王倩倩

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070)

對(duì)阻尼彈性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的研究, 是結(jié)構(gòu)力學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)之一, 這不僅是因?yàn)樗哂休^高的理論價(jià)值, 而且還有著廣闊的應(yīng)用背景. 例如, 振動(dòng)改進(jìn)和控制在維持高性能與生產(chǎn)效率, 延長(zhǎng)工業(yè)機(jī)械有效壽命方面起著關(guān)鍵性的作用. 自1982年以來, 國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)具有阻尼的彈性系統(tǒng)

u″(t)+Bu′(t)+Au(t)=0，

(1)

在Hilbert空間H中進(jìn)行了卓有成效的研究, 就該系統(tǒng)相應(yīng)解半群的可微性、解析性及該系統(tǒng)的譜性質(zhì)獲得了一系列重要結(jié)果(見文獻(xiàn)[1-5]).

近年來, 文獻(xiàn)[6—9]在Banach空間框架下利用算子半群理論和不動(dòng)點(diǎn)理論等工具, 研究了初值問題(1)相應(yīng)解半群的解析性與指數(shù)穩(wěn)定性、mild解的存在唯一性及全局mild解的漸近行為. 據(jù)我們所知, 鮮有文獻(xiàn)利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理研究初值問題(1)正mild解的存在性. 因此, 本文的結(jié)論在一定意義上豐富了阻尼彈性系統(tǒng)已有的工作.

(2)

正mild解的存在性, 其中ρ≥2是阻尼系數(shù),A:D(A)?X→X是閉線性算子, -A生成X上的C0-半群T(t) (t≥0),f:[0,a]×X→X為非線性映射,x0∈D(A),y0∈X.

1 預(yù)備知識(shí)

P1={u∈C(J,X)|u(t)≥0, ?t∈J},

則P1為C(J,X)中的一個(gè)錐, 其中0為X中的零元.

以下列出本文用到的主要定義和引理.

定義1[8]設(shè)X是實(shí)Banach空間, 若P是X中某非空凸閉集, 并且滿足下面2個(gè)條件:

(ⅰ)x∈P,λ≥0?λx∈P，

(ⅱ)x∈P, -x∈P?x=0,

則稱P是X中的一個(gè)錐.

由正規(guī)錐的定義可知, 若P是X中的正規(guī)錐,N為正規(guī)常數(shù), 則P1為C(J,X)中的正規(guī)錐, 且其正規(guī)常數(shù)為N.

定義3[9]設(shè)T(t) (t≥0)是X上的一個(gè)C0-半群, 若對(duì)于任意x>0 ,t>0均有T(t)x≥0成立, 則稱C0-半群T(t) (t≥0)是正的.

定義4[9]設(shè)T(t) (t≥0)是X上的一個(gè)C0-半群, 若對(duì)于任意t>0, 算子T(t):X→X是緊的, 則稱C0-半群T(t) (t≥0)是緊的.

引理1[6]設(shè)A:D(A)?X→X是閉線性算子, -A生成X上的C0-半群T(t) (t≥0),f:[0,a]×X→X為非線性映射, 則積分方程

(3)

的一個(gè)連續(xù)解稱為初值問題(2)的mild解, 其中S1(t) (t≥0)和S2(t) (t≥0)是由-σ1A和-σ2A分別生成的C0-半群，且滿足S1(t)=T(σ1t),S2(t)=T(σ2t),t≥0.這里σ1+σ2=ρ,σ1σ2=1,v0∶=y0+σ2Ax0.

Axx, ?x∈P∩?Ω2,
Axx, ?x∈P∩?Ω1，

(4)

2 主要結(jié)果

根據(jù)方程(3)定義算子Q:C(J,X)→C(J,X)，滿足

(Qu)(t)=

(5)

則初值問題(2)解的存在性轉(zhuǎn)化為算子Q在C(J,X)上不動(dòng)點(diǎn)的存在性.

下面給出本文所需的假設(shè)：

(H1)-A生成的C0-半群T(t) (t≥0)是緊的且是正的；

(H2)f:J×P1→P1連續(xù), 且存在一個(gè)正的函數(shù)φ∈L∞(J,[0,+∞)), 使得

證明第一步,證明算子Q:P1→P1是連續(xù)的.

由C0-半群T(t) (t≥0)的強(qiáng)連續(xù)性和f的連續(xù)性可知(Qu)(t)關(guān)于t連續(xù). 由x0>0,v0>0及條件(H1)和(H2)可知

對(duì)于任意t∈J, 由f的連續(xù)性可知, 當(dāng)n→∞時(shí)

所以,

第二步,證明算子Q:P1→P1是緊算子.

設(shè)有界集B?P1, 下證Q(B)是相對(duì)緊集. 對(duì)于任意u∈B,t∈J, 由(H2)可得

則Q(B)在J上一致有界.

對(duì)任意t1,t2∈J, 設(shè)t1

當(dāng)t2→t1時(shí), 由C0-半群按一致算子拓?fù)溥B續(xù)可知

所以,Q(B)在J上等度連續(xù).

當(dāng)t=0時(shí),Q(B)(0)=x0為單點(diǎn)集; 當(dāng)0

(Qεu)(t)=

因?yàn)?/p>

由S2(ε)的緊性可知, 對(duì)于任意t∈J,X中的相對(duì)緊集{(Qεu)(t):u∈B}無(wú)限逼近于集{(Qu)(t):u∈B}, 所以Q(B)(t)是相對(duì)緊的.

第三步,驗(yàn)證算子Q滿足引理2中(4)式.

由定義3、(H1)和(H2)知

?t∈J.

(ⅱ)取實(shí)數(shù)

由錐P的正規(guī)性知

即

這與β2的取法矛盾, 從而對(duì)于任意u∈?P1β2,Qu