周振華，傅逸軒，杜榮華

(1.長沙理工大學(xué)汽車與機(jī)械工程學(xué)院，湖南長沙 410114;2.機(jī)械裝備高性能智能制造關(guān)鍵技術(shù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南長沙 410114;3.工程車輛輕量化與可靠性技術(shù)湖南省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南長沙 410114 )

0 引言

在超精密減振、橋梁檢測和地震學(xué)等領(lǐng)域中，對(duì)于超低頻振動(dòng)信號(hào)的檢測一直受到高度重視[1]。如何有效地檢測到超低頻振動(dòng)信號(hào)已成為了超精密減振技術(shù)的核心之一，例如天棚阻尼隔振控制方法需要精確地檢測振動(dòng)速度信號(hào)以進(jìn)行反饋控制[2]，同時(shí)在地質(zhì)勘探和地震學(xué)中，精確地檢測到超低頻振動(dòng)信號(hào)有利于掃描地質(zhì)結(jié)構(gòu)[3]。目前超低頻振動(dòng)信號(hào)的檢測主要采用磁電式速度傳感器，由于其頻響特性為典型的高通特性，同時(shí)受其機(jī)械結(jié)構(gòu)剛度和共振質(zhì)量、體積的制約，無法實(shí)現(xiàn)對(duì)超低頻振動(dòng)信號(hào)的檢測[4]，因此如何降低速度傳感器的下限測量頻率是關(guān)鍵。

近年來，由于負(fù)剛度能夠降低系統(tǒng)剛度，因此在低頻超低頻減振領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。李爽等提出雙環(huán)永磁體負(fù)剛度結(jié)構(gòu)，以降低隔振器的固有頻率[11]。N. Zhou等設(shè)計(jì)一種永磁體和電磁鐵組成可調(diào)負(fù)剛度結(jié)構(gòu)，用于被動(dòng)和半主動(dòng)隔振[12]。高雙等開發(fā)一種歐拉屈服梁負(fù)剛度結(jié)構(gòu)的隔振器，分析了激勵(lì)幅值、阻尼等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)傳遞率的影響[13]。劉興天等提出一種歐拉屈服梁負(fù)剛度結(jié)構(gòu)的隔振器，分析了激勵(lì)幅值和載荷對(duì)隔振器性能影響[14]。A. Carrella通過一對(duì)斜彈簧設(shè)計(jì)了負(fù)剛度結(jié)構(gòu)，主要討論了負(fù)剛度隔振器的非線性特性[15]。然而現(xiàn)有的負(fù)剛度結(jié)構(gòu)在工作點(diǎn)附近表現(xiàn)出強(qiáng)烈非線性特性[16]。何劍鋒等運(yùn)用4個(gè)水平彈簧設(shè)計(jì)一種準(zhǔn)零剛度絕對(duì)位移傳感器，并運(yùn)用在Stewart微動(dòng)隔振平臺(tái)上[17]。負(fù)剛度一方面能夠降低結(jié)構(gòu)整體剛度，但另一方面也引入非線性項(xiàng)[18]。顯然，運(yùn)用現(xiàn)有的負(fù)剛度機(jī)構(gòu)來降低速度傳感器的下限頻率會(huì)導(dǎo)致傳感器響應(yīng)出現(xiàn)非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性，無法滿足精確測量的要求。顯然，為了降低傳感器測量下限，滿足測量要求，負(fù)剛度元件在工作點(diǎn)附近需要擁有線性負(fù)剛度特性，并且其負(fù)剛度值能與正剛度元件匹配。

因此，為了實(shí)現(xiàn)速度傳感器的低頻擴(kuò)展，結(jié)合速度傳感器低頻擴(kuò)展對(duì)線性負(fù)剛度特性的要求，本文提出一種基于負(fù)剛度磁彈簧的超低頻速度傳感器，通過等效磁荷法建立負(fù)剛度磁彈簧的磁力與剛度模型，分析了負(fù)剛度磁彈簧的幾何參數(shù)對(duì)其負(fù)剛度特性影響規(guī)律；并進(jìn)一步通過數(shù)值方法分析了所提出的速度傳感器的頻響特性。

1 傳感器的結(jié)構(gòu)與參數(shù)

超低頻速度傳感器的結(jié)構(gòu)如圖1所示，由測量系統(tǒng)和振動(dòng)系統(tǒng)構(gòu)成，測量系統(tǒng)由測量磁環(huán)和線圈組成；振動(dòng)系統(tǒng)由負(fù)剛度磁彈簧、正剛度彈簧和片簧組成。負(fù)剛度磁彈簧由雙環(huán)永磁體PM1和雙環(huán)永磁體PM2并聯(lián)組成，而PM1和PM2都由內(nèi)磁環(huán)和外磁環(huán)同軸配置構(gòu)成，并且PM1和PM2之間保持等距離安裝，保證PM1和PM2的磁場互不干擾。PM1和PM2的內(nèi)磁環(huán)都固定安裝在中心桿上，外磁環(huán)固定安裝在外殼上。負(fù)剛度磁彈簧提供負(fù)剛度；正剛度彈簧一端連接中心桿底部，一端連接外殼，并為系統(tǒng)提供正剛度；片簧約束中心桿沿著Z軸方向振動(dòng)。當(dāng)中心桿沿軸向振動(dòng)時(shí)，測量磁環(huán)與永磁體會(huì)產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，線圈切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，將線圈和磁環(huán)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度信號(hào)轉(zhuǎn)換為與速度成比例的電壓信號(hào)，從而實(shí)現(xiàn)速度信號(hào)測量。

h11′=za+b-h
h12′=za+b+h
h21′=za-b-h
h22′=za-b+h

(1)

永磁體磁極化強(qiáng)度為

(2)

2 負(fù)剛度特性建模

根據(jù)等效磁荷法，內(nèi)磁環(huán)與外磁環(huán)之間的軸向磁力為內(nèi)外磁環(huán)4個(gè)表面1、2、1′、2′上磁荷的相互作用力疊加而成[19]，因此軸向磁力FZ為

FZ=F12′+F21′-F11′-F22′

(3)

根據(jù)式(1)和式(2)，將在內(nèi)磁環(huán)表面i和外磁環(huán)表面j之間的軸向磁力可以定義為

r1r2dr1dr2dθ1dθ2

(4)

其中a(hij)為

(5)

式中：J1為外磁環(huán)提供的表面磁極密度；J2為內(nèi)磁環(huán)提供表面磁極密度。

通過式(4)，對(duì)內(nèi)磁環(huán)和外磁環(huán)之間的相對(duì)距離za進(jìn)行求導(dǎo)，內(nèi)外磁環(huán)之間剛度Kz為

(6)

基于文獻(xiàn)[20]，永磁體剛度為

(7)

f=f(h11′)-f(h21′)+f(h22′)-f(h12′)

(8)

其中

(9)

因此，負(fù)剛度磁彈簧剛度Km表達(dá)式為

(10)

式中：Kz1為雙環(huán)永磁體PM1的剛度；Kz2為雙環(huán)永磁體PM2的剛度。

在平衡位置附近，永磁體之間的磁力和剛度分別使用三次多項(xiàng)式和二次多項(xiàng)式近似擬合[16]：

(11)

(12)

式中：p為常數(shù)項(xiàng)系數(shù)；k為二次項(xiàng)系數(shù)。

p用于表示負(fù)剛度的強(qiáng)度或線性分量，k用于表示負(fù)剛度的非線性分量。因此，負(fù)剛度磁彈簧的剛度表示為

(13)

(14)

為了定量描述負(fù)剛度磁彈簧的非線性度，定義負(fù)剛度磁彈簧的剛度與線性分量的最大偏差和線性分量的百分比為非線性度δ，則δ表示為：

(15)

3 永磁體參數(shù)對(duì)負(fù)剛度特性的影響規(guī)律

基于速度傳感器要求的線性負(fù)剛度幅值和期望的線性負(fù)剛度位移區(qū)間，因此，首先確定線性負(fù)剛度的位移區(qū)間為za=±5 mm，進(jìn)一步分析軸向高度差、氣隙寬度和氣隙位置等參數(shù)對(duì)負(fù)剛度磁彈簧負(fù)剛度特性的影響規(guī)律。其中，負(fù)剛度磁彈簧的幾何參數(shù)如表1所示。

表1 負(fù)剛度磁彈簧的幾何參數(shù)

3.1 軸向高度差對(duì)負(fù)剛度特性的影響規(guī)律

結(jié)合式(14)可知，當(dāng)非線性分量k1+k2足夠小時(shí)，負(fù)剛度磁彈簧的剛度非線性分量可以忽略。同時(shí)，負(fù)剛度磁彈簧結(jié)構(gòu)中的單個(gè)雙環(huán)永磁體的軸向高度差會(huì)影響非線性分量的正負(fù)取值[16]。因此，通過高度差φc和高度差φv的調(diào)整可以使得非線性分量k1+k2足夠小，從而實(shí)現(xiàn)線性負(fù)剛度特性。當(dāng)高度差的取值范圍為φ=6～20 mm時(shí)，以非線性分量最小為目標(biāo)的高度差φc和高度差φv的匹配規(guī)律如圖2(a)所示，其擬合方程為

φv=10.114 96(φc-8.923 45)-0.102 16

(16)

根據(jù)式(16)可知，隨著雙環(huán)永磁體PM1高度差φc的增大，所匹配到的雙環(huán)永磁體PM2高度差φv反而減小。基于以上高度差匹配規(guī)律，所得到的匹配負(fù)剛度磁彈簧的負(fù)剛度幅值和非線性度如圖2(b)所示，隨著高度差φc增大，負(fù)剛度幅值增大，非線性度相應(yīng)增強(qiáng)；當(dāng)高度差φc為10 mm時(shí)，負(fù)剛度幅值出現(xiàn)峰值，同時(shí)非線性達(dá)到最大；進(jìn)一步增大高度差，負(fù)剛度幅值減小，非線性度相應(yīng)減弱。結(jié)果表明：對(duì)于不同高度差匹配下的負(fù)剛度磁彈簧，其負(fù)剛度呈現(xiàn)出了不同特性，因此可以通過調(diào)整負(fù)剛度磁彈簧的高度差φc來匹配的高度差φv，并獲得所需要負(fù)剛度幅值和非線性度。

3.2 氣隙寬度對(duì)負(fù)剛度特性的影響規(guī)律

當(dāng)氣隙寬度d的取值范圍為2～10 mm，負(fù)剛度特性隨著氣隙寬度的變化規(guī)律如圖3所示。從圖3(a)中可知，不同氣隙寬度下，匹配曲線變化趨勢相同，但隨著氣隙寬度增加，匹配曲線向右上方偏移，匹配區(qū)間相應(yīng)增大。進(jìn)一步研究不同氣隙寬度下負(fù)剛度磁彈簧的負(fù)剛度特性的變化規(guī)律，具體結(jié)果如圖3(b)和圖3(c)所示。由圖3(b)和圖3(c)可知，氣隙寬度對(duì)負(fù)剛度幅值和非線性度影響較大，非線性度整體隨著氣隙寬度增加而減弱，但負(fù)剛度幅值整體減小；同時(shí)，氣隙寬度增大還會(huì)使負(fù)剛度幅值和非線性度的峰值減弱，曲線更為平緩?；谝陨戏治?，為了獲得負(fù)剛度磁彈簧的線性剛度特性，可以通過增加氣隙寬度來實(shí)現(xiàn)，但增加氣隙寬度又會(huì)導(dǎo)致負(fù)剛度幅值減小。因此在設(shè)計(jì)中需要綜合兩者考慮，在保證負(fù)剛度磁彈簧的負(fù)剛度值大小同時(shí)盡可能具有較小的非線性。

3.3 氣隙位置對(duì)負(fù)剛度磁彈簧的影響規(guī)律

當(dāng)氣隙位置ρ的變化范圍為11～16 mm時(shí),高度差匹配規(guī)律、匹配后負(fù)剛度磁彈簧的負(fù)剛度幅值和非線性度分別如圖4、圖5、圖6所示。從圖4可知，在不同氣隙寬度下，并隨著氣隙位置改變，匹配曲線變化趨勢相同，但隨著氣隙位置增加，匹配曲線同時(shí)也表現(xiàn)出向右上方偏移；當(dāng)氣隙位置增大到15 mm時(shí)，匹配曲線不再發(fā)生偏移；進(jìn)一步增大氣隙位置，匹配曲線出現(xiàn)重疊，氣隙寬度對(duì)匹配規(guī)律基本沒有影響。

圖5中，在不同氣隙寬度下，隨著氣隙位置增大，負(fù)剛度幅值整體增大；在圖5(a)中，當(dāng)氣隙寬度為4 mm，隨著氣隙位置增大到16 mm，負(fù)剛度幅值增大為-28～-26 kN/m之間；而在圖5(d)中，當(dāng)氣隙寬度為10 mm，隨著氣隙位置減小為11 mm，負(fù)剛度幅值最小為-1.5～-1 kN/m之間；另外隨著氣隙位置增加，負(fù)剛度幅值曲線峰值增大。因此，對(duì)于負(fù)剛度磁彈簧的負(fù)剛度幅值的設(shè)計(jì)，可以通過增大氣隙位置獲得更大負(fù)剛度幅值，同時(shí)改變氣隙位置也能夠細(xì)化負(fù)剛度幅值取值區(qū)間，顯然這就更適用于與正剛度彈簧匹配。

進(jìn)一步分析不同氣隙位置下非線性度的變化規(guī)律。具體結(jié)果如圖6所示，在圖6(a)中，隨著氣隙位置增加，非線性度從5.4%減小到2.7%；而在圖6(c)中，隨著氣隙位置增加，非線性度從1%減小到0.6%；同時(shí)，隨著氣隙位置增加，非線性度的峰值改變并不明顯。因此，在考慮到速度傳感器對(duì)于線性負(fù)剛度的要求，顯然更大的氣隙位置更容易滿足線性負(fù)剛度的要求。

為了滿足速度傳感器的低頻擴(kuò)展，負(fù)剛度特性在工作點(diǎn)附近應(yīng)滿足：與正剛度彈簧匹配的負(fù)剛度幅值，以保證系統(tǒng)低固有頻率；保持盡可能小的非線性度，從而獲得線性負(fù)剛度特性?；谝陨戏治?，因此在負(fù)剛度磁彈簧設(shè)計(jì)中，可通過增大氣隙寬度降低非線性度。雖然增大氣隙寬度會(huì)導(dǎo)致負(fù)剛度幅值偏小，但可以進(jìn)一步通過增大氣隙位置來獲得更大負(fù)剛度幅值并更小非線性度，從而獲得速度傳感器的低頻擴(kuò)展所需的線性負(fù)剛度特性。

4 傳感器幾何參數(shù)設(shè)計(jì)與性能分析

4.1 傳感器幾何參數(shù)設(shè)計(jì)

通過選配正剛度彈簧為DIN 2098圓筒形壓縮螺旋彈簧，確定正剛度值為k=1 029 N/m，并結(jié)合3節(jié)的分析結(jié)果和速度傳感器對(duì)于負(fù)剛度線性特性和線性范圍的要求，確定傳感器的幾何參數(shù)設(shè)計(jì)流程如下： 首先根據(jù)傳感器結(jié)構(gòu)裝配和線性負(fù)剛度的要求，確定負(fù)剛度磁彈簧最小內(nèi)磁環(huán)內(nèi)半徑為5 mm、最大外磁環(huán)外半徑為35 mm、氣隙寬度為10 mm，并選取氣隙位置為14 mm、高度差φc=10.8 mm、φv=36.2 mm，保證了最大非線性度要小于1.5%，根據(jù)上述參數(shù)得到負(fù)剛度磁彈簧剛度曲線α。然后通過減小氣隙位置到11 mm，進(jìn)而調(diào)整負(fù)剛度幅值，并保持較小非線性度,得到負(fù)剛度磁彈簧剛度曲線β；最后通過適當(dāng)?shù)卣{(diào)整高度差φc為22 mm，進(jìn)一步減小非線性度和精確地獲得需要的負(fù)剛度幅值，并匹配得出φv=34 mm，得出負(fù)剛度磁彈簧剛度曲線γ。

根據(jù)上述流程對(duì)負(fù)剛度磁彈簧進(jìn)行設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)結(jié)果如圖7所示。由圖7可知，通過曲線α、曲線β、曲線γ的設(shè)計(jì)流程之后，曲線γ滿足了非線性度低、正負(fù)剛度值匹配良好、線性位移區(qū)間大的要求，適用于速度傳感器所需的線性負(fù)剛度特性。

基于以上設(shè)計(jì)，確定的負(fù)剛度磁彈簧的幾何參數(shù)如表2所示。

表2 負(fù)剛度磁彈簧的幾何參數(shù)確定值

基于表2參數(shù)，圖8為雙環(huán)永磁體PM1、雙環(huán)永磁體PM2和負(fù)剛度磁彈簧的負(fù)剛度曲線。PM1的非線性度為5.38%，剛度為-313.21 N/m；PM2的非線性度為3.56%，剛度為-709.61 N/m；由PM1和PM2匹配的負(fù)剛度磁彈簧的負(fù)剛度增大為-1 022.82 N/m，非線性度減小為0.85%。基于式(13)和式(14),負(fù)剛度磁彈簧的擬合磁力Fm和剛度Km為：

(17)

(18)

4.2 傳感器性能分析

定義x0為被測物體的位移，x為系統(tǒng)質(zhì)量塊的位移，相對(duì)位移y=x-x0=za，其中G1表示基于負(fù)剛度磁彈簧的速度傳感器，G2表示基于理想線性負(fù)剛度磁彈簧的速度傳感器。結(jié)合式(18)，傳感器G1系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如下：

(19)

式中：m為等效質(zhì)量；c為等效阻尼；L為線圈電感；R為外部負(fù)載電阻的阻值；q為傳感器系統(tǒng)電路中的電量；T為機(jī)電耦合系數(shù)。

T表達(dá)式為

T=2πrnB

(20)

式中：r為線圈外半徑；n為線圈匝數(shù)；2πrn為線圈的總長度；B為永磁體磁感應(yīng)強(qiáng)度。

傳感器系統(tǒng)基本參數(shù)如表3所示。

表3 傳感器系統(tǒng)基本參數(shù)

通過龍格庫塔算法對(duì)傳感器G1方程(19)進(jìn)行求解，輸入采用諧波激勵(lì)，諧波激勵(lì)速度為

(21)

式中：A為激勵(lì)幅值；ω為激勵(lì)角頻率。

為了驗(yàn)證傳感器G1系統(tǒng)是否存在非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，設(shè)定激勵(lì)幅值為0.005、0.01、0.05 m/s，基于頻率掃描法得出傳感器G1在不同激勵(lì)幅值下的頻響曲線如圖9所示，傳感器G1有著良好的幅頻響應(yīng)，能夠很好地還原低頻振動(dòng)信號(hào)，并在不同激勵(lì)幅值下的頻響曲線基本保持重合。

進(jìn)一步驗(yàn)證負(fù)剛度磁彈簧的非線性特性對(duì)傳感器性能無影響，建立基于理想線性負(fù)剛度磁彈簧的速度傳感器G2數(shù)學(xué)模型，假設(shè)負(fù)剛度磁彈簧為線性負(fù)剛度，基于式(18)，磁力的公式可簡化為

Fp=-1 022.82za

(22)

將式(22)代入式(19)，得到理想線性負(fù)剛度磁彈簧傳感器G2動(dòng)力學(xué)方程：

(23)

設(shè)定激勵(lì)幅值為0.005 m/s，基于頻率掃描法得出傳感器G1和傳感器G2的頻響曲線，并將所得的頻響曲線與等效線性傳感器G3的頻響曲線進(jìn)行對(duì)比。如圖10所示，傳感器G1和傳感器G2頻響曲線非常接近，因此傳感器G1可以被視為線性系統(tǒng)，從而驗(yàn)證了負(fù)剛度磁彈簧非線性的影響基本被消除；由圖10還可以得知，傳感器G3的固有頻率為4.9 Hz，傳感器G1的固有頻率為1.35 Hz，相對(duì)于傳感器G3降低了3.14 Hz。結(jié)果表明：負(fù)剛度磁彈簧降低了傳感器G1的固有頻率，從而拓展了傳感器低頻測量帶寬。

為了驗(yàn)證傳感器G1有足夠的線性測量范圍，通過不同激勵(lì)幅值的速度信號(hào)，分析傳感器G1的相對(duì)位移時(shí)域響應(yīng)。設(shè)定激勵(lì)幅值為0.001、0.01、0.04、0.06 m/s，頻率為1.35 Hz的諧波激勵(lì)速度信號(hào)，傳感器G1的相對(duì)位移時(shí)域響應(yīng)如圖11所示。當(dāng)激勵(lì)幅值為0.06 m/s時(shí)，傳感器G1的相對(duì)位移響應(yīng)的幅值為5 mm，達(dá)到了負(fù)剛度磁彈簧線性位移區(qū)間極值。因此，基于負(fù)剛度磁彈簧結(jié)構(gòu)的線性位移區(qū)間為±5 mm，分析得出傳感器的時(shí)域測量上限為0.06 m/s，驗(yàn)證了負(fù)剛度磁彈簧結(jié)構(gòu)能滿足傳感器線性測量范圍。

5 結(jié)束語

本文提出了一種基于負(fù)剛度磁彈簧的超低頻速度傳感器。首先通過等效磁荷法建立了負(fù)剛度磁彈簧磁力與剛度的計(jì)算模型。然后分析了軸向高度差、氣隙寬度、氣隙位置等參數(shù)對(duì)負(fù)剛度磁彈簧的負(fù)剛度特性的影響規(guī)律，并基于傳感器低頻擴(kuò)展對(duì)負(fù)剛度特性的要求確定了負(fù)剛度磁彈簧幾何參數(shù)。在此基礎(chǔ)上，最后通過仿真分析了傳感器時(shí)域和頻率響應(yīng)。結(jié)果表明：本文提出的基于負(fù)剛度磁彈簧的速度傳感器機(jī)構(gòu)以及負(fù)剛度磁彈簧幾何參數(shù)確定方法能有效實(shí)現(xiàn)速度傳感器低頻擴(kuò)展；同時(shí)，在不同激勵(lì)幅值下的負(fù)剛度磁彈簧未引起傳感器的非線性動(dòng)力學(xué)行為，在保證了傳感器足夠的線性測量范圍同時(shí)滿足線性負(fù)剛度要求；同時(shí)本文提出傳感器的固有頻率為1.35 Hz，相對(duì)于等效線性傳感器，固有頻率降低了3.76 Hz，實(shí)現(xiàn)了低頻擴(kuò)展。

在后續(xù)的研究中進(jìn)一步設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案，與現(xiàn)有速度傳感器進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證本文提出基于負(fù)剛度磁彈簧的速度傳感器的各方面性能。