邱言貴

[摘 要]幾何直觀能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)知識通過直觀的圖形形象地表現(xiàn)出來，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡潔明了。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以遵循一定的技巧和原則繪圖，借用幾何直觀讓學(xué)生的思維更加清晰。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué);直觀教學(xué);問題直白

[中圖分類號] G623.5[文獻標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）29-0090-02

對于小學(xué)生來說，數(shù)學(xué)知識抽象，難以理解，學(xué)習(xí)難度較大。那么，其中抽象的知識、定理、問題，能否以一種較為直觀的方式展現(xiàn)在學(xué)生的眼前呢？答案是“能?！苯處熆梢越柚庇^教學(xué)，運用直觀圖幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識。

一、借助直觀圖，化抽象為具體

對于小學(xué)低學(xué)段的“數(shù)的認(rèn)識”以及“加減法”等內(nèi)容，教材上都配有一些直觀的圖形，目的是讓知識變得更加直觀明了。由此可見，直觀圖能在學(xué)生學(xué)習(xí)時發(fā)揮很大的作用。在處理一些抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生也可以借助直觀圖把題目中抽象的數(shù)量關(guān)系直觀化，實現(xiàn)從“抽象”到“具體”的轉(zhuǎn)化。值得注意的是，在講解例題時，教師展示直觀圖后應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生對比直觀圖和題目，引發(fā)學(xué)生思考。

【案例1】教師帶領(lǐng)學(xué)生探究問題“兩個自然數(shù)a、b相乘，如果a增加3或者b增加5，a、b兩數(shù)的乘積都比原來增加了60，那么a、b兩數(shù)的乘積是多少？”

生1：要算a、b兩數(shù)的乘積，是不是應(yīng)該先分別求出a、b的具體值？

生2：現(xiàn)在知道a的增加量和b的增加量以及它們增加后對應(yīng)的乘積的增加量，a的增加量乘上b的增加量是不是就是乘積的增加量？可是也不對啊，3×5=15，并不等于60。

（教師借助三個直觀圖來幫助學(xué)生讀懂題目）

師：我們以圖1的長方形的面積來表示自然數(shù)a和b的乘積。如果a增加3，就會得到圖2。如果b增加5，就會得到圖3。同學(xué)們對這三個圖形有什么解釋或者疑惑嗎？

生3：可以看出，圖中空白部分的面積就是a、b兩數(shù)的乘積，而陰影部分的面積就是乘積的增加量，而且圖2和圖3中陰影部分的面積相等。如果a增加了3，b也增加了5，增加部分又會是什么樣的呢？

師：這個問題問得非常好，同學(xué)們可以嘗試畫出這種情況下的圖形。

生4：我畫了一個圖，如圖4所示，空白部分的面積還是a、b兩數(shù)的乘積。如果a增加了3，b也增加了5，那么就會得到三個陰影部分，其中完全涂黑的部分的面積就是剛剛計算出的3×5=15。而剩下兩個陰影部分的面積就是題目中所說的兩種情況增加的面積。

師：這位同學(xué)幫助我們找到了剛剛的思維誤區(qū)。現(xiàn)在同學(xué)們找到這一道題的解決辦法了嗎？

生5：對于圖3，已知陰影部分的面積和陰影部分的寬，可以求出陰影部分的長，也就是a為60÷5=12。再來看圖2，已知陰影部分的面積和它的寬，也可以求出它的長，也就是b為60÷3=20。那么，a、b兩數(shù)的乘積就是12×20=240。

生6：雖然只用了三個式子，但是這三個式子得來不易??！

師：生5的解題過程完全正確。如果今后題干發(fā)生了變化，在a增加3的同時b也增加了5，我們就可以觀察圖4來解決數(shù)學(xué)問題。

未知數(shù)會把問題抽象化，使整個數(shù)學(xué)問題看起來異常神秘。因此出題人經(jīng)常會在命題時使用未知數(shù)。而學(xué)生借助直觀圖，可以清楚地看到題目中蘊藏的數(shù)量關(guān)系，讓問題變得具體、直觀。沒有畫圖之前，學(xué)生連題目都讀不懂，而畫圖之后，學(xué)生不僅能讀懂題，還找到了解題方法，甚至還分析了題目的變式問題。

二、借助直觀圖，化深奧為具體

小學(xué)生的直觀思維比較發(fā)達，抽象思維還有待發(fā)展。在和數(shù)學(xué)打交道的過程中，學(xué)生會經(jīng)常接觸一些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，有些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法過于深奧，學(xué)生理解得不透徹，不會運用。教師借用直觀圖就可以使這些深奧的數(shù)學(xué)道理變得具體，讓學(xué)生在看圖時“一看就懂”，從而理解解題步驟或數(shù)學(xué)內(nèi)容。

【案例2】教師帶領(lǐng)學(xué)生探究問題“烏龜和鶴總共有9個頭、28條腿，那么烏龜和鶴各有多少只呢？”

師：我們還是用假設(shè)法來解決這個問題。假設(shè)這9只動物都是鶴，那么總共有9×12=18（條）腿。實際上一共有28條腿，假設(shè)的比實際的少了28-18=10（條）腿。1只烏龜比1只鶴多2條腿。那么烏龜?shù)臄?shù)量是10÷2=5（只），鶴的數(shù)量是9-5=4（只）。

生1：為什么要假設(shè)動物都是鶴呢？可不可以假設(shè)動物全部都是烏龜呢？

生2：為什么還要算多出來的腿的數(shù)量？根據(jù)多出來的腿的數(shù)量怎么就能推出另一種動物的數(shù)量呢？

生3：感覺步驟好多，不僅要假設(shè)，還要計算、對比，記起來很麻煩。

（大部分學(xué)生對這一方法都持懷疑的態(tài)度，為了讓學(xué)生更好地理解這種方法的內(nèi)涵和步驟，教師畫了三個圖來幫助學(xué)生理解）

師：首先，我們假設(shè)這9只動物都是鶴。先把它們的頭畫出來，用9個圓圈表示，如圖5所示。已知1只鶴有2條腿，我們就給動物添上2條腿，如圖6所示。一起來數(shù)一數(shù)，總共有多少條腿呢？總共有18條腿，可是題目說有28條腿，還有10條腿在哪？這10條腿是烏龜比鶴多的腿，說明這9只動物不都是鶴。1只烏龜比1只鶴多了2條腿。把這些多的腿數(shù)加上去，就可以得到烏龜?shù)臄?shù)量了。先給第1只動物加2條腿，再給第2只動物加2條腿。已經(jīng)加上了4條腿，總共要加10條腿，一直加下去直到加完。如圖7所示，很明顯，烏龜?shù)臄?shù)量是5，鶴的數(shù)量是4。一起數(shù)一數(shù)它們的頭數(shù)和尾數(shù)，看看是否滿足題目的條件。

雞兔同籠問題有兩種常用的解法，一種是假設(shè)法，一種是列方程法。方程思想在小學(xué)階段引入得較晚，大部分學(xué)生偏向于使用假設(shè)法來解決問題。但是假設(shè)法的步驟比較多，且內(nèi)容理解起來比較困難。在學(xué)生練習(xí)時，教師在旁邊觀察，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都是先畫圖再計算。教師邀請學(xué)生講解自己的解題思路時，他們也都是邊看圖形邊講解。學(xué)生離不開圖形，愛上了圖形。慢慢地，學(xué)生掌握了假設(shè)法的精髓，不再依賴畫圖了。直觀圖是良好的學(xué)習(xí)工具和教學(xué)工具，恰當(dāng)、準(zhǔn)確地使用它，便能收獲化深奧為淺顯的效果。

三、借助直觀圖，化復(fù)雜為簡便

學(xué)生手上有了圖，面對復(fù)雜的問題就有了思路。

【案例3】教師帶領(lǐng)學(xué)生探究問題“爸爸今年43歲，兒子今年11歲，幾年后爸爸的年齡是兒子的3倍？”

師：有沒有同學(xué)自告奮勇，解決一下這道題？

生1：因為每過1年，兒子就會長大1歲，爸爸也會長大1歲，所以兒子和爸爸之間的年齡差沒有變化。首先我們可以求出兒子和爸爸的年齡差為43-11=32（歲）。幾年后，爸爸的年齡是兒子的3倍，爸爸的年齡比兒子的年齡多出了2倍，32÷2=16。因此爸爸的年齡是16×3=48（歲），過了48-43=5（年）。

師：解答正確。可是老師覺得你的思維有點跳躍。你能不能通過其他方式讓我們了解你的解題思路呢？

生1：我在解題的時候畫了一個線段圖（如圖8）。

[年齡差][兒子：

爸爸：] [ ][ ]

圖8

師：我們通常把這類問題叫作“年齡問題”或者“倍數(shù)問題”。我們來看一道更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)題。爸爸今年的年齡是兒子的4倍，3年前爸爸和兒子的年齡和是39歲。爸爸和兒子今年各多少歲？

生2：我也畫出了一個線段圖來解決這道問題（如圖9）。3年前兒子和爸爸的年齡和是39歲，經(jīng)過3年，爸爸和兒子都增長了3歲?，F(xiàn)在爸爸和兒子的年齡和是39+3×2=45（歲）?？淳€段圖，兒子今年45÷（4+1）=9（歲），爸爸今年4×9=36（歲）。

生3：老師，你這個線段圖畫得不太好，只表明兒子和爸爸的年齡都增長了3歲，看不出來兒子和爸爸的年齡之間的具體關(guān)系。比如，沒有體現(xiàn)題目中的“4倍”。

生4：看來以后在畫這類線段圖時要表現(xiàn)出兒子和爸爸的年齡的倍數(shù)關(guān)系。

復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，如果能畫出線段圖，往往能把問題簡化，這便是直觀圖的魅力所在。年齡問題是小學(xué)數(shù)學(xué)的必考題型，出題人在出題時經(jīng)常選擇這類問題來訓(xùn)練和考查小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。問題可以出得很簡單，也可以出得很復(fù)雜，但如果學(xué)生掌握了線段圖的畫圖技巧，也就不用擔(dān)心了。

（責(zé)編 楊偲培）