劉民瑾 郭寶會(huì)

摘要：理論上分析了小珠子位于旋轉(zhuǎn)圓環(huán)內(nèi)壁的動(dòng)力學(xué)過(guò)程，通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)理論進(jìn)行了驗(yàn)證。得出了珠子在動(dòng)態(tài)過(guò)程中圓環(huán)半徑、珠子水平旋轉(zhuǎn)半徑和旋轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論趨于一致。

關(guān)鍵詞：動(dòng)力學(xué);科里奧利力;角速度

Abstract：The dynamic process of the small beads on the inner wall of the rotating ring was theoretically analyzed，and the theory was verified by experiments. The relationship among the ring radius，the horizontal rotation radius of the bead and the rotation angular velocity in the dynamic process of the bead was obtained，and the experimental results was verified to be consistent with the theory.

Keywords：Dynamics; Coriolis force; angular velocity

當(dāng)一顆珠子置于一定角速度旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)內(nèi)側(cè)時(shí)，該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程較為復(fù)雜[1]，為更明確探究必要條件對(duì)于該系統(tǒng)中珠子運(yùn)的影響——對(duì)系統(tǒng)整體進(jìn)行簡(jiǎn)化。為了減少珠子和圓環(huán)內(nèi)壁的摩擦力，對(duì)所選的珠子表面和圓環(huán)內(nèi)壁進(jìn)行了拋光處理，可認(rèn)為摩擦力很小[2，3]，因此可假設(shè)珠子與圓環(huán)內(nèi)壁無(wú)摩擦。珠子隨圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)其運(yùn)動(dòng)分為兩個(gè)方面，一是珠子本身在圓環(huán)內(nèi)沿圓環(huán)內(nèi)壁的運(yùn)動(dòng);其二是珠子隨圓環(huán)進(jìn)行的轉(zhuǎn)動(dòng)。珠子在豎直方向受到重力和圓環(huán)內(nèi)壁對(duì)珠子的支持力在豎直方向的分力作用，二者達(dá)到平衡時(shí)即圓環(huán)處于平衡位置。而珠子支持力的水平方向的分力提供珠子隨圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的向心力。本文主要分析珠子在環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程。

1.珠子的動(dòng)態(tài)分析

對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，研究時(shí)間與珠子大小和圓環(huán)轉(zhuǎn)速n以及角速度之間的關(guān)系。

小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，自身會(huì)產(chǎn)生微振動(dòng)，如果卡槽寬度相比珠子較大;其運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)與卡槽壁產(chǎn)生碰撞，并在垂直槽面方向進(jìn)行往復(fù)運(yùn)動(dòng)，此時(shí)科氏力會(huì)改變珠子的運(yùn)動(dòng)方向?？评飱W利力的方向與卡槽面垂直，如果卡槽寬度與珠子直徑相差不大，卡槽壁會(huì)對(duì)珠子產(chǎn)生支持力，此時(shí)科氏力會(huì)與支持力抵消，從而不會(huì)影響珠子切向速度方向及運(yùn)動(dòng)軌跡。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，摩擦力的存在使得珠子自身的能量逐漸減小。摩擦系數(shù)越小，珠子穩(wěn)定的時(shí)間越長(zhǎng)。對(duì)于圓環(huán)內(nèi)的珠子，受力分析如圖1所示，定義中Ω為圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，r為小球相對(duì)于圓環(huán)中心的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，N表示小球所受圓環(huán)支持力，θ為小球所處位置對(duì)圓環(huán)中心位置角度，_0為小球本身環(huán)繞圓環(huán)中心軸的角速度。

由此可見(jiàn)，圓環(huán)的旋轉(zhuǎn)角速度與珠子水平旋轉(zhuǎn)半徑、圓環(huán)半徑之間只要滿(mǎn)足（11）式，就可以表征該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)特征。

2.仿真和實(shí)驗(yàn)分析

對(duì)上述過(guò)程采用與仿真和實(shí)驗(yàn)對(duì)其理論進(jìn)行驗(yàn)證，研究不同圓環(huán)半徑時(shí)，圓環(huán)旋轉(zhuǎn)角速度與珠子水平旋轉(zhuǎn)半徑的關(guān)系。仿真用matlab軟件擬合理論圖像，實(shí)際實(shí)驗(yàn)均為設(shè)置同等外部條件下的對(duì)比試驗(yàn)。

2.1 圓環(huán)直徑為5cm時(shí)仿真和實(shí)驗(yàn)處理的結(jié)果

圖2和圖3分別為圓環(huán)直徑為5cm時(shí)珠子動(dòng)力學(xué)的仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果，（其中數(shù)據(jù)橫坐標(biāo)為rad/s，仿真圖像縱坐標(biāo)單位為米，實(shí)驗(yàn)圖像縱坐標(biāo)單位為cm）。從圖中可以看出，仿真的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的趨勢(shì)基本一致，當(dāng)轉(zhuǎn)速較快時(shí)，理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合較好。

2.2 圓環(huán)直徑為10cm時(shí)仿真和實(shí)驗(yàn)處理的結(jié)果

圖4和圖5分別為圓環(huán)直徑為10cm時(shí)珠子動(dòng)力學(xué)的仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果，從圖中可以看出，仿真的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的趨勢(shì)基本一致，理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合較好。

2.3 圓環(huán)直徑為15cm時(shí)仿真和實(shí)驗(yàn)處理的結(jié)果

圖6和圖7分別為圓環(huán)直徑為15cm時(shí)珠子動(dòng)力學(xué)的仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果，從圖中可以看出，仿真的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的趨勢(shì)基本一致，理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合較好。

此實(shí)驗(yàn)使用上述理論中珠子運(yùn)動(dòng)半徑和角速度的比例關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)三組不同實(shí)驗(yàn)中有著近似相同的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，符合理論中對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的預(yù)測(cè)，可以認(rèn)為上述理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)論相符合。

科里奧利力對(duì)本實(shí)驗(yàn)影響經(jīng)過(guò)多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)若將小球放置在相對(duì)摩擦較低的圓環(huán)槽內(nèi)時(shí)，對(duì)本實(shí)驗(yàn)影響小于百分之一，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果影響極小，所以在計(jì)算過(guò)程中不予體現(xiàn)。

3.結(jié)論

針對(duì)珠子在旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況，進(jìn)行了靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)的理論分析，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證，得出了如下結(jié)論：

（1）當(dāng)珠子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圓環(huán)半徑、珠子的旋轉(zhuǎn)半徑與旋轉(zhuǎn)的角速度滿(mǎn)足 。

（2）分別對(duì)直徑為5cm，10cm，15cm三種圓環(huán)進(jìn)行試驗(yàn)，驗(yàn)證了實(shí)驗(yàn)與理論的一致性。

參考文獻(xiàn)：

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基金資助：陜西省2020年大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項(xiàng)目（S2020107 23091）