彭和平

(武昌首義學(xué)院機(jī)電與自動(dòng)化學(xué)院，武漢 430064)

0 引言

公差是產(chǎn)品設(shè)計(jì)、制造和檢驗(yàn)中最重要的產(chǎn)品信息之一，是CAD/CAPP/CAM/CAQ不同環(huán)節(jié)之間數(shù)據(jù)交換和共享的主要內(nèi)容之一。設(shè)計(jì)公差與工序公差的并行分配，對(duì)于產(chǎn)品性能質(zhì)量和制造成本均具有很大的影響，公差已經(jīng)成為平衡產(chǎn)品制造成本與性能質(zhì)量的橋梁[1]。目前并行公差設(shè)計(jì)模型大部分基于制造成本和質(zhì)量損失之和最小進(jìn)行的尺寸公差的并行分配，并沒有考慮幾何公差，有一些研究考慮了幾何公差，但忽略了制造成本和產(chǎn)品滿意度之間的平衡[2-3]。本研究的目的是擴(kuò)展并行公差設(shè)計(jì)模型以考慮幾何公差的要求。首先，在并行公差設(shè)計(jì)的環(huán)境下為了考慮幾何公差的影響，探討了幾何公差的轉(zhuǎn)化方法；在此基礎(chǔ)上建立并行設(shè)計(jì)與工序公差分配模型；最后，利用非線性規(guī)劃技術(shù)對(duì)模型進(jìn)行求解，以獲得優(yōu)化設(shè)計(jì)與工序公差值，實(shí)現(xiàn)包括幾何公差在內(nèi)的并行公差分配。

1 幾何公差的轉(zhuǎn)換

幾何公差用于控制零件在形狀、方位、位置等方面的真實(shí)要素相對(duì)于理想要素或基準(zhǔn)要素的變化。由于幾何公差對(duì)零件的性能和制造成本有著重要影響，因此在公差設(shè)計(jì)中考慮幾何公差是非常必要的，以滿足產(chǎn)品功能要求，保證零件互換性和制造的經(jīng)濟(jì)性。根據(jù)ISO1101[4]，14種幾何公差被分為形狀、方向、位置和跳動(dòng)4種類型。并非所有的幾何公差都可以轉(zhuǎn)化為等效的外部公差。與位置相關(guān)的幾何公差可以轉(zhuǎn)化為等效的外部公差；而形狀和方向公差僅僅指定局部特征，不能直接與線性尺寸耦合，它們將被視為額外的公差約束[5-6]。因此，在這14個(gè)幾何公差中，只有位置度、同心度、對(duì)稱度和輪廓度這4個(gè)公差直接影響工序公差鏈，可以轉(zhuǎn)化為等效的尺寸公差，其余的幾何公差項(xiàng)被建模為附加加工約束。

1.1 位置度公差

對(duì)于一個(gè)點(diǎn)的位置度公差，公差區(qū)域是直徑Sφt的球體，其中心由相對(duì)于基準(zhǔn)位置的理論上精確尺寸確定。線的位置度公差可分為三種類型：①當(dāng)線的位置度公差只指定一個(gè)方向時(shí)，公差區(qū)域由兩個(gè)間隔距離為T的平行平面組成的區(qū)域，并相對(duì)于所考慮的線的理論準(zhǔn)確位置對(duì)稱布置。②當(dāng)線的位置度公差指定在兩個(gè)相互垂直的方向上時(shí)，其公差區(qū)域?yàn)榻孛鎡1×t2的平行六面體，其軸線位于所考慮直線的理論準(zhǔn)確位置。③當(dāng)線的位置度公差在任意方向時(shí)，公差區(qū)域?yàn)橹睆綖門的圓柱體，其軸線與所考慮線的理論準(zhǔn)確位置重合。在上述三種情況下，考慮線的理論精確位置取決于基準(zhǔn)位置和理論準(zhǔn)確尺寸。對(duì)于平面或中心平面的位置度公差，公差區(qū)域應(yīng)包含在間隔距離為T的兩個(gè)平行平面之間，并相對(duì)于所考慮表面的理論準(zhǔn)確位置對(duì)稱配置。

圖1表明如何將位置度公差轉(zhuǎn)換為可集成到公差鏈中的等效尺寸公差。如圖1中的孔相對(duì)于基準(zhǔn)A和B的位置度公差為TP；等效線性尺寸公差在兩個(gè)互相垂直方向分別為±0.5Tp·cos45°和±0.5Tp·sin45°。因此，位置度公差的轉(zhuǎn)換模型可以表示為：

(1)

式中，X是理論上準(zhǔn)確的尺寸，TP是位置度公差。

圖1 位置度公差的轉(zhuǎn)換

在此需要注意的是，如圖1所示位置度公差指定了最大材料要求，如果孔不在他們的最大實(shí)體狀態(tài)下，GD&T公差將被賦予額外的公差補(bǔ)償。此外，我們假設(shè)所有的尺寸公差都是相對(duì)于其名義尺寸的雙邊分布，并且我們?cè)诠钷D(zhuǎn)換過程中采用極值法。

1.2 同軸度公差

同心(軸)度公差是定位公差的一種，它是指關(guān)聯(lián)實(shí)際要素對(duì)具有確定位置的理想要素所允許的變動(dòng)全量，用于控制被測(cè)要素對(duì)基準(zhǔn)的同心(軸)性變動(dòng)。理想要素的位置由基準(zhǔn)確定。對(duì)于點(diǎn)的同心度公差，所提取的點(diǎn)應(yīng)包含在一個(gè)直徑為T的圓內(nèi)，圓心與基準(zhǔn)點(diǎn)重合。對(duì)于軸的同軸度公差，所提取的軸應(yīng)包含在軸線與基準(zhǔn)軸線重合直徑為T的圓柱面內(nèi)的區(qū)域。

圖2說明了同軸度公差如何轉(zhuǎn)換為兩個(gè)相互垂直軸上的等效線性尺寸和公差。

圖2 同軸度公差的轉(zhuǎn)換

并且相關(guān)工序公差的累計(jì)總和不應(yīng)大于規(guī)定的同心度公差，也即：

(2)

式中，TC為同心度公差，Tji為與同心度公差相關(guān)的第i個(gè)工序尺寸xji的工序公差，p為相關(guān)工序尺寸的數(shù)量。

1.3 對(duì)稱度公差

對(duì)稱度公差也是一種定位公差，它是指關(guān)聯(lián)實(shí)際要素對(duì)具有確定位置的理想要素所允許的變動(dòng)全量，用于控制被測(cè)要素對(duì)基準(zhǔn)的對(duì)稱性變動(dòng)，理想要素的位置由基準(zhǔn)確定。

對(duì)于僅指定一個(gè)方向的對(duì)稱度公差，其公差帶為距離為公差值T，中心平面(或中心線、軸線)與基準(zhǔn)中心要素(中心平面、中心線或軸線)重合的兩平行平面(或兩平行直線)之間的區(qū)域。如果對(duì)稱度公差指定在兩個(gè)相互垂直的方向上，則公差區(qū)域?yàn)榻孛鎡1×t2的平行六面體，其軸線與基準(zhǔn)軸線重合。對(duì)稱度公差的轉(zhuǎn)換模型為：

(3)

式中，TS是對(duì)稱度公差，Tji為與對(duì)稱度公差相關(guān)的第i個(gè)工序尺寸xji的工序公差，p為相關(guān)工序尺寸的數(shù)量。

以圖3中所示的零件為例，對(duì)稱度公差的轉(zhuǎn)換模型為：

(4)

圖3 對(duì)稱度公差的轉(zhuǎn)換

1.4 其他幾何公差

其他幾何公差，比如：形狀公差(包括直線度、平面度、圓度、圓柱度等)、方向公差(包括平行度、垂直度、傾斜度等)和跳動(dòng)公差，一般應(yīng)作為公差設(shè)計(jì)模型中的附加約束。具體地說，這種類型的幾何公差的值不應(yīng)該大于與引起這些幾何公差的加工表面相關(guān)的工序公差。不等式可以表示為：

TG≤Tji

(5)

式中，TG是幾何公差，Tji是與幾何公差相關(guān)的工序尺寸xji的雙向公差。

根據(jù)上述分析，幾何公差的轉(zhuǎn)換有些可以轉(zhuǎn)化為等效的尺寸公差，有些只能作為公差優(yōu)化設(shè)計(jì)中的附加約束條件。

2 并行公差模型

本節(jié)對(duì)基于制造成本-期望質(zhì)量損失的并行公差設(shè)計(jì)模型進(jìn)行擴(kuò)展，提出綜合考慮尺寸公差和幾何公差的并行優(yōu)化分配方法。

2.1 成本-工序公差模型

產(chǎn)品制造成本與其公差之間存在著密切的聯(lián)系，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)成本-公差建模進(jìn)行了研究。目前，比較成熟的成本-公差模型包括：指數(shù)模型、倒數(shù)平方模型、倒數(shù)冪指數(shù)模型、倒數(shù)冪和指數(shù)混合模型、指數(shù)和冪指數(shù)復(fù)合模型、倒數(shù)模型、離散模型、改進(jìn)的指數(shù)模型、線性和指數(shù)復(fù)合模型、三次多項(xiàng)式模型、四次多項(xiàng)式模型等。假設(shè)在第i道工序中加工第j個(gè)零件特征到工序公差Tji的制造成本為：

cji=C(Tji),i=1,2,…,p;j=1,2,…,q

(6)

總的成本是每道工序加工制造成本之和，于是有：

(7)

式中，Cji(Tji) 是零件第j個(gè)特征的第i道加工工序的制造成本；q是零件特征數(shù)；p是第j個(gè)特征的加工工序數(shù)。

2.2 期望質(zhì)量損失與工序公差函數(shù)關(guān)系

文獻(xiàn)[7]提出了被廣泛使用的二次質(zhì)量損失函數(shù)。對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的裝配，其功能要求由多個(gè)裝配特征確定。設(shè)產(chǎn)品第k個(gè)裝配尺寸zk(k=1, 2, …,r)是q個(gè)零件設(shè)計(jì)尺寸的函數(shù)：

zk=gk(y1,y2,…,yq)

(8)

式中，yj(j=1, 2,…,q)為第j個(gè)零件設(shè)計(jì)尺寸。

用Taylor級(jí)數(shù)展開式(8)并且略去二階及以上高次項(xiàng)，則裝配尺寸zk的偏差值為：

(9)

文獻(xiàn)[8]擴(kuò)展了Taguchi的質(zhì)量損失函數(shù)，提出了計(jì)算這些具有多重相關(guān)特征的產(chǎn)品質(zhì)量損失的一般公式：

(10)

式中，Akl為質(zhì)量損失系數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[3]其期望質(zhì)量損失為：

(11)

(12)

(13)

(14)

在產(chǎn)品設(shè)計(jì)階段，假設(shè)零件設(shè)計(jì)尺寸的變動(dòng)是正態(tài)分布的，裝配尺寸的變動(dòng)也為正態(tài)分布。根據(jù)統(tǒng)計(jì)理論，產(chǎn)品裝配尺寸參數(shù)的方差和協(xié)方差為：

(15)

(16)

在工序公差設(shè)計(jì)階段，零件每個(gè)設(shè)計(jì)尺寸yj可表達(dá)為工序尺寸xji的函數(shù)(i=1, 2, …,p)。

yj=fj(xj1,xj2,…,xjp)

(17)

式中，xji是設(shè)計(jì)尺寸yj的第i步工序尺寸；p是與設(shè)計(jì)尺寸yj相關(guān)的加工工序總數(shù)。

在穩(wěn)定加工條件下，假設(shè)所有的被加工尺寸xji是正態(tài)分布，類似地有：

(18)

(19)

將式(18)和式(19)分別代入式(15)、式(16)和式(9)，有：

(20)

(21)

(22)

在一般正常生產(chǎn)的情況下，可以假定各組成環(huán)尺寸及公差服從正態(tài)分布，并假定各組成環(huán)尺寸及公差相對(duì)于公差帶中點(diǎn)呈對(duì)稱的正態(tài)分布，取零件的公差范圍為±3σ(σ為正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差)對(duì)應(yīng)零件的合格率為99.73%，則有：

(23)

式中，Tji是工序尺寸xji的雙向公差。

將式(23)代入式(20)、式(21)有：

(24)

(25)

將式(24)、式(25)代入式(11)，于是表示為工序公差Tji的函數(shù)形式的期望質(zhì)量損失為：

(26)

2.3 并行公差模型

在并行公差設(shè)計(jì)中，目標(biāo)函數(shù)為產(chǎn)品的總成本，它是產(chǎn)品的制造成本與期望質(zhì)量損失的和，各工序公差為待確定的設(shè)計(jì)變量。

目標(biāo)函數(shù)

min{E[L(Tji)+MC(Tji)]}

(27)

式中，E[L(Tji)] 和MC(Tji)分別是產(chǎn)品的期望質(zhì)量損失和總的制造成本。

約束條件

(1)基于WC(Worst-case)模型的并行公差累積約束

(28)

式中，Tzk為產(chǎn)品功能參數(shù)zk的公差極限上限。

(2)基于RSS模型的并行公差累積約束

(29)

(3)幾何公差要求的約束

如前節(jié)所述，只有位置度、同心度、對(duì)稱性度和輪廓公差可以直接轉(zhuǎn)化為等效的尺寸公差，其余的幾何公差項(xiàng)，如直線度、圓度、垂直度、平行度等，可視為附加加工約束，這些加工約束就是幾何公差不應(yīng)該大于相關(guān)的工序公差。

(4)每道加工工序的經(jīng)濟(jì)加工范圍約束

(30)

3 實(shí)例

根據(jù)該裝配的功能需求，可以識(shí)別出兩個(gè)關(guān)鍵的裝配尺寸鏈，如圖4所示，表示這兩個(gè)裝配尺寸鏈的方程分別為：

z1=-y1-0.5y2+0.5y3+y4

z2=-0.5y3-y5+y6+ypo+yco+y7

式中，ypo是由小孔垂直軸線相對(duì)于基準(zhǔn)面A、C的位置度公差Tpo轉(zhuǎn)換而來的等效公稱尺寸；yco是大孔軸線相對(duì)基準(zhǔn)軸線B的同軸度公差Tco轉(zhuǎn)換而來的等效公稱尺寸。

圖4 滾輪裝配

圖5～圖7所示為裝配中關(guān)鍵零件框架1、滾輪2、軸套3的加工順序，表1列出了這3個(gè)零件的加工工序規(guī)劃。根據(jù)式(9)，我們有：

δz1=-δy1-0.5δy2+0.5δy3+δy4

δz2=-0.5δy3-δy5+δy6+δypo+δyco+δy7

根據(jù)圖5～圖7和表1給定的各個(gè)零件的加工工序，可以獲得下列加工方程：

y1=x32-x33

y2=x24

y3=x15-x16-x17

y4=x25

y5=x17

y6=x18=40

y7=x19-x18=0

于是，根據(jù)式(24)和式(25)有：

圖5 框架1的加工順序

圖6 滾輪2的加工順序

圖7 軸套3的加工順序

表1 框架1、滾輪2、軸套3的加工工序 (mm)

表1中，Tpo、Tco分別為框架1的小孔軸線相對(duì)于基準(zhǔn)面A、C的位置度公差和大孔軸線相對(duì)基準(zhǔn)軸線B的同軸度公差；Tpe1和Tpe2分別是框架1的左、右兩平面相對(duì)于基準(zhǔn)平面A的垂直度公差。

在穩(wěn)定生產(chǎn)條件下，假設(shè)各工序尺寸分布中心值與其目標(biāo)值重合，在此忽略其偏差對(duì)期望質(zhì)量損失的影響，根據(jù)式(26)期望質(zhì)量損失表達(dá)式為：

注意：本例僅考慮由于與裝配功能要求相關(guān)的工序尺寸的變動(dòng)所引起的期望質(zhì)量損失。對(duì)其他工序尺寸使用最經(jīng)濟(jì)的公差值，這些工序尺寸的變動(dòng)對(duì)質(zhì)量損失沒有貢獻(xiàn)，同樣的考慮也應(yīng)用于制造成本。

本例制造成本模型采用由文獻(xiàn)[10]提出的倒數(shù)冪和指數(shù)混合模型，根據(jù)該模型零件第j個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)通過第i道工序獲得工序公差Tji的制造成本由下式確定：

式中，參數(shù)a0,a1,a2,a3,a4可以用最小二乘近似法確定。根據(jù)文獻(xiàn)[10]的研究：

對(duì)于孔加工：

對(duì)于平面銑削：

對(duì)于車削：

根據(jù)式(7)，本例的制造成本為：

式中，

在并行設(shè)計(jì)的環(huán)境下，綜合期望質(zhì)量損失和總的制造成本，可以得到并行公差優(yōu)化模型：

考慮約束條件包括產(chǎn)品功能約束、幾何公差要求約束、加工工序的經(jīng)濟(jì)加工范圍約束等。

(1)產(chǎn)品功能約束：

(2)幾何公差約束：

T18-0.5Tpo·cos45°≤0
T18+T19-Tco≤0
Tpe1-T14≤0
Tpe2-T15≤0

(3)經(jīng)濟(jì)加工工序邊界約束 ：

0.050≤T14≤0.085，0.010≤Tpe1≤0.040
0.050≤T15≤0.085，0.010≤Tpe2≤0.040
0.050≤T16≤0.085，0.020≤T17≤0.050
0.010≤T18≤0.040，0.010≤Tpo≤0.030
0.010≤T19≤0.050，0.010≤Tco≤0.030
0.015≤T24≤0.040，0.020≤T25≤0.050
0.020≤T32≤0.040，0.020≤T33≤0.040

本例采用非線性規(guī)劃技術(shù)求解該模型，獲得優(yōu)化工序公差和相關(guān)設(shè)計(jì)公差見表2和表3。

表2 優(yōu)化工序公差

表3 優(yōu)化設(shè)計(jì)公差

4 結(jié)束語

并行公差設(shè)計(jì)模型將產(chǎn)品設(shè)計(jì)階段和零件加工階段結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)了零件工序公差和設(shè)計(jì)公差的同步分配，可以保證產(chǎn)品的可制造性，提高設(shè)計(jì)效率，降低整體生產(chǎn)成本，減少不合格產(chǎn)品數(shù)量，縮短產(chǎn)品開發(fā)周期。本研究基于幾何公差的數(shù)學(xué)表達(dá)，進(jìn)一步將并行公差設(shè)計(jì)模型擴(kuò)展到考慮幾何公差要求。具體方法是：與位置特征相關(guān)的幾何公差可以轉(zhuǎn)換為等效尺寸公差；與形狀或方向特征相關(guān)的其他幾何公差被視作幾何約束，然后將等效尺寸公差或幾何約束集成到并行公差設(shè)計(jì)模型中，從而在該模型中考慮幾何公差要求。最后，利用非線性優(yōu)化技術(shù)，將期望質(zhì)量損失和制造成本之和最小化，同時(shí)得到優(yōu)化的設(shè)計(jì)和工序公差。下一步的研究將該模型擴(kuò)展到同時(shí)包含多個(gè)尺寸和幾何公差的復(fù)雜特征，以及含有幾何公差原則的公差并行分配問題等。