王晶 張俊

[摘 要] 估數(shù)能力是個(gè)體數(shù)概念發(fā)展的重要組成部分。本研究以南京市某幼兒園中班和大班共111名幼兒為研究對(duì)象，調(diào)查4～6歲幼兒有參照估數(shù)能力發(fā)展的特點(diǎn)。結(jié)果表明，大班幼兒有參照估數(shù)能力顯著高于中班幼兒;幼兒有參照估數(shù)的精準(zhǔn)性受到待估數(shù)量的影響，待估數(shù)量越大精準(zhǔn)性越低;情景抽象程度對(duì)幼兒有參照估數(shù)精準(zhǔn)性的影響不顯著;幼兒使用的估數(shù)策略是影響其有參照估數(shù)精準(zhǔn)性的重要因素，幼兒運(yùn)用“參考量比較”策略時(shí)估數(shù)精準(zhǔn)性較高，幼兒不明確或無法說出估數(shù)策略時(shí)精準(zhǔn)性較低;待估數(shù)量與參考量越接近，使用“參考量比較”策略的幼兒越多。成人應(yīng)注意引導(dǎo)幼兒認(rèn)識(shí)到估數(shù)是一種解決日常生活問題的有效方法，從小數(shù)量入手開展適合幼兒的估數(shù)活動(dòng)，并引導(dǎo)幼兒分享估數(shù)策略。

[關(guān)鍵詞] 4～6歲幼兒;數(shù)量估計(jì);有參照估數(shù);估數(shù)策略

一、問題提出

數(shù)學(xué)作為一種技能在日常生活中被廣泛運(yùn)用，但數(shù)學(xué)在生活中的運(yùn)用并不總是力爭要得到一個(gè)精確的答案?，F(xiàn)實(shí)生活中人們每天要面對(duì)大量的數(shù)和量方面的信息，很多時(shí)候特別是在一些特定情景中，需要運(yùn)用數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)和技能對(duì)數(shù)和量的信息進(jìn)行模糊的、近似的處理，即估計(jì)。估計(jì)是日常生活中被廣泛應(yīng)用的一種技能，例如估計(jì)現(xiàn)場大概有多少人看比賽，估計(jì)完成家務(wù)大約需要多長時(shí)間。已有研究發(fā)現(xiàn)估計(jì)與其他數(shù)學(xué)能力具有密切的相關(guān)性，是一種靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的適應(yīng)性問題解決方式，這種問題解決方式正是當(dāng)代數(shù)學(xué)教育的一個(gè)基本目標(biāo)。[1]

估計(jì)按照操作任務(wù)的差異通常被劃分為三個(gè)類別：數(shù)量估計(jì)（numerosity estimation）、測量估計(jì)（measurement estimation）和計(jì)算估計(jì)（computational estimation）。[2][3][4]其中測量估計(jì)簡稱估測，布萊特（Bright）將其定義為一種在不使用一般測量工具的情況下，根據(jù)某種方法推測出測量結(jié)果的心理加工過程。[5]計(jì)算估計(jì)簡稱估算，道克（Dowker）把計(jì)算估計(jì)定義為在不進(jìn)行精確計(jì)算的情況下，對(duì)算術(shù)問題的近似答案做出一個(gè)合理的猜測。[6]數(shù)量估計(jì)簡稱估數(shù)，本研究結(jié)合已有研究對(duì)估數(shù)概念的界定，[7][8][9]將估數(shù)定義為在沒有足夠時(shí)間數(shù)出物體的數(shù)量，或要數(shù)的物體數(shù)量過大以及非靜止的物體根本無法做出計(jì)數(shù)等情況下，通過一定的策略對(duì)實(shí)物集合給出一個(gè)近似的基數(shù)值。索德（Sowder）認(rèn)為估算、估測和估數(shù)各需要不同的理解和技能，雖然估測和估數(shù)需要某些相關(guān)的技能，但估測是對(duì)連續(xù)量的估計(jì)，而估數(shù)是對(duì)離散量的估計(jì)，因此兩者也是不同的。[10]

目前，美國、日本、英國和荷蘭等國家已陸續(xù)將估計(jì)的相關(guān)內(nèi)容納入數(shù)學(xué)教育中，我國最早是在1999年教育部頒布的《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用修訂版）》中正式強(qiáng)調(diào)了估計(jì)教學(xué)的重要性。但各國的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)設(shè)置中基本只強(qiáng)調(diào)了小學(xué)及以上年齡段的估計(jì)教學(xué)，并且由于該年齡階段更注重兒童的計(jì)算能力，因此多為與估算相關(guān)的內(nèi)容，與估測和估數(shù)相關(guān)的內(nèi)容涉及較少。[11][12][13]由于估測和估算能力的發(fā)展需要建立在精準(zhǔn)測量和計(jì)算的基礎(chǔ)上，難度較大且不適用于幼兒階段的數(shù)學(xué)教育。估數(shù)相對(duì)更容易被幼兒所掌握，尤其借助參考量進(jìn)行估數(shù)能夠豐富幼兒的估數(shù)策略，有效且快速地提高幼兒的估數(shù)能力。有參照估數(shù)能力的發(fā)展是幼兒估數(shù)從生疏向熟練轉(zhuǎn)換的重要過程，因此本研究聚焦探究幼兒有參照估數(shù)能力的發(fā)展特點(diǎn)。

估數(shù)作為一種數(shù)量加工方式與精準(zhǔn)計(jì)數(shù)不同，估數(shù)體現(xiàn)的是一種通過感性經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)量鑒別和判斷的能力。已有研究證明，幼兒已具備初步的估數(shù)能力，并提出了要關(guān)注幼兒估數(shù)能力的發(fā)展和培養(yǎng)。[14][15][16][17]但目前國內(nèi)外關(guān)于估數(shù)的研究主要集中在中小學(xué)階段，包括對(duì)估數(shù)的數(shù)量表征方式、精準(zhǔn)性、策略運(yùn)用和教學(xué)等方面的研究。[18][19][20][21][22]關(guān)于幼兒估數(shù)和幼兒有參照估數(shù)的研究很少，也沒有詳細(xì)介紹幼兒估數(shù)時(shí)參考量的運(yùn)用情況。已有研究中關(guān)于情景抽象程度的差異對(duì)幼兒有參照估數(shù)精準(zhǔn)性的影響是否顯著，還未形成統(tǒng)一結(jié)論，[23][24]有待研究者進(jìn)一步探究，以期豐富該領(lǐng)域的研究，進(jìn)而幫助幼兒園教師在更全面地了解幼兒估數(shù)能力發(fā)展特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)幼兒在日常生活中積累估數(shù)經(jīng)驗(yàn)和解決相關(guān)問題。

二、研究方法

（一）研究對(duì)象

已有研究發(fā)現(xiàn)，有無參考量對(duì)小班幼兒的估數(shù)沒有影響，中班幼兒才開始表現(xiàn)出對(duì)參考量的初步利用和把握。[25]因此本研究選取南京市某幼兒園兩個(gè)中班和兩個(gè)大班共111名幼兒作為研究對(duì)象。中班幼兒年齡4～5周歲，平均月齡為61.81個(gè)月（SD=3.36），男生31名，女生27名，共58名。大班幼兒年齡5～6周歲，平均月齡為74.45個(gè)月 （SD=3.72），男生32名，女生21名，共53名。

（二）測查工具

已有研究中關(guān)于估數(shù)情景的抽象程度對(duì)幼兒有參照估數(shù)的精準(zhǔn)性是否有影響，還未形成統(tǒng)一的結(jié)論。[26][27]本研究參考已有研究所涉及的估數(shù)情景，選擇從具體逐漸過渡到抽象的實(shí)物呈現(xiàn)方式、實(shí)物圖片呈現(xiàn)方式和數(shù)點(diǎn)呈現(xiàn)方式作為探究幼兒有參照估數(shù)能力的三種情景，測查任務(wù)也因此分為三部分。三種情景下的待估數(shù)量均為：數(shù)量15、數(shù)量20、數(shù)量35、數(shù)量50，且不同情境和待估數(shù)量下提供的參考量均為數(shù)量10。

1. 實(shí)物呈現(xiàn)情景下幼兒有參照估數(shù)能力的測查。

根據(jù)趙振國已有相關(guān)研究中的估數(shù)測查工具改編而成。[28][29]測查材料是將直徑為1.5 cm、邊緣和中心厚度分別為0.2 cm和0.1 cm的黑色4孔紐扣，均勻地粘在厚度約為0.2 cm的A4紙張大小的白色紙板上，紐扣之間的間隔距離大致相等，隨機(jī)排列成不同的圓形或橢圓形。

2. 實(shí)物圖片呈現(xiàn)情景下幼兒有參照估數(shù)能力的測查。

根據(jù)本研究中實(shí)物呈現(xiàn)情景下有參照估數(shù)的測查工具改編而成。測查材料是用數(shù)碼相機(jī)從正上方拍攝實(shí)物呈現(xiàn)情景下的測查材料（粘有不同數(shù)量紐扣的硬紙板），拍攝后統(tǒng)一處理為與A4紙張相同大小的圖片，圖片背景為白色，圖片上的紐扣圖案為黑色。

3. 數(shù)點(diǎn)呈現(xiàn)情景下幼兒有參照估數(shù)能力的測查。

根據(jù)本研究中實(shí)物呈現(xiàn)情景下有參照估數(shù)和實(shí)物圖片呈現(xiàn)情景下有參照估數(shù)的測查工具改編而成。測查材料是用計(jì)算機(jī)在A4白色紙上打印黑色圓點(diǎn)，黑色圓點(diǎn)的大小、間隔及排列形式與實(shí)物呈現(xiàn)情景下的紐扣一致。

（三）測查程序

主試核對(duì)測查工具和材料，并將測查工具正面朝下擺放整齊，以免幼兒提前看到。帶領(lǐng)幼兒到熟悉的教室，和幼兒建立融洽的關(guān)系。測查之初主試請(qǐng)幼兒先對(duì)參考量10進(jìn)行估計(jì)，并通過點(diǎn)數(shù)來確認(rèn)所提供的參考量確實(shí)是10。同時(shí)，為了避免情景呈現(xiàn)的先后順序?qū)τ變河袇⒄展罃?shù)的結(jié)果產(chǎn)生影響，測查過程中按順序輪換呈現(xiàn)實(shí)物、實(shí)物圖片和數(shù)點(diǎn)情景的任務(wù)及相關(guān)材料，（如A幼兒呈現(xiàn)情景的順序是：實(shí)物—實(shí)物圖片—數(shù)點(diǎn)。B幼兒呈現(xiàn)情景的順序就是：實(shí)物圖片—數(shù)點(diǎn)—實(shí)物。C幼兒呈現(xiàn)情景的順序則是：數(shù)點(diǎn)—實(shí)物—實(shí)物圖片。依此類推）每種情景下的待估數(shù)量（15、20、35、50）各測查1次，即每種情景共測查4次。其中參考量10呈現(xiàn)3秒，待估數(shù)量15、20呈現(xiàn)4秒，待估數(shù)量35、50呈現(xiàn)5秒。

測查指導(dǎo)語如下（以數(shù)點(diǎn)情景為例）：“小朋友，請(qǐng)你不要數(shù)，來看看這里大概有多少個(gè)黑色圓點(diǎn)？”（主試拿出參考量，呈現(xiàn)3秒鐘后收起，等待幼兒給出估計(jì)值）“那請(qǐng)你數(shù)一下這里有多少個(gè)黑色圓點(diǎn)？”（再次呈現(xiàn)參考量直至幼兒點(diǎn)數(shù)清楚）“小朋友，你看這里（手指在參考量上畫一圈）是你剛才數(shù)過的黑色圓點(diǎn)，一共有10個(gè)，現(xiàn)在請(qǐng)你根據(jù)這些黑色圓點(diǎn)（手指在參考量上再畫一圈），不要數(shù)，來看看這里（手指在待估數(shù)量上畫一圈，并在X秒后收起）大概有多少個(gè)黑色圓點(diǎn)？”（幼兒給出答案后追問，并記錄幼兒回答的內(nèi)容）“你是怎么知道的呢？”

測查過程中主試將幼兒的基本信息、估數(shù)結(jié)果和所觀察到的幼兒動(dòng)作及語言記錄下來，并根據(jù)表1對(duì)幼兒的有參照估數(shù)進(jìn)行計(jì)分。三種情景下各有4個(gè)待估數(shù)量（也就是4個(gè)題目），只有幼兒進(jìn)行“合理的估數(shù)”時(shí)才能計(jì)1分，其他情況均計(jì)0分。因此，每種情景的滿分為4分，三種情景滿分共12分。

主試在測查過程中要著重觀察幼兒估數(shù)時(shí)的眼部、頭部和手部動(dòng)作，以及幼兒的語言，并追問幼兒所運(yùn)用的策略，對(duì)幼兒的行為和語言進(jìn)行客觀地記錄。雖然主試在測查過程中強(qiáng)調(diào)“不要數(shù)，來看看這里大概有多少顆紐扣”，并且通過控制待估數(shù)量呈現(xiàn)的時(shí)間使幼兒無法在短時(shí)間內(nèi)完成點(diǎn)數(shù)，但依舊有很多幼兒快速點(diǎn)數(shù)了一部分?jǐn)?shù)量后，根據(jù)所點(diǎn)數(shù)的數(shù)量進(jìn)行估數(shù)，即“利用數(shù)數(shù)”策略。因此，本研究參考克里蒂斯（Crites）對(duì)估數(shù)策略的分類方法：不知道、眼球效應(yīng)、基準(zhǔn)比較、分解—重組、其他。[30]將“利用數(shù)數(shù)”這一策略從“其他”中提取出來，單獨(dú)作為一類估數(shù)的重要策略進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，最終確定幼兒有參照估數(shù)的策略為6種：不知道、眼球效應(yīng)、參考量比較、分解—重組、利用數(shù)數(shù)、其他?！安恢馈笔侵赣變翰荒軐?duì)自己的估數(shù)給出相關(guān)的解釋，如幼兒回答“我不知道”或選擇沉默;“眼球效應(yīng)”指的是幼兒通過眼部直覺對(duì)待估物體進(jìn)行估數(shù)，如幼兒回答“我是看出來的”“看起來像XX”或伴有明顯的眼部動(dòng)作等;“參考量比較”是指幼兒將待估物體的數(shù)量與所給參考量或自己設(shè)定的參考量進(jìn)行比較，如幼兒回答“這個(gè)比10多一點(diǎn)”“這個(gè)和剛才的差不多”等;“分解—重組”是指幼兒把待估物體分解成不同的部分，然后通過重新組合進(jìn)行估數(shù)，如幼兒回答 “有4個(gè)10”“一共3排，每排10個(gè)”等;“利用數(shù)數(shù)”指幼兒通過點(diǎn)數(shù)一部分?jǐn)?shù)量來估計(jì)整個(gè)集合的數(shù)量，如觀察到幼兒頭部和眼睛有明顯的點(diǎn)數(shù)動(dòng)作，或幼兒回答“我沒有數(shù)完，一起好像有40個(gè)”;除此之外，當(dāng)主試無法通過分析幼兒的動(dòng)作和語言判斷出所運(yùn)用的具體策略時(shí)，則歸入“其他”，如幼兒回答“我媽媽告訴我的”“猜/想/感覺出來的”（但沒有具體說明是如何“猜/想/感覺出來的”）等。

整個(gè)測查由3名主試輪流進(jìn)行。每次測查由1名主試單獨(dú)負(fù)責(zé)，時(shí)間控制在10～15分鐘。測查結(jié)束后，主試給幼兒發(fā)放小禮品，以表示對(duì)幼兒的鼓勵(lì)和感謝，并將幼兒安全送回所在班級(jí)或教室。

（四）重測信度和評(píng)分者信度

1. 重測信度。

本研究通過對(duì)同一群參與者進(jìn)行兩次測查（間隔一個(gè)星期左右），分析兩次測查的誤差程度，考察測查工具是否具有重測信度。表2中的數(shù)據(jù)顯示前測和后測結(jié)果在0.05水平上顯著相關(guān)，即本研究具有較高的重測信度。

2. 評(píng)分者信度。

本研究的主試及評(píng)分者共有三人，為保證研究數(shù)據(jù)收集的客觀性，本研究通過檢驗(yàn)評(píng)分者A、B、C三者之間的評(píng)分是否一致，來衡量主試的評(píng)分者信度。

表3中的數(shù)據(jù)顯示主試A、B、C三者評(píng)分結(jié)果之間的肯德爾和諧系數(shù)為0.992，經(jīng)檢驗(yàn)χ2=86.304>χ2（29）0.05=42.56;χ2=86.304>χ2（29）0.01=49.59，求得W值達(dá)到極顯著水平，說明三名評(píng)分者評(píng)定的結(jié)果一致性很高。

（五）數(shù)據(jù)的處理

本研究運(yùn)用SPSS對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和匯總，首先對(duì)測查工具進(jìn)行重測信度分析，再進(jìn)行評(píng)分者信度分析，最后分析幼兒年齡、估數(shù)情景和待估數(shù)量對(duì)幼兒有參照估數(shù)發(fā)展水平的影響及策略運(yùn)用的情況。

三、研究結(jié)果與分析

（一）三種情景下幼兒對(duì)不同數(shù)量進(jìn)行合理估數(shù)的占比

本研究發(fā)現(xiàn)（見表4和表5），中班和大班幼兒三種情景下對(duì)數(shù)量15、20、35、50的有參照估數(shù)4個(gè)水平的百分比各不相同。中班46.6%的幼兒在三種情景下都能夠?qū)?shù)量15進(jìn)行合理的估數(shù)（水平4），伴隨三種情景下待估數(shù)量的增大，能夠進(jìn)行合理估數(shù)的幼兒百分比呈現(xiàn)下降趨勢。以實(shí)物情景為例，待估數(shù)量從15向50遞增，合理估數(shù)的幼兒百分比則從46.6%下降至13.8%。估數(shù)情景的抽象程度越高，能夠進(jìn)行合理估數(shù)的幼兒總占比越少，數(shù)點(diǎn)情景下合理估數(shù)的幼兒總占比<實(shí)物圖片情景下合理估數(shù)的幼兒總占比<實(shí)物情景下合理估數(shù)的幼兒總占比。

大班超過一半的幼兒在三種情境下能夠?qū)?shù)量15和數(shù)量20進(jìn)行合理的估數(shù)。與中班幼兒不同，大班幼兒沒有表現(xiàn)出伴隨待估數(shù)量的增大則能夠進(jìn)行合理估數(shù)的幼兒百分比下降的趨勢，也沒有發(fā)現(xiàn)估數(shù)情景的抽象程度越高則能夠進(jìn)行合理估數(shù)的幼兒總占比越少的趨勢。由此可見，中班和大班幼兒三種情景下的有參照估數(shù)能力發(fā)展存在差異，中班幼兒的合理估數(shù)能力受待估數(shù)量大小和情景抽象程度的影響大于大班幼兒。

（二）年齡、情景、數(shù)量對(duì)幼兒有參照估數(shù)發(fā)展水平的影響

本研究對(duì)幼兒有參照估數(shù)能力的發(fā)展水平進(jìn)行了數(shù)據(jù)收集和處理，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行2（年齡）×3（情景）×4（數(shù)量）的混合因素方差分析。數(shù)據(jù)顯示（見表6），年齡的主效應(yīng)顯著，F(xiàn)（1，109）=21.38，P<0.0005，η2=0.16，大班幼兒（M=0.47，SE=0.04）有參照估數(shù)的發(fā)展水平顯著高于中班幼兒（M=0.24， SD=0.03）。數(shù)量的主效應(yīng)顯著，F(xiàn)（3，327）=45.83，P<0.0005，η2=0.30，隨著數(shù)量的增加，幼兒有參照估數(shù)的發(fā)展水平逐漸降低。對(duì)數(shù)量15的有參照估數(shù)發(fā)展水平（M=0.58，SE=0.04）顯著大于對(duì)數(shù)量20（M=0.41，SE=0.03）、35（M=0.23，SE=0.03）、50（M=0.22，SE=0.03）的有參照估數(shù)發(fā)展水平，對(duì)數(shù)量20的有參照估數(shù)發(fā)展水平顯著大于對(duì)數(shù)量35、50的有參照估數(shù)發(fā)展水平。但對(duì)數(shù)量35和50的有參照估數(shù)發(fā)展水平差異不顯著，其他主效應(yīng)和交互作用均不顯著，F(xiàn)s<2.18。

（三）幼兒有參照估數(shù)策略運(yùn)用的特點(diǎn)

1. 中、大班幼兒的估數(shù)策略分析和比較。

本研究通過卡方檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)中班和大班幼兒在各種策略的運(yùn)用上差異顯著，χ2=115.41，P<0.0005。如表7所示，分別有26.4%的中班幼兒和19.2%的大班幼兒不能說出有參照估數(shù)時(shí)所運(yùn)用的策略。中班幼兒幾種策略運(yùn)用的百分比相差較大，其中“參考量比較”策略運(yùn)用的最多，“分解—重組”和“利用數(shù)數(shù)”策略運(yùn)用得很少。大班幼兒雖然也是“參考量比較”策略運(yùn)用的最多，但幾種策略運(yùn)用的百分比相差較小。

2. 中、大班幼兒合理估數(shù)時(shí)的策略分析和比較。

本研究通過卡方檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)中班和大班幼兒在合理估數(shù)情況下各種策略的運(yùn)用差異顯著，χ2= 46.99，P<0.0005。如表8所示，幼兒估數(shù)合理時(shí)運(yùn)用策略“參考量比較”的占比與其他非參考量比較策略的占比差異明顯，其中運(yùn)用 “參考量比較”策略的幼兒最多，占比31.9%，而其他非參考量比較的策略占比相對(duì)較少，如“不知道”占比6.3%、“眼球效應(yīng)”占比18.0%、“分解—重組”占比10.9%。除此之外，當(dāng)幼兒不明確或無法說出估數(shù)策略時(shí)精準(zhǔn)性較低。中班幼兒較多運(yùn)用“眼球效應(yīng)”“參考量比較”和“其他”策略，較少運(yùn)用“不知道”“分解—重組”和“利用數(shù)數(shù)”策略。大班幼兒則較多運(yùn)用“參考量比較”策略，其他的策略運(yùn)用較少。

3. 幼兒有參照估數(shù)過程中對(duì)參考量的運(yùn)用情況。

本研究的111名被試中共有50人在有參照估數(shù)過程中運(yùn)用了參考量，占總?cè)藬?shù)的45.0%，其中中班有22人，大班有28人。本研究發(fā)現(xiàn)幼兒運(yùn)用參考量進(jìn)行估數(shù)主要有三種情況：“利用參考量進(jìn)行比較”，指幼兒將待估物體的數(shù)量與參考量進(jìn)行對(duì)比;“利用參考量進(jìn)行分解—重組”，指幼兒將待估物體的數(shù)量按照參考量進(jìn)行分解和重組;“回看參考量的眼球效應(yīng)”，指幼兒在估數(shù)過程中伴有明顯的觀看參考量的眼部動(dòng)作。其中“利用參考量進(jìn)行比較”的幼兒最多，占比56.60%;“利用參考量進(jìn)行分解—重組”的幼兒占比18.24%;“回看參考量的眼球效應(yīng)”的幼兒占比25.16%。所有被試中有12名幼兒在運(yùn)用參考量進(jìn)行估數(shù)時(shí)，并不是只運(yùn)用了三種策略中的某一種策略，而是同時(shí)運(yùn)用了三種策略中的兩種及以上。

本研究發(fā)現(xiàn)幼兒在運(yùn)用參考量進(jìn)行估數(shù)時(shí)，隨著待估數(shù)量的增大，參考量的運(yùn)用逐漸減少，對(duì)數(shù)量15、20、35、50進(jìn)行估數(shù)時(shí)運(yùn)用參考量的次數(shù)，占總體的百分比分別是44.7%、28.3%、14.5%、12.6%。除此之外，本研究還發(fā)現(xiàn)，不同幼兒在同樣的有參照估數(shù)任務(wù)中會(huì)選擇運(yùn)用不同的策略，如實(shí)物呈現(xiàn)情景下對(duì)數(shù)量35的估數(shù)，有的幼兒運(yùn)用“參考量比較”策略，有的幼兒則運(yùn)用“分解—重組”策略。同一個(gè)幼兒在不同的估數(shù)任務(wù)中所使用的估數(shù)策略較一致，但也出現(xiàn)了根據(jù)情景呈現(xiàn)順序先后和待估數(shù)量的不同而運(yùn)用不同估數(shù)策略的情況，如幼兒A在所有的估數(shù)任務(wù)中大多運(yùn)用“眼球效應(yīng)”策略，但在實(shí)物呈現(xiàn)情景下對(duì)數(shù)量50進(jìn)行估數(shù)時(shí)運(yùn)用了“參考量比較”策略。

四、討論

（一）幼兒有參照估數(shù)精準(zhǔn)性的年齡特點(diǎn)

已有研究認(rèn)為估數(shù)精準(zhǔn)性受個(gè)體差異的影響較大，不同年齡階段的幼兒具有不同水平的估數(shù)能力，幼兒的估數(shù)精準(zhǔn)度隨著年齡的增長而提高，[31][32][33][34][35]然而目前針對(duì)幼兒的有參照估數(shù)精準(zhǔn)性的研究并不多。本研究通過對(duì)幼兒有參照估數(shù)的精準(zhǔn)性測查發(fā)現(xiàn)，中班幼兒的有參照估數(shù)發(fā)展水平處于“合理估計(jì)”的比例為24.4%，大班則上升到47.1%。這種年齡差異不僅體現(xiàn)在不同的估數(shù)情景中，還體現(xiàn)在對(duì)不同數(shù)量進(jìn)行估數(shù)的過程中。三種情景下，中、大班幼兒有參照估數(shù)的精準(zhǔn)性均具有顯著的差異，且三種情景下，大班幼兒的有參照估數(shù)精準(zhǔn)性均高于中班。對(duì)不同數(shù)量的有參照估數(shù)，大班幼兒的精準(zhǔn)性也均高于中班。

中、大班之所以在有參照估數(shù)精準(zhǔn)性方面具有顯著差異，一方面是因?yàn)橛變河袇⒄展罃?shù)的能力與其數(shù)感、數(shù)概念和視覺空間認(rèn)知能力等方面的發(fā)展息息相關(guān)，伴隨年齡的增長，幼兒各方面及整體的數(shù)學(xué)能力逐漸增強(qiáng)，有參照估數(shù)的精準(zhǔn)性也因此越來越高。另一方面，已有研究發(fā)現(xiàn)，幼兒估數(shù)的精準(zhǔn)性與有效的估數(shù)策略運(yùn)用之間存在正相關(guān)的關(guān)系。[36][37]本研究中所列出的“眼球效應(yīng)”“參考量比較”“分解—重組”“利用數(shù)數(shù)”均屬于有效的估數(shù)策略，估數(shù)時(shí)大班幼兒運(yùn)用以上四種估數(shù)策略的占比為62.8%，高于中班幼兒的占比52.5%，因此大班比中班表現(xiàn)出較高的有參照估數(shù)發(fā)展水平。

（二）估數(shù)情景對(duì)幼兒有參照估數(shù)精準(zhǔn)性的影響

本研究發(fā)現(xiàn)三種情景下幼兒有參照估數(shù)精準(zhǔn)性的差異不顯著，一方面由于中、大班幼兒均處于以具體形象思維為主的發(fā)展階段，還未完成向抽象邏輯思維的過渡，因此在估數(shù)時(shí)不易受到情景抽象程度這一因素的干擾。另一方面，為了最大限度減少排列方式、待估物體差異等因素對(duì)幼兒有參照估數(shù)的干擾，本研究的測查工具與已有研究不同，以粘有黑色紐扣的白紙板作為實(shí)物呈現(xiàn)情景，以粘有黑色紐扣紙板的照片作為實(shí)物圖片呈現(xiàn)情景，以計(jì)算機(jī)隨機(jī)打印的黑色圓點(diǎn)作為數(shù)點(diǎn)呈現(xiàn)情景。雖然三者的抽象程度不同，但肉眼感知到的差異并不十分明顯，這也是導(dǎo)致三種情景下幼兒有參照估數(shù)精準(zhǔn)性差異不顯著的原因之一。

除此之外，本研究還分別對(duì)中班和大班三種情景下有參照估數(shù)精準(zhǔn)性的差異進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)大班幼兒的有參照估數(shù)精準(zhǔn)性在三種情景兩兩之間的差異不顯著，中班幼兒的有參照估數(shù)精準(zhǔn)性在三種情景兩兩之間的差異邊緣顯著，且實(shí)物呈現(xiàn)情景總分的均值>實(shí)物圖片呈現(xiàn)情景總分的均值>數(shù)點(diǎn)呈現(xiàn)情景總分的均值，即估數(shù)情景越抽象中班幼兒的有參照估數(shù)精準(zhǔn)性越低，這符合幼兒思維發(fā)展從具體到抽象的特點(diǎn)。

（三）待估數(shù)量對(duì)幼兒有參照估數(shù)精準(zhǔn)性的影響

本研究結(jié)果顯示，幼兒對(duì)數(shù)量15、20、35、50的估數(shù)精準(zhǔn)性差異顯著，隨著待估數(shù)量的增大，幼兒有參照估數(shù)的精準(zhǔn)性遞減，待估數(shù)量的大小是影響幼兒有參照估數(shù)精準(zhǔn)性的重要因素。待估數(shù)量與參考量相差的大小也是影響幼兒有參照估數(shù)精準(zhǔn)性的一個(gè)重要因素，待估數(shù)量與參考量相差越大，幼兒有參照估數(shù)的精準(zhǔn)性就越低。這一結(jié)果與已有研究結(jié)果一致。[38][39]首先，因?yàn)殡S著待估數(shù)量的增大，幼兒所需處理的信息量會(huì)隨之增加，進(jìn)而延長估數(shù)的反應(yīng)時(shí)間，由于測查時(shí)有回答時(shí)間的限制，所以幼兒在短時(shí)間內(nèi)處理較大數(shù)量的估計(jì)，會(huì)比處理較小數(shù)量的估計(jì)更困難，進(jìn)而影響了估數(shù)的精準(zhǔn)度。其次，由于幼兒對(duì)小數(shù)量的感知經(jīng)驗(yàn)比對(duì)大數(shù)量的感知經(jīng)驗(yàn)更豐富，對(duì)小數(shù)量的感知能力也比對(duì)大數(shù)量的感知能力更強(qiáng)。最后，由于本研究提供的參考量是10，待估數(shù)量15、20、35、50與參考量的接近程度依次越來越低，因此幼兒將待估數(shù)量與參考量進(jìn)行對(duì)比時(shí)，兩者相差越小，越利于幼兒根據(jù)參考量進(jìn)行估數(shù)，估數(shù)的精準(zhǔn)性也就越高。

本研究在探究幼兒對(duì)數(shù)量15、20、35、50有參照估數(shù)精準(zhǔn)性的兩兩之間的差異時(shí)，發(fā)現(xiàn)幼兒除了對(duì)數(shù)量35、50有參照估數(shù)精準(zhǔn)性的差異不顯著，對(duì)其他數(shù)量兩兩之間的差異均顯著。一方面是因?yàn)閿?shù)量50雖然比數(shù)量35大，與參考量的接近程度也更低，但數(shù)量50是參考量10的整倍數(shù)，而35不是參考量10的整倍數(shù)，在一定程度上會(huì)影響幼兒有參照估數(shù)的精準(zhǔn)性。另一方面，由于數(shù)量50和35與其他待估數(shù)量相比是較大的數(shù)量，且兩者相差不多，不利于幼兒精確分辨兩者之間的差異，因此幼兒表現(xiàn)出的對(duì)數(shù)量35和50的有參照估數(shù)精準(zhǔn)性差異不顯著。這說明，數(shù)量大到一定程度之后，對(duì)估數(shù)精確性的影響便不再顯著。

（四）幼兒有參照估數(shù)策略運(yùn)用的特點(diǎn)

已有研究認(rèn)為估數(shù)策略的運(yùn)用會(huì)影響估數(shù)的精準(zhǔn)性，在策略的選擇方面雖有不同，但通常也具有共性。[40][41][42][43][44]本研究發(fā)現(xiàn)大多數(shù)幼兒在進(jìn)行有參照估數(shù)時(shí)運(yùn)用“參考量比較”“不知道”“其他”“眼球效應(yīng)”的策略，較少有幼兒運(yùn)用“分解—重組”和“利用數(shù)數(shù)”的策略。一方面是因?yàn)椤胺纸狻亟M”策略的運(yùn)用需要幼兒具備較強(qiáng)的“分與合”“整體與部分”等相關(guān)數(shù)學(xué)能力和經(jīng)驗(yàn)，是一種較難的策略。另一方面，“利用數(shù)數(shù)”所涉及的點(diǎn)數(shù)能力雖然中班和大班幼兒已能夠熟練掌握，但在測查時(shí)主試為了強(qiáng)調(diào)任務(wù)是“估數(shù)”而不是“數(shù)數(shù)”，會(huì)說“請(qǐng)你不要數(shù)，來看看這里有多少”，這在一定程度上會(huì)降低幼兒運(yùn)用“利用數(shù)數(shù)”的策略的可能性。

本研究還發(fā)現(xiàn)幼兒有參照估數(shù)合理時(shí)，大多運(yùn)用的是“參考量比較”策略，而當(dāng)幼兒不明確或無法說出估數(shù)策略時(shí)，估數(shù)的準(zhǔn)確率也隨之下降。由于“參考量比較”策略需要幼兒在理解什么是參考量的基礎(chǔ)上，利用參考量與待估數(shù)量進(jìn)行對(duì)比來完成估數(shù)，所以這是一種較有效的估數(shù)策略，能夠在一定程度上幫助幼兒精準(zhǔn)估數(shù)。另外，幼兒在進(jìn)行有參照估數(shù)時(shí)更善于將與參考量接近的待估數(shù)量與參考量進(jìn)行對(duì)比，本研究為幼兒提供的參考量是10，待估數(shù)量15、20、35、50與參考量相差依次越來越多，研究結(jié)果顯示幼兒對(duì)參考量的運(yùn)用也越來越少。這說明待估數(shù)量與參考量差額的大與小，是影響幼兒有參照估數(shù)時(shí)是否運(yùn)用參考量進(jìn)行比較的關(guān)鍵因素。

五、教育建議

（一）引導(dǎo)幼兒認(rèn)識(shí)到估數(shù)是一種解決日常生活問題的有效辦法

數(shù)學(xué)因其結(jié)構(gòu)的邏輯性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和結(jié)論的精準(zhǔn)性，作為一種技能在日常生活中被廣泛運(yùn)用，但數(shù)學(xué)在生活中的運(yùn)用并不總是力爭要得到一個(gè)精確的答案。很多時(shí)候我們面對(duì)大量的數(shù)和量方面的信息，短時(shí)間內(nèi)無法快速給出一個(gè)精確的答案或無須精準(zhǔn)計(jì)數(shù)時(shí)，可以通過估數(shù)對(duì)其進(jìn)行模糊的、近似的處理。因此，引導(dǎo)幼兒認(rèn)識(shí)到估數(shù)是一種解決日常生活問題的有效辦法至關(guān)重要。例如，天空中有成群的鳥兒快速飛過，我們想知道鳥兒的數(shù)量卻沒辦法數(shù)清楚時(shí);到池塘邊看魚，想知道大概有多少條魚卻無法進(jìn)行一一點(diǎn)數(shù)時(shí)。教師和家長都可以引導(dǎo)幼兒通過估數(shù)來解決這些問題，進(jìn)而讓幼兒認(rèn)識(shí)到估數(shù)是解決日常生活中遇到的各種各樣數(shù)學(xué)問題的有效方法之一。

（二）引導(dǎo)幼兒在日常生活中積累估數(shù)的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)

本研究發(fā)現(xiàn)，幼兒在進(jìn)行估數(shù)時(shí)經(jīng)常會(huì)聯(lián)系到日常生活中的一些經(jīng)驗(yàn)，例如“這些糖果好像和昨天那些豆子一樣多”。估數(shù)源于生活，應(yīng)該在生活中積累經(jīng)驗(yàn)，再運(yùn)用于生活之中。家長和教師是幼兒重要的教育者和引導(dǎo)者，幼兒估數(shù)經(jīng)驗(yàn)的積累不僅可以在幼兒園的教學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行，更需要在幼兒園及家庭的日常生活中進(jìn)行。因此，建議教師和家長在了解幼兒估數(shù)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，利用生活中常見的事和物為幼兒創(chuàng)設(shè)熟悉的估數(shù)情景，例如“猜猜看我們家的鞋柜里大概有多少雙鞋？”“今天班級(jí)里大概來了多少客人老師？”幫助幼兒在日常生活中積累估數(shù)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而不斷提高估數(shù)能力和問題解決能力。

（三）開展多樣的具有年齡適宜性的估數(shù)活動(dòng)

本研究發(fā)現(xiàn)，不同年齡階段的幼兒具有不同水平的有參照估數(shù)能力。中班幼兒處于估數(shù)能力發(fā)展的起步階段，多數(shù)能夠合理完成對(duì)數(shù)量15的有參照估數(shù)，少數(shù)能夠合理完成對(duì)數(shù)量20、35和50的有參照估數(shù)，對(duì)估數(shù)概念和應(yīng)用場景的理解還不完整。大班幼兒的有參照估數(shù)水平高于中班幼兒，大多數(shù)處于“合理估計(jì)”的水平，能夠合理完成對(duì)數(shù)量15和20的有參照估數(shù)，少部分幼兒能夠合理完成對(duì)數(shù)量35和50的有參照估數(shù)。因此，教師和家長在與幼兒進(jìn)行相關(guān)互動(dòng)時(shí)可以從小數(shù)量入手，引導(dǎo)幼兒先理解估數(shù)的定義和意義，在此基礎(chǔ)上為幼兒提供多樣的、豐富的估數(shù)情景和動(dòng)手操作的材料，并逐步提高估數(shù)游戲的難度。

（四）鼓勵(lì)幼兒關(guān)注參考量和分享估數(shù)策略

估數(shù)并不是沒有規(guī)律地胡亂猜測，需要運(yùn)用相應(yīng)的估數(shù)策略。本研究發(fā)現(xiàn)，有效的估數(shù)策略能夠提高估數(shù)的精準(zhǔn)性，隨著估計(jì)者年齡的增長，估數(shù)策略的選擇也隨之發(fā)生改變。參考量的提供能夠豐富幼兒估數(shù)策略的選擇和運(yùn)用，進(jìn)而影響估數(shù)能力的發(fā)展，少數(shù)的中班幼兒表現(xiàn)出對(duì)參照量的初步利用和把握，超過一半的大班幼兒能夠運(yùn)用參考量進(jìn)行估數(shù)。因此，教師和家長日常與幼兒進(jìn)行估數(shù)相關(guān)的互動(dòng)時(shí)，可以引導(dǎo)其關(guān)注參考量，鼓勵(lì)幼兒分享所運(yùn)用的估數(shù)策略，進(jìn)而提高合理估數(shù)的能力。例如：“你剛才是根據(jù)這個(gè)盒子里的15個(gè)橘子來猜這個(gè)筐里橘子的數(shù)量嗎？可以告訴我你具體怎么猜的嗎？”

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Abstract： Numerosity estimation is an important part of mathematical concepts. The study selected 111 children from K2 and K3 classes in a kindergarten in Nanjing to investigate the development characteristics of reference numerosity estimation of 4～6 years old children. Results showed that K3 children outperform K2 children significantly. The size of quantity significantly affects both ages： they perform at lower level with the quantity increased. The abstraction of situation has no significant effect on the accuracy of reference numerosity estimation while estimation strategies used by children have. Children using “benchmark comparison” are likely to get better results， but children who could not tell correctly their strategy often estimate wrong. Children tend to use “benchmark comparison” strategy when the size of estimated number is closer to reference number. Adults should guide children to realize that numerosity estimation is an effective way to solve problems in daily life. Children should start with small quantity in developmental appropriate activities organized by adults for them， and be encouraged to share their estimation strategies.

Key words： 4～6 years old children， numerosity estimation， reference numerosity estimation， numerosity estimation strategy