■樊文聯(lián)

分段函數(shù)是在不同定義區(qū)間上具有不同的解析式,是一類重要的函數(shù)。在處理分段函數(shù)問題時(shí),應(yīng)對(duì)不同的區(qū)間進(jìn)行分類討論,然后整合,這恰好是分類討論的一種體現(xiàn)。

題型1:求函數(shù)的值

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已知分段函數(shù)解析式求函數(shù)值的方法:①確定要求值的自變量屬于哪個(gè)區(qū)間;②代入該段的解析式求值。當(dāng)出現(xiàn)f[f(x0)]的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依次求值。

題型2:求函數(shù)的值域

例2函數(shù)f(x)=的值域是()。

A.R B.[0,2]∪{3}

C.[0,+∞) D.[0,3]

解:當(dāng)0≤x≤1 時(shí),0≤2x≤2,即0≤f(x)≤2;當(dāng)1

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求分段函數(shù)的值域,就是求各段函數(shù)值域的并集。

題型3:求參數(shù)的值

例3已知分段函數(shù)f(x)=若f(a)=3,則實(shí)數(shù)a的值為_____。

解:根據(jù)題意可分段求解。①當(dāng)a≤-2時(shí),由f(a)=a+4=3,可得a=-1>-2,不合題意,舍去。②當(dāng)-2

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已知分段函數(shù)的值求參數(shù)值的三個(gè)步驟:先對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論;然后代入不同的解析式,通過解方程求出參數(shù)的值;檢驗(yàn)所求的值是否屬于所討論的區(qū)間。

題型4:求參數(shù)的取值范圍

例4已知分段函數(shù)f(x)=在區(qū)間 [-1,m]上的最大值是2,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____。

解:當(dāng)x≤0 時(shí),f(x)=3-x-1 是減函數(shù),所以3-x-1≤2,解得-1≤x≤0。當(dāng)x>0時(shí),f(x)=是增函數(shù),所以≤2,解得0

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分段函數(shù)的求值或求取值范圍問題,要注意每段都應(yīng)考慮是否滿足條件。

題型5:新定義問題

例5對(duì)于實(shí)數(shù)a和b,定義運(yùn)算“*”:設(shè)函數(shù)f(x)=(2x-1)*x,且關(guān)于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____。

解:由新定義得函數(shù)f(x)=(2x-1)*作出分段函數(shù)f(x)的圖像,如圖1所示。

圖1

由函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,當(dāng)x=時(shí),y=2x2-3x+1取得最小值為-。函數(shù)y=-x2+x在(1,+∞)上單調(diào)遞減,則y=-x2+x<0。因?yàn)閥=f(x)=m(m∈R)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)根,所以-

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本題是以新定義的形式來考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)的。題中要求方程的三個(gè)不相等的實(shí)根,只需求出對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像的三個(gè)交點(diǎn)即可。作圖、識(shí)圖、用圖是解答本題的關(guān)鍵。

題型6:不等式問題

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題中函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,0)∪(0,1]。-x與x的大小關(guān)系不確定,因此需要分類討論。

題型7:單調(diào)性問題

例7已知分段函數(shù)f(x)=是R 上的增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()。

A.(1,+∞) B.(1,8)

C.(4,8) D.[4,8)

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解決分段函數(shù)的單調(diào)性問題,要抓住對(duì)自變量所在區(qū)間的討論,在保證各段上同增(減)時(shí),要注意上、下段間端點(diǎn)值的大小關(guān)系。

感悟與提高

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-1,2]上的圖像如圖2所示,則此函數(shù)的解析式為________。

提示:由圖可知,當(dāng)-1≤x<0 時(shí),f(x)=x+1;當(dāng)0≤x≤2 時(shí),f(x)=。所 以 函 數(shù)

圖2