張麗楠 張生春

解析幾何作為高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容之一，是高考必考知識(shí)點(diǎn)。本文通過(guò)對(duì)2018年全國(guó)數(shù)學(xué)卷Ⅰ理科第19題的剖析，試圖揭示試題內(nèi)涵和命題立意，以期對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)有所啟示。

（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明:∠OMA=∠OMB．

一、試題分析

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)。本題第一問(wèn)較為簡(jiǎn)單，主要考查橢圓和直線的基本概念與性質(zhì)。第二問(wèn)的關(guān)鍵是如何理解“∠OMA=∠OMB ”，如何將這一幾何對(duì)象進(jìn)行恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)表征，進(jìn)而利用代數(shù)方法進(jìn)行解答。同一數(shù)學(xué)對(duì)象，理解的角度不同就會(huì)有不同的轉(zhuǎn)化思路，也會(huì)有不同的代數(shù)表征，相應(yīng)就會(huì)有不同的解題思路：

（1）若∠OMA=∠OMB，則直線MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，故kMA+kMB=0；

（2）若∠OMA=∠OMB，則OM是角平分線，利用角平分線定理轉(zhuǎn)化:三角形內(nèi)角平分線分對(duì)邊所成的兩條線段，與夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例；

（3）若∠OMA=∠OMB，則可構(gòu)造三角形，利用余弦定理分別把兩角余弦表示出來(lái)，建立關(guān)于線段長(zhǎng)的等量關(guān)系；

（4）若∠OMA=∠OMB，則可依托此兩角構(gòu)造相似三角形，利用相似比建立等量關(guān)系。

（5）若∠OMA=∠OMB，則可利用角平分線是角的對(duì)稱軸的性質(zhì)轉(zhuǎn)化:驗(yàn)證B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在直線MA上，或者直線MA、MB在y軸上的縱截距互為相反數(shù)；

（6）若∠OMA=∠OMB，利用角平分線的定義轉(zhuǎn)化:角平分線上任一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，或者用向量法計(jì)算兩夾角相等。

二、試題引申

本題如果利用橢圓第二定義則更加簡(jiǎn)單：

如圖，由已知易得，M點(diǎn)所在直線x=2為橢圓的右準(zhǔn)線．過(guò)點(diǎn)A作x=2的垂線，垂足為C，過(guò)點(diǎn)B作x=2的垂線，垂足為D．

過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為P，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為Q．

所以∠AMC=∠BMD，因此，∠OMA=∠OMB．

當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°．

綜上，∠OMA=∠OMB．

利用這種解法，還可以得到本題的更一般情形：設(shè)橢圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F（c，0）的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

并且如果M是準(zhǔn)線與對(duì)稱軸交點(diǎn)，F(xiàn)是對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)，則此結(jié)論可以推廣到所有圓錐曲線。如果是拋物線，只要兩定點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸上且關(guān)于拋物線頂點(diǎn)對(duì)稱，上述結(jié)論依然成立，這就是所謂的“題源”。例如：

（2018年全國(guó)卷Ⅰ文科數(shù)學(xué)，20題）設(shè)拋物線C:y2=2x，點(diǎn)A（2，0），B（-2，0），過(guò)A點(diǎn)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)．

（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；

（2）證明:∠ABM=∠ABN．

（2015年全國(guó)卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)，20題）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C:y=x2—4與直線l:y=kx+a（a＞0）交于M，N兩點(diǎn)．

（1）當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

（2）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說(shuō)明理由．

三、教學(xué)啟示

首先，要強(qiáng)化學(xué)科本質(zhì)的理解。從學(xué)生答題情況來(lái)看，雖然明白“解題的套路”，但只是機(jī)械套用，并未理解解決問(wèn)題的基本思想，表現(xiàn)為機(jī)械聯(lián)立方程組，列出根與系數(shù)關(guān)系，而對(duì)“此關(guān)系有何用，為什么要求得此關(guān)系”則不清楚。

其次，要強(qiáng)化學(xué)科素養(yǎng)的養(yǎng)成。一方面解析幾何的特點(diǎn)決定了其是綜合評(píng)價(jià)學(xué)生邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力的良好載體；另一方面由于其本身的綜合性，也使其成為考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題以及創(chuàng)新能力的有效載體。

最后，在教學(xué)中，一方面要加強(qiáng)核心概念、基本方法的理解與訓(xùn)練，強(qiáng)化解析幾何與平面向量、解三角形等相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系；另一方面，也要加強(qiáng)學(xué)生實(shí)驗(yàn)觀察、自主探究、預(yù)測(cè)猜想、抽象概括、模型建構(gòu)、質(zhì)疑反思、推理論證等能力的培養(yǎng)。