張 穎，王維波，許 瑩，李文清，張敬芳，李澤朋

(1.中國民航大學 理學院，天津 300300；2.中國民航大學 基礎實驗中心，天津 300300)

楊氏模量是表征固體材料性質的重要物理量，描述的是固體材料抵抗形變的能力，是工程技術中選擇材料的依據(jù)之一[1]。在理工類大學物理教學實驗中，固體材料楊氏模量的測量是必做實驗之一。測量楊氏模量有多種方法，如拉伸法測楊氏模量、彎曲法等[2-7]。精確地測量材料在應力作用下產(chǎn)生的微小形變是楊氏模量測量中的關鍵。彎曲法結合霍爾位置傳感器測量楊氏模量可將材料在應力作用下的微小位移轉換成電信號并進行數(shù)字顯示輸出，改善了傳統(tǒng)測量方法，提高了測量精度并被廣泛應用[8]。針對實驗中存在的磁場梯度線性范圍小導致的測量誤差大的問題，本文在原有測量儀基礎上改變梯度磁場發(fā)生器，磁場梯度大范圍均勻并可調節(jié)，可顯著提高測量精度，并且可實現(xiàn)較大微位移的測量。

1 彎曲法結合霍爾位置傳感器測固體楊氏模量的基本原理[1，2]

1.1 彎曲法測楊氏模量

固體材料在彈性變形階段，其正應力和應變之間成正比例關系，比值稱為楊氏模量。楊氏模量用來描述材料抵抗形變的能力，其值越大意味著材料發(fā)生形變所需的應力越大。楊氏模量的測量在材料的力學分析里有重要的意義。

如圖1所示，將長度為L，橫截面為矩形的均勻橫梁置于相距為d的兩個刀口上，在橫梁中心位置懸掛質量為m的砝碼，橫梁會發(fā)生彎曲，下垂距離為ΔZ，此過程中梁中心下垂距離和負載質量間關系為：

圖1 彎曲法示意圖

(1)

式中，d為兩刀口間距離，m為砝碼質量，g為重力加速度，a為橫梁厚度，b為橫梁寬度，ΔZ為橫梁中心下垂距離，E為楊氏模量。從式(1)得楊氏模量的表達式為

(2)

從式(2)中可以看出，若能獲得等式右邊各物理量數(shù)值，就可計算出E的值。式中a、b、d可分別由千分尺、游標卡尺、直尺測量，難點在于微位移ΔZ的測量。

1.2 霍爾位置傳感器原理

霍爾位置傳感器是以霍爾效應為基本工作原理，實現(xiàn)位移、磁場等物理量測量的器件。其用于測量楊氏模量的裝置示意圖如圖2所示，將霍爾元件置于磁感應強度為B的磁場中，在垂直于B的方向通以電流I，在垂直于電流和磁場的方向上會產(chǎn)生霍爾電勢差UH，UH的大小為

圖2 楊氏模量測量儀

UH=K·I·B

(3)

其中，K為霍爾元件的霍爾靈敏度。保持電流I不變，把霍爾元件置于一個均勻梯度變化的磁場中，并沿著梯度方向移動ΔZ，輸出的霍爾電勢差(霍爾電壓)變化量為ΔUH，ΔUH的大小為

(4)

兩塊N極相對平行放置的磁鐵間隙間可在2 mm區(qū)域里產(chǎn)生具有良好線性關系的均勻梯度變化的磁場。將霍爾元件置于均勻梯度變化區(qū)域，并沿著梯度場梯度變化方向微移動，輸出的霍爾電勢差將發(fā)生相應的變化，霍爾電勢差輸出值可直接通過電壓表讀出?；魻栐恢迷诰鶆蛱荻葏^(qū)域變化時，霍爾電勢差和位移之間呈線性關系變化，從而根據(jù)電壓表讀數(shù)即可實現(xiàn)霍爾元件微位移的測量。霍爾元件與套在待測橫梁上的銅刀口相連構成銅杠桿，根據(jù)杠桿原理霍爾元件位移與橫梁位移呈正比。因此，霍爾電勢差和橫梁位移之間呈線性關系變化。定標出此線性關系的比例系數(shù)，即可通過橫梁不同應力作用下霍爾電勢差改變實現(xiàn)橫梁微位移的測量。

2 實驗儀器分析

彎曲法結合霍爾位置傳感器測量楊氏模量實驗中，常選取黃銅和鑄鐵作為待測橫梁，測量裝置選用兩塊N極相對的磁鐵產(chǎn)生的均勻梯度磁場作為霍爾位置傳感器工作磁場。在梯度磁場均勻范圍內，位移量和輸出霍爾電壓呈線性關系。由于梯度磁場均勻范圍較小(小于2 mm)，要求實驗中霍爾元件必須在限定的±2 mm內移動，若操作不當，霍爾元件進入磁場非線性區(qū)，會導致實驗數(shù)據(jù)的不準確測量，導致實驗誤差偏大。所測量楊氏模量值相對誤差往往高于10%，甚至會高達40%[9]。此外，梯度磁場均勻范圍較小，可測量的材料應變范圍有限，無法實現(xiàn)較大微位移的測量。在霍爾位置傳感器電壓測量量程范圍內，均勻梯度場線性范圍越大，位移測量范圍越大。若可實現(xiàn)大范圍(大于2 mm)均勻梯度場的構建，可實現(xiàn)大范圍位移的測量，也可減小實驗操作難度。針對民航類學生而言，還可增加常用航空材料楊氏模量測量的內容，如鋁合金等。

3 實驗儀器改進

梯度可調均勻梯度磁場構建有兩種方法，一種用通電螺線管實現(xiàn)[10]，一種用磁線圈實現(xiàn)[11，12]。通過分析，通電螺線管可實現(xiàn)均勻梯度磁場的構建，但與霍爾位置傳感器結合，裝置裝調較為煩瑣，故選用反亥姆赫茲線圈實現(xiàn)梯度磁場的構建。

圖3 反亥姆赫茲線圈示意圖

(5)

式中，μ0為真空磁導率；w為線圈匝數(shù)。

根據(jù)上式可知，均勻梯度磁場梯度跟磁線圈匝數(shù)、半徑及電流相關，可根據(jù)實驗磁場需求，對磁線圈匝數(shù)、半徑、電流進行合理設計。此外，在磁線圈匝數(shù)和半徑一定的情況下，可通過調節(jié)電流大小實現(xiàn)磁感應強度梯度的控制，可進行不同磁場梯度下多組實驗數(shù)據(jù)的測量，提高實驗測量的準確性。

以此實驗中所用95A型集成霍爾位置傳感器為例，其靈敏度k=31.3±1.5 V/T?？紤]電壓表測量精度及器件裝調問題，加工了可產(chǎn)生均勻梯度磁場的反亥姆赫茲線圈。其中：線圈等效半徑為r=35 mm，單個線圈匝數(shù)為500，電流強度I可在0.5～1 A調節(jié)，可實現(xiàn)最大梯度值為3 Gs/mm磁場的構建。并將此梯度磁場發(fā)生器置換圖2中的磁鐵，改進后的楊氏模量測試儀如圖4和圖5所示。

圖4 改進的楊氏模量測量儀示意圖

圖5 改進的楊氏模量測量儀實物圖

4 實驗效果

4.1 均勻梯度磁場構建情況

利用反亥姆赫茲線圈實現(xiàn)了均勻梯度磁場的構建，并且通過控制所加直流電流值大小可實現(xiàn)磁場梯度的調控。測量了所加直流電流值分別為0.5A和1A情況下，線圈軸線方向磁感應強度變化。圖6和圖7分別為電流為0.5 A和1 A時，磁線圈軸線方向上的磁感應強度變化情況，并對測量數(shù)據(jù)用Origin進行線性擬合。

圖6 磁感應強度變化曲線(I=0.5A)

圖7 磁感應強度變化曲線(I=1A)

所通直流電流為0.5A時，磁線圈軸線方向磁場梯度為1.55 Gs/mm，相關系數(shù)達0.999 86；所通直流電流為1 A時，磁線圈軸線方向磁場梯度為3.01 Gs/mm，相關系數(shù)達0.999 83。磁線圈在-15～15 mm范圍內，B和h之間線性關系良好。

4.2 黃銅、鑄鐵楊氏模量測量

根據(jù)現(xiàn)大學物理楊氏模量測量實驗要求，采用改進裝置對黃銅和鑄鐵的楊氏模量進行測量。并通過改變所通直流電流大小改變梯度磁場梯度值，實現(xiàn)不同梯度場下多組數(shù)據(jù)的測量。

4.2.1 直流電流為0.5 A

利用黃銅橫梁對霍爾位置傳感器靈敏度進行定標，測量數(shù)據(jù)如表1所示，利用Origin對數(shù)據(jù)進行線性擬合得到如圖8所示結果，霍爾位置傳感器靈敏度為27.51 mV/mm，相關系數(shù)R2=0.997 3，U和Z之間呈現(xiàn)良好的線性關系。用逐差法對表1中數(shù)據(jù)計算黃銅樣品在m=60 g，g=9.8 m/s2的作用下產(chǎn)生的位移ΔZ=0.787 mm，將此值帶入式(2)可得

圖8 U～Z變化曲線(I=0.5A)

=10.33×1010N/m2

表1 霍爾位置傳感器定標(I=0.5 A)d=23.00 cm b=22.00 mm a=1.000 mm

對照該黃銅材料特性的標準數(shù)據(jù)，E0黃銅=10.55×1010N/m2，百分誤差為2.1%，測量效果較好。

在此基礎上測量可鍛鑄鐵的楊氏模量，測量結果如表2所示。

表2 鑄鐵試樣不同力作用下霍爾電壓

利用分組逐差法計算得ΔU=20.6mV，根據(jù)定標的霍爾位置傳感器靈敏度，可求得ΔZ=0.036 4ΔU=0.036 4×20.6=0.750mm。所以，計算得到的鑄鐵的楊氏模量為

對照該鑄鐵材料特性的標準數(shù)據(jù)E0鑄鐵=18.15×1010N/m2，百分誤差為0.4%，測量效果很好。

4.2.2 直流電流為1A

利用黃銅對霍爾位置傳感器靈敏度進行定標，測量數(shù)據(jù)如表3所示，利用Origin對數(shù)據(jù)進行線性擬合得到如圖9所示結果，霍爾位置傳感器靈敏度為42.37mV/mm，相關系數(shù)R2=0.999 7。

表3 霍爾位置傳感器定標(I=1 A)d=23.00 cm b=22.00 mm a=1.000 mm

圖9 U～Z變化曲線(I=1A)

用逐差法對表3中數(shù)據(jù)計算黃銅樣品在m=60g，g=9.8m/s2的作用下產(chǎn)生的位移ΔZ=0.788mm，將此值帶入式(4)可得

=10.32×1010N/m2

對照該黃銅材料特性的標準數(shù)據(jù)E0黃銅=10.55×1010N/m2，百分誤差為2.2%，測量效果很好。

在此基礎上測量可鍛鑄鐵的楊氏模量，測量結果如表4所示。

表4 鑄鐵試樣不同力作用下霍爾電壓d=23.00 cm b=22.00 mm a=1.000 mm

利用分組逐差法計算得ΔU=31.8mV，根據(jù)定標得到的霍爾位置傳感器靈敏度，可求得ΔZ=0.023 6ΔU=0.023 6×31.8=0.751mm。所以，計算得到鑄鐵的楊氏模量為

=18.04×1010N/m2

對照該鑄鐵材料特性的標準數(shù)據(jù)E0鑄鐵=18.15×1010N/m2，百分誤差為0.6%，測量效果很好。

4.3 鋁合金板楊氏模量測量情況

利用改進裝置測量較易形變鋁合金橫梁的楊氏模量。在所通直流電流為1A的情況下，測量不同應力下的霍爾電壓值，如表5所示。

表5 鋁合金樣品不同作用力下霍爾電壓d=23.00 cm b=24.00 mm a=1.000 mm

利用分組逐差法計算得ΔU=45.3mV，根據(jù)定標的霍爾位置傳感器靈敏度，可求得ΔZ=0.023 6ΔU=0.023 6×45.3=1.069mm。所以，計算得到的鋁合金的楊氏模量為

=6.97×1010N/m2

對照該鋁合金材料特性的標準數(shù)據(jù)E0鋁合金=7.2×1010N/m2，百分誤差為3.2%，測量效果很好。

5 結 語

在霍爾位置傳感器彎曲法測楊氏模量實驗儀基礎上，改變了梯度磁場發(fā)生器，采用反亥姆赫茲線圈實現(xiàn)均勻梯度磁場的構建，構建的磁場梯度大范圍均勻并可調節(jié)。實驗結果表明改進后的裝置可顯著提高測量精度，并且可實現(xiàn)較大微位移的測量。針對民航類學生而言，還可增加常用航空材料如鋁合金楊氏模量測量的內容，宏觀體會不同材料楊氏模量與形變難易程度的關系，加深學生對楊氏模量物理意義的理解。