金錫聰

一、問題來源

義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)·二年級上冊第69頁例3“解決問題”

二、問題描述

“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際事物，想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系”是空間觀念的重要表現(xiàn)之一?？梢恢币詠?，學(xué)生空間觀念的發(fā)展效果不盡如人意，在低年級表現(xiàn)為二維與三維圖形溝通轉(zhuǎn)化不到位。例如，在這節(jié)“觀察物體”的解決問題教學(xué)中：感性經(jīng)驗與思維表象契合性的缺失，導(dǎo)致學(xué)生依據(jù)正方形視圖逆向聯(lián)想相應(yīng)立體圖形時，除了正方體就難以尋得其它符合條件的立體圖形了;操作時機與順序的把握不準(zhǔn)，導(dǎo)致了學(xué)生空間思維斷層，阻礙了空間觀念的建立;邏輯分析推理的缺位，導(dǎo)致二維與三維圖形的溝通轉(zhuǎn)化淺層化，感性經(jīng)驗難以上升為理性空間思維。

三、問題分析

小學(xué)階段人教版《觀察物體》相關(guān)教材內(nèi)容編排呈螺旋遞進的特點（如圖1所示）。

所觀察的物體從實物個體到單個幾何體，再到幾何組合體，遵循由簡單到復(fù)雜、由具體到抽象的原則。從根據(jù)圖形判斷單一物體到判斷組合物體，體現(xiàn)對想象、推理要求的逐步提高。聚焦觀察物體（一）單元內(nèi)容，與例1相比，例2從觀察物體到觀察立體圖形，具有一定的抽象性，但三維向二維的轉(zhuǎn)化是其共同點;例3由單個平面圖形聯(lián)想到相應(yīng)的立體圖形，實現(xiàn)從二維到三維的轉(zhuǎn)化，側(cè)重于推理進行的溝通轉(zhuǎn)化。分析學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的問題，不難發(fā)現(xiàn)教師教學(xué)中存在的問題：

1.忽視感性經(jīng)驗和表象的支撐。依據(jù)正方形視圖猜測立體圖形的環(huán)節(jié)中，絕大部分學(xué)生只具備調(diào)用正方體的表象進行猜測，而對于其它特殊立體圖形（長方體、圓柱）的感性經(jīng)驗和表象，學(xué)生是缺乏的。教學(xué)中，教師往往是直接讓學(xué)生進行猜測，卻忽視猜測所需的思維支撐，導(dǎo)致學(xué)生由于缺乏感性經(jīng)驗的運用和表象思維基礎(chǔ)，最終無法尋得完整結(jié)果。

2.缺乏對操作時機和次序的關(guān)注。本節(jié)課重點是空間觀念的發(fā)展，當(dāng)中自然離不開直觀操作的輔助。但教學(xué)中，教師過分依賴直觀操作，忽視對“何時”引導(dǎo)學(xué)生操作，以“何種次序”展開操作的思考，導(dǎo)致學(xué)生缺失抽象、想象的契機，進而造成空間思維淺層化、紊亂化。

3.缺乏分析推理邏輯的引導(dǎo)。為了讓學(xué)生直觀地知悉與平面視圖對應(yīng)的立體圖形，教師往往采用直觀操作演示（或引導(dǎo)學(xué)生自主操作）為學(xué)生尋得答案，導(dǎo)致了學(xué)生空間思維始終只停留在例1要求的“操作觀察”感性層面上。

四、思考與建議

為解決這一問題，教師可以從學(xué)生年齡特點和認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，組織開展集觀察操作、想象推理、溝通轉(zhuǎn)化于一體的深度學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生真正親歷問題的發(fā)生、發(fā)展、解決過程，從而建立空間觀念。

（一）觀察想象，溝通二維與三維的聯(lián)系，發(fā)展空間觀念

獲得不同維空間的相互轉(zhuǎn)換能力，是學(xué)生空間觀念建立的標(biāo)志。其中二維與三維圖形的相互轉(zhuǎn)換是本節(jié)課的重難點所在。其實現(xiàn)途徑有：一是看立體圖形，畫平面圖形;看平面圖形，想立體圖形。

1.換位觀察：看立體圖形，畫平面圖形，實現(xiàn)三維向二維的轉(zhuǎn)換

本課教學(xué)難點是依據(jù)立體圖形某個面的視圖，推理與視圖對應(yīng)的立體圖形。學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)指向是尋求一個符合條件的立體圖形。為解決這一難點，需喚醒學(xué)生觀察實物的感性經(jīng)驗，提取腦中相關(guān)表象?？煞謨蓚€層次組織學(xué)生分別從正面、左面、上面對熟悉的立體圖形進行觀察，并畫出相應(yīng)視圖（如圖2、圖3所示）。

借助信息技術(shù)動態(tài)呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)長方體演變成特殊長方體（有一組對面是正方形）、標(biāo)準(zhǔn)圓柱（長長的）演變成特殊圓柱（矮矮的）的過程，讓學(xué)生經(jīng)歷從“標(biāo)準(zhǔn)”到“非標(biāo)準(zhǔn)”的觀察想象，把立體圖形引入平面圖形，再由平面圖形復(fù)位到立體圖形，深化平面圖形與立體圖形關(guān)系的認(rèn)識。

2.猜測想象：看平面圖形，想立體圖形，實現(xiàn)二維向三維的轉(zhuǎn)換

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對空間觀念描述提到的“想象”一詞非常重要，而二維向三維的轉(zhuǎn)換，是對空間思維提出的更高要求。

第一層次：基于正方形視圖，想象正方體

學(xué)生對不同二維視圖與三維圖形之間對應(yīng)關(guān)系的表象中，要數(shù)“正方形——正方體”這一對關(guān)系最為深刻。教師只需通過問題：“看到正方形，你腦海里第一時間會浮現(xiàn)出什么立體圖形？”的引導(dǎo)，便能引出與之對應(yīng)的“正方體”，“請說說你是怎么判斷的？”引導(dǎo)學(xué)生表達出：正方體方方正正，每個面都是正方形。實現(xiàn)二維與三維的轉(zhuǎn)換。

第二層次：基于正方形視圖，想象長方體、圓柱

追問：除了正方體，還可能是別的立體圖形嗎？激發(fā)相關(guān)感性經(jīng)驗與立體圖形表象的回憶與提取。其思維邏輯如圖4所示。

（二）操作驗證：溝通二維與三維的聯(lián)系，提升空間觀念

實踐操作是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的重要手段。但其實施要注意把握時機和次序。在“看立體圖形，畫平面圖形”和“看平面圖形，想立體圖形”活動后是實踐操作開展的重要時機，借助實物操作對所“畫”所“想”進行驗證。如采用“轉(zhuǎn)物觀察法”從正面、左面、上面依次對長方體、正方體、圓柱、球進行觀察，并以所畫圖形與實物對比驗證;采用“轉(zhuǎn)物觀察法”按正方體、標(biāo)準(zhǔn)長方體、非標(biāo)準(zhǔn)長方體、標(biāo)準(zhǔn)圓柱、非標(biāo)準(zhǔn)圓柱、球的順序觀察，并以圖片與實物對比驗證。在親歷觀察、對比的實踐活動過程中驗證思維成果的正確性，溝通二維與三維的對應(yīng)關(guān)系，實現(xiàn)空間觀念的提升。

（三）分析推理：溝通二維與三維的聯(lián)系，深化空間觀念

空間觀念的深化，離不開分析推理。開展理據(jù)分析、邏輯推理是實現(xiàn)二維與三維溝通、轉(zhuǎn)換的必由路徑。在“看立體圖形，畫平面圖形”環(huán)節(jié)中，當(dāng)學(xué)生完成了不同方位的視圖后，引導(dǎo)觀察表格，分析推理：如果視圖是正方形，與之對應(yīng)的立體圖形可能是正方體、長方體、圓柱;如果視圖是長方形，與之對應(yīng)的立體圖形可能是長方體、圓柱;如果視圖是圓形，與之對應(yīng)的立體圖形可能是圓柱、球（如圖5所示）。

在依據(jù)正方形視圖推測與之對應(yīng)的立體圖形過程中，引導(dǎo)學(xué)生感知如下邏輯推理過程：以視圖作為分析推理起點——以立體圖形外形特征為推理依據(jù)——以視圖和立體圖形轉(zhuǎn)換為推理過程——得到推理結(jié)論，過程如圖6所示。

總之，要實現(xiàn)空間觀念發(fā)展這一目標(biāo)，在遵循學(xué)生年齡特點和認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的基礎(chǔ)上，以學(xué)生已有生活經(jīng)驗和知識經(jīng)驗為起點，有序組織學(xué)生親歷觀察想象、操作推理、溝通轉(zhuǎn)化等深度學(xué)習(xí)的過程，是行之有效的必由之路。