苗生龍，謝 偉，趙園園，鄭玉瑩，王秋分

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 徐海學(xué)院，江蘇 徐州 221008)

靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析是《結(jié)構(gòu)力學(xué)》的主要任務(wù)之一，而支座反力的求解則是靜定結(jié)構(gòu)進(jìn)行內(nèi)力分析的前提。多數(shù)現(xiàn)行教材中對(duì)支座反力的求解采用列靜力平衡方程的方法，常表述為：根據(jù)解題需要對(duì)結(jié)構(gòu)整體或?qū)Y(jié)構(gòu)任一局部甚至某一結(jié)點(diǎn)建立平衡方程求解[1-4]。但有些情況下（如支座反力多于3個(gè)），如果盲目選擇研究對(duì)象羅列平衡方程，可能出現(xiàn)聯(lián)立方程組數(shù)量多而不便求解全部未知力的情況。而且靜定結(jié)構(gòu)種類多樣，分梁、剛架、拱、桁架等，因此，對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的歸納梳理顯得十分重要。

本文結(jié)合靜定結(jié)構(gòu)的受力分析，詳細(xì)闡明了支座反力求解的一般思路，歸納整理了相關(guān)類型，形成了一種通用的解決所有靜定結(jié)構(gòu)支座反力求解的方法。

1 常見約束的類型及受力分析

要進(jìn)行支座反力求解，第一步就要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行受力分析，要想正確的進(jìn)行受力分析，必須對(duì)約束的類型及約束反力標(biāo)注有深刻的理解并熟練掌握[5]。先對(duì)約束所產(chǎn)生的約束個(gè)數(shù)進(jìn)行討論，常見的約束類型可分為以下幾種：第一柔性體約束，一個(gè)約束；第二光滑接觸面約束，一個(gè)約束；第三固定鉸、中間鉸約束，兩個(gè)約束；第四可動(dòng)鉸約束，一個(gè)約束；第五固定端、剛節(jié)點(diǎn)約束，3個(gè)約束；第六定向支座約束，兩個(gè)約束；第七鏈桿約束，一個(gè)約束。

熟練掌握以上幾種約束的性質(zhì)后，還需要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行正確的受力分析。受力分析的一般步驟為：第一解除約束，取隔離體；第二畫主動(dòng)力；第三在解除約束的地方代之以相應(yīng)的約束力。受力分析對(duì)后續(xù)求解支座反力時(shí)快速正確的選擇研究對(duì)象至關(guān)重要。

2 支座反力求解的一般思路

靜定結(jié)構(gòu)支座反力的求解一般采用列平衡方程的方法，而平衡方程有三種表達(dá)方式，分別為：

以上三種平衡方程在應(yīng)用時(shí)需根據(jù)題目具體條件來(lái)進(jìn)行選擇（求解時(shí)不解或少解聯(lián)立方程組，盡量一個(gè)方程求解一個(gè)未知力）。對(duì)于平面任意力系的每個(gè)研究對(duì)象，均只能列出3個(gè)獨(dú)立的平衡方程，求出3個(gè)未知力，任何第4個(gè)方程都是前3個(gè)方程的線性組合，是不獨(dú)立的。因此當(dāng)某研究對(duì)象（常見于物體系統(tǒng)）上未知力的數(shù)量多于3個(gè)時(shí)，必須增加獨(dú)立方程的數(shù)量才能求出相應(yīng)的未知力。

如何增加獨(dú)立方程數(shù)量呢？唯一的辦法即是增加研究對(duì)象的數(shù)量，因?yàn)槊吭黾右粋€(gè)研究對(duì)象，即可增加3個(gè)獨(dú)立的平衡方程。如何才能增加研究對(duì)象數(shù)量呢？答案是斷開約束，但若隨意斷開約束，可能對(duì)于分析問題并無(wú)益處。如圖1所示，取整體為研究對(duì)象時(shí)，研究對(duì)象數(shù)目為1個(gè)，即整體，未知力有4個(gè)（A處為固定鉸，有2個(gè)約束力，B、D處均為可動(dòng)鉸約束，分別有1個(gè)約束力），獨(dú)立平衡方程數(shù)量有3個(gè)，平衡方程數(shù)量不足，未知力無(wú)法全部求出，需要增加平衡方程數(shù)量，即需要增加研究對(duì)象數(shù)量。若從B處斷開，研究對(duì)象分別為AB、BD兩個(gè)，獨(dú)立平衡方程數(shù)量變?yōu)?個(gè)，但由于斷開處約束為剛節(jié)點(diǎn)，其未知力有3個(gè)，總的未知力增加為7個(gè)，依然無(wú)法全部求出所有未知力，因此，需要正確地選擇研究對(duì)象，即合理地選擇斷開約束的位置。

圖1 多跨連續(xù)梁一

一般來(lái)說(shuō)，為了有效增加獨(dú)立平衡方程的數(shù)量，斷開位置處的約束力不能超過2個(gè)，這樣，斷開一次，研究對(duì)象增加1個(gè)，獨(dú)立的平衡方程增加3個(gè)，而未知力的增加不超過2個(gè)。若從C處斷開，研究對(duì)象為AC和CD，獨(dú)立的平衡方程總數(shù)為6，未知力為4+2=6個(gè)（式中數(shù)字2為C處中間鉸的約束力數(shù)量），未知力即可由方程全部求解。由此可知，在選取研究對(duì)象的時(shí)候，一定要從約束力不超過3的約束處斷開（常見中間鉸約束處、定向支座約束處）。

3 支座反力求解的三種類型

對(duì)于一般結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，通?？梢苑譃樯?、中、下三部分，即結(jié)構(gòu)本身部分（上部）、大地或基礎(chǔ)部分（下部）及連接這兩部分的支座部分（中部），如圖2所示。結(jié)構(gòu)形式千變?nèi)f化，但基本都是由這三部分組成的?？紤]到支座（即中部）的不同，從求支座反力的角度看，大致可以分為三種類型。

圖2 平面體系組成

3.1 類型一

如圖3（a）所示結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)體系的支座反力為3個(gè)，取上部結(jié)構(gòu)本身AC為研究對(duì)象（如圖3（b）所示），列三個(gè)平衡方程即可求出所有的支座反力，考慮到盡量一個(gè)方程解一個(gè)未知力的原則，平衡方程可按如下順序羅列：

圖3 類型一

此種類型為求支座反力類型中最簡(jiǎn)單的一類，即結(jié)構(gòu)全部的支座反力只有3個(gè)。

3.2 類型二

如圖1所示結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)體系的支座反力有4個(gè)，若取上部結(jié)構(gòu)ABCD為研究對(duì)象，方程數(shù)量不足，無(wú)法求出全部支座反力，必須增加研究對(duì)象數(shù)量，從而增加平衡方程數(shù)量。為此需要切斷約束。前述已經(jīng)討論過，需要從約束力少于3的地方斷開，即只能從C處（中間鉸，2個(gè)約束力）斷開，研究對(duì)象分別為AC、CD，受力如圖4所示。

圖4 類型二

先對(duì)CD部分進(jìn)行受力分析（如圖4（a）），有3個(gè)未知力，列如下平衡方程即可求出：

然后再對(duì)AC進(jìn)行受力分析（如圖4（b）），只有3個(gè)未知力（FCx=F′Cx,FCy=F′Cy），列如下平衡方程即可求出：

此種類型中，必有一個(gè)研究對(duì)象上的未知力個(gè)數(shù)不超過3個(gè)，因此從該研究對(duì)象入手，依次研究其余部分，即可求出全部支座反力。

3.3 類型三

如圖5所示結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)體系的中部約束即支座反力有5個(gè)，可從C、D處斷開，將結(jié)構(gòu)分為AC、CD和DF三部分，但每一個(gè)研究對(duì)象上的未知力均超過3個(gè)，無(wú)法用平衡方程一次性求出。經(jīng)受力分析發(fā)現(xiàn)，CD部分的4個(gè)未知力中有三個(gè)交于C點(diǎn)或D點(diǎn)（如圖5（c）所示），可采用力矩法求出FDy（MC=0）；然后再對(duì)DF段進(jìn)行受力分析（如圖5（d）所示），則只存在3個(gè)未知力（FDy=F′Dy），可列三個(gè)平衡方程求出DF段的3個(gè)未知力，然后再研究CD段，求出其全部未知力，最后研究AC段，進(jìn)而求出全部支座反力。

圖5 類型三

此種類型中，所有研究對(duì)象上的未知力數(shù)量均超過3個(gè)，但至少有一個(gè)研究對(duì)象（假定其未知力個(gè)數(shù)為n）存在如下情況：至少有n-1個(gè)未知力平行或者交于一點(diǎn)，求解時(shí)即可從該研究對(duì)象入手，采用投影法或力矩法先求出一個(gè)或兩個(gè)未知力，然后再選取其它研究對(duì)象，聯(lián)立即可求出全部未知力。

4 結(jié)語(yǔ)

通過對(duì)各種約束性質(zhì)的整理，及結(jié)構(gòu)桿件的受力分析，本文闡述了靜定結(jié)構(gòu)求解支座反力的基本思路、方法，并將之歸納整理為三種類型，應(yīng)用該分析方法可對(duì)所有類型靜定結(jié)構(gòu)（梁、剛架、桁架、組合結(jié)構(gòu)等）進(jìn)行支座反力求解。