陳暢

摘 要：2016-2020年全國高考數(shù)學(xué)解析幾何題發(fā)現(xiàn)，注重考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等三大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主陣地就是課堂教學(xué)。注重培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，提升學(xué)生解題能力。

關(guān)鍵詞：高效課堂;解題能力;核心素養(yǎng)

筆者研究2016-2020年高考數(shù)學(xué)全國卷發(fā)現(xiàn)，重視考查學(xué)生邏輯推理，對第21題的解析幾何甚至有“重思維，輕運算”的趨勢。本文筆者通過一個課例片段，旨在探究數(shù)學(xué)課堂中解題教學(xué)如何幫助學(xué)生在解題過程中不斷總結(jié)經(jīng)驗，積累解題思維方法，促進數(shù)學(xué)思維能力有效的提高。而遇到難度較大的數(shù)學(xué)題我們應(yīng)該如何處理才能讓學(xué)生能解決問題呢？

一、課例呈現(xiàn)，引證思源

本課是在對直線與圓錐曲線第二輪復(fù)習結(jié)束之后，針對第21題是解析幾何題學(xué)生反饋出的問題后一節(jié)講評課的片段：

問題：設(shè)拋物線C的方程為x2=4y，M為直線l：y=-m（m>0）上任意一點，過點M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B。

（Ⅰ）當M的坐標為（0，-1），時，求過M，A，B三點的圓的方程，并判斷直線l與此圓的位置關(guān)系;

（Ⅱ）討論直線AB是否經(jīng)過定點，若是，寫出定點的坐標，若不是，說明理由。

第（Ⅰ）問中點M的坐標已給出來，入手容易。學(xué)生由切線，從而求出切點A，B，再利用三點求出圓的方程：x2+（y-1）2=4，最后，利用圓心到直線距離可以判斷直線l與此圓的位置關(guān)系是相切的。筆者對求解過程“設(shè)、列、化簡”進行小結(jié)，學(xué)生整理、規(guī)范自己的答題，得到如下規(guī)范的解答過程，易知該圓與直線l：y=-1相切。

而第（Ⅱ）問學(xué)生感覺不陌生，是判斷直線過定點問題，但此題只有拋物線C的方程是已知的，其他無論是直線l，還是點M，A，B都未知。要怎么求直線AB呢？

師：答卷昨天已發(fā)回給大家，同學(xué)們有沒有想辦法解決這種個問題？請哪位同學(xué)談?wù)劊?/p>

（環(huán)顧課堂，已有幾個學(xué)生舉手，我示意學(xué)生發(fā)言。）

學(xué)生1：我沒想到怎么做，但我覺得應(yīng)該是先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）。把切線方程寫出，從而得到直線AB的方程。

師：很好，思維嚴密。解析幾何綜合性問題求解的第一步是“設(shè)”，即引進適當?shù)淖兞浚M的變量是否合理，我們應(yīng)事先做出判斷，而判斷的標準是，所給的幾何條件能否用引進的變量代數(shù)化。

師：這位同學(xué)設(shè)出來的量應(yīng)該是有效的，那么又有哪位同學(xué)有勇氣把切線方程寫出從而得到直線AB的方程呢？大家可以互相討論。

師：有哪位同學(xué)來說一下？

學(xué)生2：我是這樣做的。

設(shè)過拋物線上點A的切線方程為（y-y1）=k1 （x-x1），代入x2=4y，

整理得

又因為x12=4y1，?? 所以

從而拋物線上點A（x1，y1）的切線方程為： （y-y1）=（x-x1），即

又設(shè)過拋物線上點B的切線方程為（y-y2）=k2 （x-x2），代入x2=4y，

整理得

又因為x22=4y2，?? 所以

從而拋物線上點B（x2，y2）的切線方程為： （y-y2）=（x-x2），即

（這時有學(xué)生舉手要求發(fā)言，我就放開了讓同學(xué)們說自己的想法）

學(xué)生3：求拋物線上點B（x2，y2）的切線方程其實不用再求一次，因為它的格式與點A是相似的，所以直接同理得拋物線上點B（x2，y2）的切線方程為：就可以快很多了。但是把兩切線方程求出來之后，下一步怎么做我就不知道了。

學(xué)生4：我求拋物線上點A的切線方程的斜率k是用求導(dǎo)來做的，也是求得同樣的方程。下一步我不知道怎么做，所以就沒法繼續(xù)做了。

師：同學(xué)們對求切線方程這個問題解決得非常好，對斜率k的求法也能想到多種方法。特別是學(xué)生3同理類比的做法求點B（x2，y2）的切線方程，使得運算量大大減少。但是，兩切線方程都已求出來了，為什么就做不下去呢？

學(xué)生：因為含字母的未知量太多了。

師：回到剛才的解法。半途而廢不是一個好的習慣，當我們遇到挫折時，不要輕易對以前所做的全盤否定，也許我們只是有個別地方做得還不夠好，也可能是還有些地方因為生疏暫時沒能想到。

師：大家注意我們的已知條件還有哪些沒用到？

學(xué)生1：（進行實物投影）點M是在兩切線上的，可以設(shè)點M（x0， -m），

代入兩線方程得? 和

（同學(xué)們在小聲議論，似有所悟，但部分同學(xué)仍帶疑惑表情。）

師：學(xué)生1的審題觀察能力很好，突破口就在這點M上。

師：有誰愿意把你的答案投影出來？

學(xué)生5：可以設(shè)點M（x0，-m），由點M在兩切線上，

代入兩切線方程得? 和

即點A（x1，y1），B（x2，y2）均滿足? 即x0x=2（y-m），

故直線AB的方程為：x0x=2（y-m）

所以x=0，y=m，從而直線AB恒過定點（0，m）

師：太妙了，對條件進行有效的恒等變換后，利用等式優(yōu)美的結(jié)構(gòu)特征，把看似復(fù)雜的東西給人以簡潔及美的享受，這充分體現(xiàn)了解析幾何設(shè)而不求的解題策略，非常簡潔地解答了問題，這就是互相討論，互相學(xué)習的魅力所在。

二、課例反思，真知灼見

通過本節(jié)課，筆者發(fā)現(xiàn)課前的學(xué)生思考與課上老師的引導(dǎo)非常關(guān)鍵，掌握基本公式、基本方法、基本技能是基礎(chǔ)，在此之上通過不同情境的遷移應(yīng)用，再尋求解題的突破口。在講評課做好以下三點：

（一）在講評課的教學(xué)前，老師不要牽著學(xué)生的鼻子走，要幫助學(xué)生把例題解答過程中丟失的思維過程找回來，充分暴露解題思維，逐漸培養(yǎng)起分析問題的能力和積極思考的良好習慣。不能單純追求習題量的積累，要讓學(xué)生明白“怎樣解題”，解決學(xué)生“拿起題無從下手”的問題。

（二）在講評課的教學(xué)中，做到全面依靠學(xué)生和高度尊重學(xué)生，最大限度的提高學(xué)生在課堂中的學(xué)習積極性和主動性，在教學(xué)過程中要有評價和激勵教師在教學(xué)活動將結(jié)束時，要由小組代表或教師對本節(jié)重點知識進行梳理，對學(xué)習情況進行評議教師適時介入，提供方法、技巧，協(xié)助學(xué)生完成模型析出，模型應(yīng)用等一系列學(xué)習任務(wù)，從而達到培養(yǎng)、提高學(xué)生綜合能力的目的。

（三）在講評課的教學(xué)后，我們要學(xué)會解題反思，分析命題意圖，把脈出題方向，重點分析不會解的題到底是知識上還是方法上出了問題，只有對癥下藥才能找到問題歸因所在。當然，還可以尋求其他解題方法一道數(shù)學(xué)題，擇其簡單快捷的方法進行下階段的推廣應(yīng)用，找到解決此類問題的普遍結(jié)論與解題思路。

三、課例研究，師生共長

筆者嘗試以“直線與圓錐曲線”的這題作為重點內(nèi)容來進行課例研究，充分挖掘例題的出題背景，讓學(xué)生把新知識合理地建構(gòu)在原有的知識體系上，在解題示范的過程中讓學(xué)生不斷地認識逆向思維的過程和方法，把數(shù)學(xué)課堂變成培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的知識海洋。

參考文獻：

[1] 羅增儒 數(shù)學(xué)解題學(xué)引論.西安：陜西師范師范出版社，2004.

[2] 鄭毓信.數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長[J].人民教育，2010（8）：37-39.

[3] 金燁，基于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課例研究.數(shù)學(xué)之友，2016，0（12）