福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 (350117) 束浩東

近年來全國高考和各地的?？荚嚲碇蓄l頻出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題，該類型試題通常以壓軸題的形式出現(xiàn)，對考生的數(shù)學(xué)思維能力和基本功要求較高.文章以2021年新高考數(shù)學(xué)1卷的壓軸題為例，對一類極值點(diǎn)偏移問題進(jìn)行了多解探究，總結(jié)了證明此類問題的常見方法和思路，在此基礎(chǔ)之上對該題的“母題”進(jìn)行了優(yōu)化證明.

1 原題再現(xiàn)

2 試題解析

問題(I)的求解：由f(x)=x(1-lnx)得f′(x)=-lnx.分別令f′(x)>0得01.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)；單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).

下面主要是對問題(II)的證明進(jìn)行探究.

思路一：構(gòu)造函數(shù)，對稱作差

證明：(1)先證x1+x2>2，即證x2>2-x1.因?yàn)?f(x1)，顯然矛盾！故假設(shè)不成立，即x1+x2>2得證.

圖1

(2)再證x1+x2

圖2

評注：本題是一道老生常談的“極值點(diǎn)偏移”問題，求解的關(guān)鍵在于揭開試題“神秘的面紗”，不被其表象迷惑.由于原函數(shù)中含有對數(shù)函數(shù)，因此在比較大小時(shí)考慮使用作差法較為簡潔.根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)畫出草圖，可使解題思路更為清晰明了！利用對稱作差構(gòu)造函數(shù)是解決此類問題的基本思路，當(dāng)然，筆者對后半部分的證明過程當(dāng)中用到了部分高數(shù)知識，對于高中生來說可能不太適合.因此在這里留下一個(gè)瑕疵，期待有更為完美的處理方法.

思路二：等價(jià)變形，換元轉(zhuǎn)化

圖3

評注：實(shí)際上方法一和方法二如出一轍，相對方法一而言，方法二的難度在于如何將題設(shè)條件blna-alnb=a-b合理變形，通過巧妙換元把問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)g(t)=tlnt(t>0)的極值點(diǎn)偏移問題，因此該方法具有一定的技巧性和創(chuàng)造性，對考生的數(shù)學(xué)思維能力要求較高.

思路三：巧用放縮，妙解問題

(2)再證明x1+x2

評注：可以說對數(shù)平均不等式是解決極值點(diǎn)偏移問題的一大有效“殺手锏”，根據(jù)題設(shè)條件合理進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化往往可以獲得事半功倍的良好收益.第二部分證明的關(guān)鍵點(diǎn)在于能否發(fā)現(xiàn)并利用“1-lnx1>1，1-lnx2<1”這一隱藏結(jié)論，運(yùn)用放縮法研究不等式問題對學(xué)生而言具有一定的挑戰(zhàn)性，不僅要掌握一定技巧還需對常見基本函數(shù)的相關(guān)結(jié)論如“l(fā)nx≤x-1,(x>0)”有一定的積累.教師在日常教學(xué)中應(yīng)注意歸納和整合相關(guān)知識，幫助學(xué)生建構(gòu)自己的知識網(wǎng)絡(luò)以我完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),助力學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成.

思路四：合理代換，化難為易

3 題源探究

A.(1)(2) B.(1)(3)

C.(2)(3) D.(1)(2)(3)

結(jié)論(3)即為本文原題第(2)小問的前半部分，不再闡述.

4 寫在最后

作為數(shù)學(xué)教育工作者，應(yīng)從不同的視角深入探究，不斷優(yōu)化解題過程，發(fā)掘試題背后所蘊(yùn)含的價(jià)值.高考評價(jià)體系中也強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過素質(zhì)教育的培養(yǎng)，學(xué)習(xí)者應(yīng)當(dāng)能夠從多個(gè)視角觀察、思考同一個(gè)問題；能夠靈活地、創(chuàng)造性地運(yùn)用不同方法，發(fā)散地、逆向地解決問題”.由此可見，多視角探究問題既是考試評價(jià)要求也是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維和創(chuàng)新精神的重要途徑.基于此，筆者認(rèn)為在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)充分發(fā)揚(yáng)試題的輻射作用，鼓勵學(xué)生從不同層次對問題展開探究，尋找不同的解題方法，從“就題論題”上升到“就題論法”，避免機(jī)械式的題海戰(zhàn)術(shù).