管訓(xùn)貴

(泰州學院 數(shù)理學院，江蘇 泰州 225300)

0 引言及主要結(jié)論

設(shè)Z,N*,P分別表示整數(shù)集、正整數(shù)集和奇素數(shù)集.熟知，方程

x4-q4=pys，x,y∈N*，p,q,s∈P，gcd(x,y)=1

(1)

是一類基本而又重要的丟番圖方程,由于它與著名的廣義Fermat方程有關(guān)(見文[1-4]),因此判別(1)是否有解,是一個非常困難的問題,目前僅有一些零散的結(jié)果.

2010年,Luca和Togbé[6]運用橢圓曲線整數(shù)點的存在性證明了:s=3時,方程(1)沒有解.

2013年,劉艷艷[7]運用Lucas數(shù)的算術(shù)性質(zhì)證明了:如果s>3且p≡3(mod 4),則(1)沒有解(x,y,s)適合2?y.

本文運用同余理論和代數(shù)數(shù)論的有關(guān)結(jié)論證明了如下定理.

定理1 設(shè)p,q均為奇素數(shù)，且p≡3(mod 4)，則丟番圖方程

x4-q4=py5，x,y∈N*，gcd(x,y)=1

(2)

此定理改進了文[5]中的結(jié)論.

1 若干引理

引理1[8]設(shè)M是唯一分解整環(huán)，2≤k∈Z，α,β∈M，gcd(α,β)=1.若αβ=γk，γ∈M，則

α=ε1μk，β=ε2νk，μ,ν∈M，

這里ε1,ε2是M中的單位元素，并且ε1ε2=εk，ε也是M中的單位元素.

引理2[9]設(shè)p是一個奇素數(shù)，則方程x4-py2=1除p=5,x=3,y=4和p=29,x=99,y=1820外，無其他的正整數(shù)解.

引理3[7]若s>3且p≡3(mod 4),則(1)沒有解(x,y,s)適合2?y.

2 定理的證明

設(shè)(x,y)是(1)的一組解.若p=q，則q|x，進而q3|y5，從而q|y，與gcd(x,y)=1矛盾，故p≠q.

由p≡3(mod 4)知p?(x2+q2).于是p|(x+q)或p|(x-q)，且gcd(x,q)=1.

情形Ⅰ2?x

此時2‖(x2+q2)且x-q,x+q中必有一個模4余2，故由式(1)可得

x+q=8pw5，x-q=2u5，x2+q2=2v5，

(3)

或

x-q=8pw5，x+q=2u5，x2+q2=2v5，

(4)

這里u,v,w兩兩互素，y=2wuv.

根據(jù)引理1，在Z[i]中，(3)或(4)的第三個方程可寫成

(x+qi)(x-qi)=i(1-i)2v5.

(5)

設(shè)δ=gcd(x+qi,x-qi)，則δ|gcd(2x,2qi)=2，即δ可能取值1，1-i，2.若δ=1，則i(1-i)2=2一定只能整除x+qi或x-qi中的一個，但這是不可能的；同樣δ=2也不可能.所以必有δ=1-i.由此及式(5)得

故有

x+qi=(1+i)(a+bi)5，a,b∈Z，

即

x=(a-b)[(a-b)4-20a2b2]，

(6)

q=(a+b)[(a+b)4-20a2b2].

赫施在《解釋的有效性》中說：“沒有人能夠確定地重建別人的意思，解釋者的目標不過是證明某一特定的讀解比另一種讀解更為可能罷了。在闡釋學中，證明即是去建立種種相對可能性的過程?！?/p>

(7)

由q為素數(shù)及式(7)知，(a+b)4-20a2b2=±1或a+b=±1.

當(a+b)4-20a2b2=±1時，q=±(a+b).對(a+b)4-20a2b2=-1兩邊取模4知(a+b)4≡-1(mod 4)，這不可能.因此(a+b)4-20a2b2=1，q=a+b>0.根據(jù)引理2，方程X4-20Y2=1即X4-5(2Y)2=1僅有整數(shù)解(X,Y)=(±1,0)和(±3,±2)，所以

解之得(a,b)=(2,1)或(1,2).從而q=3，x=79.但794-34=24·55·19·41,不合題意，故此時(1)沒有解.

當a+b=±1時，q=±(1-20a2b2).考慮到對于q>1，有a+b=-1，即b=-a-1,所以

q=20a2b2-1=20a2(a+1)2-1=20a4+40a3+20a2-1，

(8)

x=(2a+1)[(2a+1)4-20a2(a+1)2]=-8a5-20a4+20a2+10a+1.

(9)

由式(9)可得x=-4a4(2a+5)+10a(2a+1)+1.因為x>0，故有a≤-3或0≤a≤1.又當a=0時，q=-1，不合題意；當a=1時，q=79，此時x=3，但34-794=-24·55·19·41,也不合題意，所以只能有a≤-3.

令a=-m，則式(8)、式(9)成為

q=20m2(m-1)2-1=20m4-40m3+20m2-1，

(10)

x=8m5-20m4+20m2-10m+1,

(11)

這里3≤m∈Z.

(12)

但當m≥3時，可推出式(12)不成立.因此q

情形Ⅱ2|x

此時2?y.根據(jù)引理3，在此情形時方程(1)沒有解.

定理得證.

說明:對于一般情形，若p≡3(mod 4)，2|y,則有

x+ηq=2us，x2+q2=2vs，η∈{±1}， gcd(u,v)=1.

(13)

將(13)的前兩式相乘得

(x+ηq)(x2+q2)=4(uv)s.

(14)

令X=ηx/q，Y=ηuv/q，則式(14)成為

(X+1)(X2+1)=4Ys.

(15)

因此，(1)是否有解最終歸結(jié)為超橢圓曲線(15)是否有有理解.