秦 雪

(重慶工程學院 通識學院，重慶 400056)

0 引言

Roesser[1]提出了著名的二維離散系統(tǒng)模型，用以研究線性圖像處理問題.到目前為止，已有許多學者對二維系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了廣泛的研究[2～5].值得注意的是，在整個系統(tǒng)中，模態(tài)被激活的概率有的很大有的很小，而那些不易被激活的模態(tài)對系統(tǒng)動態(tài)行為的影響非常小.因此，在研究這類系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題時有必要引入轉(zhuǎn)移概率.

1 模型介紹

考慮如下的二維離散切換系統(tǒng):

(1)

其中x(i,j)∈n是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，y(i,j)∈ny是測量輸出,u(i,j)∈nu是控制輸入.γ(i,j):+→{1,2,…,m}=Μ為分段常值函數(shù)，其中m>1表示模態(tài)的個數(shù).和Cγ(i,j)都是具有適當階數(shù)的常數(shù)矩陣.對時間序列ks,s∈+,有∞,系統(tǒng)的初值條件為+,且滿足等式和邊界條件

本文需要以下假設條件：

假設1 切換信號γ(i,j)只與i+j有關.當i+j=k時簡記γ(i,j)為γk.

若切換信號γk=p∈Μ,k∈[ks-1,ks),s∈+，則dp(s)∶=ks-ks-1<∞表示γk第s次切換到模態(tài)p時的駐留時間，它是隨機正變量，即E[dp(s)]=?p>0，且當p≠q時dp(s)與dq(s)相互獨立.記θpq為γk從模態(tài)p切換到模態(tài)q的轉(zhuǎn)移概率(TP)，即

θpq∶=Prob{γks+1=q|γks=p}.

假設2 轉(zhuǎn)移概率矩陣Θ∶=(θpq)m×m不可約.根據(jù)文獻[6]，此時Θ存在唯一的平穩(wěn)分布π=(π1,π2,…,πm),且它滿足

設計依模態(tài)的輸出反饋控制器如下：

u(i,j)=Kγ(i,j)Cγ(i,j)x(i,j),

(2)

其中Kγ(i,j)∈nu是控制增益.

將(2)代入系統(tǒng)(1),可得以下閉環(huán)系統(tǒng):

(3)

則稱系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的，其中ξT(k)=(xT(i,j+1)，xT(i+1,j)).

本文的目的是證明閉環(huán)系統(tǒng)(3)的漸近穩(wěn)定性.

2 主要結(jié)果

(4)

(5)

(6)

則系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的.

證明設i+j=k∈[ks-1,ks)?+,γ(i,j)=p∈Μ.構(gòu)造如下的Lyapunov泛函:

(7)

由式(7)可得

(8)

于是有

故有

當i+j=k∈[ks-1,ks)時，

(9)

對?i+j=k∈+,k∈[ks-1,ks),根據(jù)式(5)和式(9)可得

由條件(6)可得以下不等式：

3 數(shù)值模擬

令Μ={1，2，3}，考慮系統(tǒng)參數(shù)為

由圖1和圖2可見系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的.

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)中狀態(tài)x1(i,j)

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)中狀態(tài)x2(i,j)

4 小結(jié)

本文通過線性矩陣不等式給出了一個保證閉環(huán)系統(tǒng)(3)漸近穩(wěn)定的充分條件，然后通過數(shù)值模擬驗證了該結(jié)果.