一般條件和數(shù)值模擬的結(jié)果。但是目前對于具有隨機連接強度的小世界網(wǎng)絡(luò)模型特征值分布的研究卻較少。本文研究了一類具有時滯和非線性因素的小世界網(wǎng)絡(luò)，其網(wǎng)絡(luò)節(jié)點間的長連接是隨機的，連接強度也是具有某種分布的隨機變量，在此基礎(chǔ)上來研究小世界網(wǎng)絡(luò)連接矩陣的特征值問題。

1? 小世界網(wǎng)絡(luò)模型

本文考慮一類具有時滯的小世界網(wǎng)絡(luò)模型，其狀態(tài)方程表示為：

，i=1，2，…，n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

式中，xi（t）為第i個振子的位移，f（xi）為非線性函數(shù)，滿足f（0）=0，而且f '（0）=1，τ>0為時滯，dij為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點間的連接強度，如果節(jié)點間不存在連接，則dij=0，如果節(jié)點間存在連接，則dij≠0，dij=dji，且連接以彈性力和阻尼力的形式存在。

小世界網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，它是一類Newman-Watts小世界網(wǎng)絡(luò)。圖中每個黑色的圓圈代表一個節(jié)點，每條直線（包括實線和虛線）代表兩個節(jié)點之間的一個連接。網(wǎng)絡(luò)的具體構(gòu)建方式如下：首先，建立一個含有n（n充分大）個節(jié)點的規(guī)則環(huán)形網(wǎng)絡(luò)，每個節(jié)點都與其左右各2個節(jié)點相連，每個節(jié)點都不與自身相連。然后，在規(guī)則環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，隨機的選取兩個節(jié)點用直線連接，并設(shè)此長連接是一條激勵的連接，圖中使用“+”來表示，連接概率設(shè)為p（p?1），這里，我們假設(shè)節(jié)點i與節(jié)點j之間的長連接強度是服從某一概率分布的隨機變量，不再是固定的常數(shù)，用Xij來表示。

2? 小世界網(wǎng)絡(luò)的矩陣表示和特征值分析

將狀態(tài)方程（1）在零平衡點處線性化，可得：

，i=1，2，…，n

（2）

方程（2）整理成矩陣形式為：

（3）

方程（3）中的矩陣x=（x1，x2，…，xn）T表示小世界網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的狀態(tài)矩陣，矩陣D=（dij）n×n則表示小世界網(wǎng)絡(luò)的連接強度矩陣。根據(jù)研究需要，我們將連接強度矩陣表示為一個規(guī)則環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的連接強度矩陣V=（vij）n×n與小世界網(wǎng)絡(luò)的長連接強度矩陣X=（Xij）n×n的和矩陣，由所建小世界網(wǎng)絡(luò)模型的特點，可知矩陣D，V，X均為實對稱矩陣。通常，小世界網(wǎng)絡(luò)連接強度矩陣的特征值被稱為網(wǎng)絡(luò)的特征值，下面，我們通過分析實對稱矩陣V與X的特征值分布來討論小世界網(wǎng)絡(luò)特征值的分布。

引理1[6]：如果矩陣A為n階實對稱矩陣，它的每行元素之和都是相等的，則矩陣A的全部特征值均是實數(shù)，且A的最大特征值等于它的每行元素相加的和，A的最小特征值可以表示為，其中，m和k分別為規(guī)則環(huán)形網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的度和連接強度。

本文中，我們設(shè)規(guī)則環(huán)形網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的度為4，節(jié)點間的連接強度為0.01，即當(dāng)j∈[i-2，i+2]，（i，j=1，2，…，n）

時，vij=0.01，在i，j取其他值的情況下，vij=0，則根據(jù)引理1，可以給出規(guī)則環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的連接強度矩陣V的特征值分布。

結(jié)論1：設(shè)α1>α2>…>αn為規(guī)則環(huán)形網(wǎng)絡(luò)連接強度V的n個特征值，則V的最大特征值為α1=4×0.01=0.04，最小特征值為 ，其他n-2個特征值介于最大和最小特征值之間。

一般的，對于真實的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)目n較大，而長連接概率p較小，文獻[7]針對這種網(wǎng)絡(luò)進行了相應(yīng)的討論，可以將小世界網(wǎng)絡(luò)的長連接強度矩陣X=（Xij）n×n近似的看作是一個完全隨機的實對稱矩陣，當(dāng)j∈[i-2，i+2]，（i，j=1，2，…，n）時，Xij=0，在i，j取其他值的情況下，兩節(jié)點之間以概率p進行連接，如果存在長連接（已假設(shè)是激勵的長連接），則連接強度Xij=Wij=Wji為服從某種分布的隨機變量，不再是固定的常數(shù)，否則Xij=0。我們設(shè)Wij的均值為μ>0，即E（Wij）=μ，方差為σ2，即Var（Wij）=σ2，也就是說隨機變量Xij的概率分布為P（Xij=μ）=p，P（Xij=0）=1-p。已知，當(dāng)i與j以概率p連接時，有Xij=Wij，根據(jù)隨機變量期望的性質(zhì)，，所以，隨機變量的概率分布為 。需要注意的是，在長連接矩陣中，連接概率分布和連接強度分布是相互獨立的，因此長連接矩陣X的所有元素都是相互獨立的隨機變量，由概率論相關(guān)方面的知識，可得連接強度Xij的期望為：

E（Xij）=pμ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

方差為：

（5）

結(jié)論2：當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)目n較大，而長連接概率p較小時，小世界網(wǎng)絡(luò)的長連接強度Xij的期望為pμ，方差為p（σ2+μ2）-p2μ2，其中μ和σ2分別為節(jié)點間存在長連接時的連接強度的均值和方差。

引理2[8]：設(shè)A=（aij）n×n是實對稱隨機矩陣，即當(dāng)i≥j時，元素aij都是相互獨立的隨機變量，且E（aii）= v，E（aij）=μ，Var（aij）=σ2。如果μ>0，設(shè)ε1>ε2>…>εn為矩陣A的n個特征值，則最大特征值ε1近似的服從正態(tài)分布，它的期望和方差分別為：

E（ε1）=（n-1）μ+v+σ2/μ，Var（ε1）=2σ2? ? ? （6）

其他n-1個特征值滿足 的概率等于1。

根據(jù)引理2和式（4）～（5），我們可以給出小世界網(wǎng)絡(luò)長連接強度矩陣X的特征值的分布，如結(jié)論3所述。

結(jié)論3：如果小世界網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)目n充分大，且長連接概率p足夠小，則長連接矩陣可以近似為一個完全隨機矩陣。設(shè)β1>β2>…>βn為網(wǎng)絡(luò)長連接強度X的特征值，則最大特征值β1近似的服從正態(tài)分布，它的期望和方差分別為：

E（β1）=（n-6）pμ+σ2/μ+μ，Var（β1）=2[p（σ2+μ2）-p2μ2]

（7）

其他n-1個特征值滿足? ?的概率等于1。

引理3（矩陣擾動理論[9]）：設(shè)實對稱矩陣A，B，C滿足B=A+C，且矩陣A，B，C的特征值分別滿足式（8）給出的不等式關(guān)系：

α1>…>αn;β1>…>βn;γ1>…>γn? ? ? ? ?（8）

則矩陣B的特征值滿足式（9）給出的不等式：

ai+εn≤βi≤ai+ε1，i=1，2，…，n? ? ? ? ? ? ?（9）

根據(jù)結(jié)論3和引理3，我們可以給出小世界網(wǎng)絡(luò)連接強度矩陣D的特征值的分布，如結(jié)論4所述。

結(jié)論4：設(shè)γ1>γ2>…>γn是小世界網(wǎng)絡(luò)連接強度矩陣D的n個單特征值，則D的最大特征值滿足不等式γ1≤ α1+β1，最小特征值滿足式（10）：

（10）

其他n-2個特征值介于最大和最小特征值之間。

3? 結(jié)? 論

綜上，本文研究了一類具有隨機長連接強度的時滯小世界網(wǎng)絡(luò)模型的特征值分布。首先我們給出了小世界網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)示意圖，它是以規(guī)則環(huán)形網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)得到的一類Newman-Watts小世界網(wǎng)絡(luò)。通過分析得到了規(guī)則環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的連接強度矩陣的特征值分布，討論了當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點間以概率p（p?1）進行長連接，且長連接強度為服從某一分布的隨機變量時，小世界網(wǎng)絡(luò)的長連接強度矩陣元素Xij的期望和方差，并給出了此時長連接強度矩陣X的特征值分布，最后給出小世界網(wǎng)絡(luò)連接強度矩陣D的最大和最小特征值的取值范圍和其他n-2個特征值分布。通過以上研究，有利于深入了解真實小世界網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和性能，能夠為今后繼續(xù)探索小世界網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為和性質(zhì)奠定良好的基礎(chǔ)。

參考文獻：

[1] 王祖力，張艷.腦功能網(wǎng)絡(luò)核心節(jié)點及網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性研究 [J].中國計量學(xué)院學(xué)報，2014，25（4）：414-418.

[2] 陸君安，王沛.從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)小世界、無標(biāo)度、高聚類特性看新型冠狀病毒肺炎 [EB/OL].（2020-02-06）.https：//www. 163.com/dy/article/F4O4UQHB0511D05M.html.

[3] 羅佳偉，徐旭.參數(shù)與時滯相關(guān)延遲振子的穩(wěn)定性及Hopf分岔分析 [J].吉林大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版），2018，56（6）：1337-1344.

[4] 盛夏，張麗，鄭虹，等.具有時滯的高維網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的周期解 [J].吉林大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版），2010，48（5）：728-732.

[5] YU D Y，XU X，ZHOU J，et al. Stability and instability of a neuron network with excitatory and inhibitory small-world connections [J].Neural Networks，2017，89：50-60.

[6] ZHOU J，XU X，YU D Y，et al. Stability，Instability and Bifurcation Modes of a Delayed Small World Network with Excitatory or Inhibitory Short-Cuts [J/OL].International Journal of Bifurcation and Chaos，2016，26（4）：[2021-01-06].https：//www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S021812741650070X.

[7] GRAY R M. Toeplitz and Circulant Matrices：A Review [J].Foundations and Trends? in Communications and Information Theory，2006，2（3）：155-239.

[8] F?REDI Z，KOML?S J. The eigenvalues of random symmetric matrices [J].Combinatorica，1981（1）：233-241.

[9] 孫繼廣.矩陣擾動分析：第2版 [M].北京：科學(xué)出版社，2001.

作者簡介：周晶（1980—），女，漢族，吉林德惠人，講師，博士，研究方向：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)與控制。