靳晨萱，霍海峰，溫 鮮，徐 東

(1.廣西科技大學(xué) 理學(xué)院，廣西 柳州 541004;2.中國(guó)銀行股份有限公司 侯馬支行，山西 侯馬 043000)

0 引言

期權(quán)作為常見(jiàn)的金融衍生產(chǎn)品之一，在交易過(guò)程中可以給投資者帶來(lái)豐厚的利潤(rùn)，但也存在著潛在的經(jīng)濟(jì)危機(jī).因此，選擇合理的數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)期權(quán)價(jià)格對(duì)于投資者的風(fēng)險(xiǎn)控制至關(guān)重要.1973年Black和Scholes[1]建立Black-Scholes(B-S)模型以來(lái)，期權(quán)定價(jià)問(wèn)題得到了廣泛的研究，也為廣大投資者進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)控制提供了一些理論決策依據(jù).然而大量實(shí)證研究[2，3，4]表明，股票價(jià)格變動(dòng)具有長(zhǎng)程相關(guān)性等特點(diǎn)，這與經(jīng)典B-S模型中股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè)不相符.為了更貼近交易市場(chǎng)中股票價(jià)格的波動(dòng)趨勢(shì)，許多學(xué)者改進(jìn)了經(jīng)典B-S模型，建立了不少新模型，如基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)[5]、雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)[6]、混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)[7]等驅(qū)動(dòng)的定價(jià)模型.

近年來(lái)，Bojdecki等[8]提出的具有自相關(guān)性、長(zhǎng)記憶性等特點(diǎn)的次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)得到了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注.次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)作為布朗運(yùn)動(dòng)的進(jìn)一步擴(kuò)展，不僅能夠刻畫(huà)資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的長(zhǎng)程相關(guān)性質(zhì)，而且其增量是非平穩(wěn)的.Tudor[9]、Wang Zhi[10]、Yan等[11]分別圍繞次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)記憶性、隨機(jī)積分和It公式開(kāi)展研究，并基于次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)建立更貼合金融市場(chǎng)的期權(quán)定價(jià)模型.隨后，許多學(xué)者在此模型下開(kāi)展期權(quán)定價(jià)研究，例如，兩值期權(quán)[12]、亞式期權(quán)[13]、廣義交換期權(quán)[14]等研究.但是這些期權(quán)所采用的主要定價(jià)技術(shù)是偏微分方程方法，具體來(lái)說(shuō)，葉方琴[12]等利用變量代換和偏微分方程研究了兩值期權(quán)定價(jià)問(wèn)題；張亞芳[15]、肖煒麟等[16]、程志勇等[17]應(yīng)用偏微分方程方法建立歐式期權(quán)價(jià)格的顯示解.針對(duì)歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，不同于文獻(xiàn)[17]，本文基于次分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型，從理論推導(dǎo)采用概率方法和數(shù)值計(jì)算采用二叉樹(shù)法來(lái)對(duì)歐式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，使得期權(quán)定價(jià)的計(jì)算更加簡(jiǎn)捷有效.

本文針對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)滿足次分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型，研究無(wú)紅利支付的歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，首先，以次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)為基礎(chǔ)建立股票價(jià)格滿足的次分?jǐn)?shù)Black-Scholes 隨機(jī)微分方程.其次，利用次分?jǐn)?shù)伊藤公式求解得到股票價(jià)格變化滿足的關(guān)系式，進(jìn)而利用概率方法得到歐式看漲期權(quán)價(jià)格的顯示解.最后，以國(guó)電JTB1權(quán)證為例，估計(jì)模型參數(shù)，計(jì)算期權(quán)理論價(jià)格，并將計(jì)算結(jié)果與經(jīng)典B-S模型、二叉樹(shù)模型以及實(shí)際價(jià)格進(jìn)行比較，進(jìn)一步說(shuō)明次分?jǐn)?shù)B-S模型和二叉樹(shù)模型定價(jià)結(jié)果的合理性和有效性.

1 次分?jǐn)?shù) Black-Scholes 模型

1.1 預(yù)備知識(shí)

定義1 次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是Hurst指數(shù)為H(H∈(0,1))的連續(xù)高斯過(guò)程{ξH(t),t∈R}=0，其期望值E[ξH(t)]等于零，其協(xié)方差為

當(dāng)H=1/2時(shí)，次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).

定義2 設(shè)變量X(t)={X(t),t≥0}服從以下伊藤過(guò)程：

(1)

1.2 次分?jǐn)?shù) Black-Scholes 模型

考慮在一個(gè)無(wú)套利機(jī)會(huì)的完備市場(chǎng)中,標(biāo)的資產(chǎn)服從次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，則在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度Q下股票價(jià)格S滿足隨機(jī)微分方程

(2)

令a=μS,b=σS，則由式(1)可得t時(shí)刻股票價(jià)格

(3)

其中r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，σ為波動(dòng)率，St0為初始時(shí)刻t0的股票價(jià)格.

2 主要結(jié)果

下面以歐式看漲期權(quán)為例，利用概率方法推導(dǎo)得出其價(jià)格顯示解.

定理1 當(dāng)股票價(jià)格滿足次分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型(2)時(shí),無(wú)紅利支付的歐式看漲期權(quán)在t∈[0,T]時(shí)刻的價(jià)格為

C=StN(d1)-Ke-r(T-t)N(d2),

(4)

其中K為行權(quán)價(jià)格，T為到期日,N(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

證明由歐式看漲期權(quán)收益函數(shù)為(ST-K)+=max{ST-K,0}和概率法可知,在t∈[0,T]時(shí)歐式看漲期權(quán)價(jià)格為

C=e-r(T-t)EQ[(ST-K)+]=e-r(T-t)EQ[STI{ST≥K}]-e-r(T-t)EQ[KI{ST≥K}]=E1-E2.

(1)由公式(3)可得

其中，

(2)類(lèi)似地，由公式(3)可得

E2=e-r(T-t)EQ[KI{ST≥K}]=Ke-r(T-t)N(d2),

定理2 當(dāng)股票價(jià)格滿足次分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型(2)時(shí),無(wú)紅利支付的歐式看跌期權(quán)的到期執(zhí)行價(jià)格為

P=Ke-r(T-t)N(-d2)-StN(-d1),

其中d1,d2同定理1.

證明類(lèi)似于定理1可證.

3 數(shù)值分析

下面以2008年5月22日至2010年5月14日國(guó)電JTB1權(quán)證數(shù)據(jù)為例進(jìn)行實(shí)證分析(表1數(shù)據(jù)來(lái)源于國(guó)泰安數(shù)據(jù)庫(kù)).

表1 國(guó)電JTB1權(quán)證部分?jǐn)?shù)據(jù)

3.1 次分?jǐn)?shù)B-S模型參數(shù)估計(jì)

當(dāng)股票價(jià)格滿足次分?jǐn)?shù) Black-Scholes 模型(2)時(shí)，為了驗(yàn)證公式解(4)的可行性和有效性，首先結(jié)合實(shí)證數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，參考文獻(xiàn)[16]建立σ、H的如下估計(jì)：

(5)

(6)

其中h為觀測(cè)時(shí)間間隔，Y=(Yh,Y2h,…,YNh)'.

由圖1可看出，對(duì)比經(jīng)典B-S模型，次分?jǐn)?shù)B-S模型的期權(quán)價(jià)格模擬值更接近于實(shí)際價(jià)格.由表2統(tǒng)計(jì)結(jié)果可知，對(duì)比經(jīng)典B-S模型，次分?jǐn)?shù)B-S模型的期權(quán)價(jià)格均值、最小值與實(shí)際期權(quán)價(jià)格較為接近，且其標(biāo)準(zhǔn)差比實(shí)際價(jià)格更小，說(shuō)明次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的歐式期權(quán)定價(jià)具有很好的參考意義.

圖1 B-S模型計(jì)算結(jié)果與真實(shí)價(jià)格走勢(shì)比較圖

表2 股票價(jià)格描述性統(tǒng)計(jì)

3.2 二叉樹(shù)模型計(jì)算模擬

er(2-22H-1)t2H=pu+(1-p)d,σ2(2-22H-1)t2H=pu2+(1-p)d2-[pu+(1-p)d]2,

利用u、d、p三個(gè)參數(shù)值可以模擬出單步二叉樹(shù)的期權(quán)價(jià)格，并與次分?jǐn)?shù)B-S模型的期權(quán)價(jià)格和實(shí)際價(jià)格進(jìn)行比較，如圖2.

由圖2知，二叉樹(shù)模型的模擬價(jià)格與實(shí)際價(jià)格波動(dòng)大致相符，次分?jǐn)?shù)B-S模型計(jì)算的期權(quán)價(jià)格比二叉樹(shù)模型的期權(quán)價(jià)格高，且其計(jì)算結(jié)果更加接近實(shí)際價(jià)格.

圖2 二叉樹(shù)模型計(jì)算價(jià)格與實(shí)際價(jià)格走勢(shì)比較圖

3.3 誤差分析

令Pi和Qi分別為模型的計(jì)算值和實(shí)際值，使用相對(duì)誤差來(lái)精確分析不同定價(jià)模型的誤差.

Rel_error=|(Qi-Pi)/Qi|.

進(jìn)一步，計(jì)算當(dāng)T=1/2、T=1/4、T=3/4時(shí)不同模型期權(quán)價(jià)格以及相對(duì)誤差，如表3所示.

表3 不同模型的誤差分析表

表3分別比較不同有效期內(nèi)，經(jīng)典B-S模型、次分?jǐn)?shù)B-S模型、二叉樹(shù)模型與實(shí)際價(jià)格的平均相對(duì)誤差.誤差分析表明:次分?jǐn)?shù)B-S模型的計(jì)算結(jié)果更加接近實(shí)際價(jià)格，其次為二叉樹(shù)法模型，最后為經(jīng)典B-S模型.這表明基于次分?jǐn)?shù)B-S模型描繪期權(quán)價(jià)格變化趨勢(shì)更加貼近真實(shí)的金融市場(chǎng)情況，更具實(shí)際價(jià)值.

4 結(jié)論

選擇合理的期權(quán)定價(jià)模型預(yù)測(cè)期權(quán)價(jià)格是決策者進(jìn)行期權(quán)交易時(shí)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的重要手段.為解決經(jīng)典B-S模型與實(shí)際金融市場(chǎng)不相符的嚴(yán)格假設(shè)問(wèn)題，本文采用具有長(zhǎng)程相關(guān)性的次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股票價(jià)格變動(dòng)，討論次分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型下歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，并結(jié)合次分?jǐn)?shù)伊藤公式以及概率方法計(jì)算歐式看漲期權(quán)價(jià)格的顯示解.最后，以國(guó)電JTB1權(quán)證數(shù)據(jù)為例，計(jì)算理論模型的期權(quán)價(jià)格，并分別與經(jīng)典B-S模型、二叉樹(shù)模型與實(shí)際價(jià)格進(jìn)行比較，驗(yàn)證模型的有效性和可行性，結(jié)果表明：基于次分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型能更準(zhǔn)確反映股票價(jià)格變動(dòng)情況，有助于期權(quán)持有者在交易市場(chǎng)中更加有效地進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)控制.