邢 容，朱湘萍，韓 鑫

(湖南科技學(xué)院 理學(xué)院物理系，湖南 永州 425199)

眾所周知，當(dāng)光入射到雙折射晶體時(shí)，會(huì)出現(xiàn)分別被稱作o光(尋常光)和e光(非尋常光)的兩種不同的折射光．其中的o光可由折射定律來確定它的傳播方向，而e光則一般并不滿足折射定律，確定它的傳播方向相對(duì)較難.

但是在一些應(yīng)用場(chǎng)合中，掌握e光的傳播方向是有用甚至是必須的．例如，2018年，高波等人[1]指出，當(dāng)KDP/DKDP晶體被用作頻率轉(zhuǎn)化元件時(shí)，因相位匹配的需要，必須確定e光的傳播方向．對(duì)于這種情況，若是事先掌握有e光光線的折射關(guān)系式，那么只需要代入?yún)?shù)計(jì)算就可得出結(jié)果了，無需通過實(shí)驗(yàn)來獲取.

迄今為止，已有多篇文獻(xiàn)給出了e光光線的折射關(guān)系式[2-6]，只是這些關(guān)系式有的給出的是e光波矢的折射角[2]；有的給出的是e光光線與光軸的夾角[3，6]；有的表達(dá)式中含有與o光有關(guān)的角度[4]，較為繁瑣；還有的只是給出了e光光線折射角所滿足的四次方程[5]，難以應(yīng)用．此外，以上這些關(guān)系式還有一個(gè)共同的不足，即都沒有給出相應(yīng)的符號(hào)規(guī)則，這進(jìn)一步增加了應(yīng)用上的麻煩.

除了上述文獻(xiàn)之外，另有一些文獻(xiàn)避開了e光光線普遍性折射關(guān)系式的繁瑣推導(dǎo)，轉(zhuǎn)而就一些特殊的簡(jiǎn)單情形進(jìn)行討論，也得到了一些有價(jià)值的結(jié)論．2006年，何波[7,8]推出了e光光線折射角恰為90°時(shí)入射角所滿足的關(guān)系式，借之討論了入射角超過何值時(shí)e光不會(huì)出現(xiàn)．2008年，劉麗敏[9]就e光光線恰沿著晶體表面法向這一特殊情形，推出了入射角所滿足的關(guān)系式，然后討論了e光會(huì)發(fā)生負(fù)折射現(xiàn)象的條件．2012年，張小宇等人[10]借助惠更斯作圖法，推導(dǎo)了e光全反射和負(fù)折射現(xiàn)象的臨界條件．上述文獻(xiàn)實(shí)際上都只是得到了臨界情形下的折射關(guān)系式，雖足以討論臨界點(diǎn)處的情況，但是對(duì)偏離臨界點(diǎn)后會(huì)發(fā)生什么就無能為力了.

本文就光軸位于入射面內(nèi)此一特殊情形，推得了入射光線自各向同性介質(zhì)入射到單軸晶體時(shí)的e光光線折射關(guān)系式，以及e光自單軸晶體內(nèi)出射到各向同性介質(zhì)時(shí)的折射關(guān)系式，還給出了相應(yīng)的符號(hào)規(guī)則．之后，本文還用得到的折射關(guān)系式對(duì)幾種特殊情況做了討論.

1 任意單軸晶體中e光的折射關(guān)系式及符號(hào)規(guī)則

設(shè)某晶體的光軸與其表面法線夾角為α．現(xiàn)有一束平面波以入射角i自各向同性介質(zhì)入射于該晶體表面，晶體光軸恰位于其入射面內(nèi)．取入射在O點(diǎn)處的一條光線考慮，其折射光中e光光線可利用惠更斯作圖法得到，結(jié)果如圖1所示.

圖1 惠更斯作圖法得到的e光光線

圖1中的ie就是e光光線的折射角．可以看到，圖中建立有兩套坐標(biāo)系：坐標(biāo)系x′Oy′ 的縱軸處于界面法向上，并指向各向同性介質(zhì)一側(cè)；坐標(biāo)系xOy的縱軸處于光軸方向上，并指向單軸晶體一側(cè)．圖中的橢圓曲線代表的是相應(yīng)時(shí)刻下e光的射線面，其方程在xOy中可寫作

(1)

式中的no是o光折射率，ne是e光折射率，L則是光從子波源O點(diǎn)發(fā)射出來到圖中所繪時(shí)刻為止所走過的光程．容易知道，A點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為

(2)

式中的n是各向同性介質(zhì)的折射率．圖中的射線AB是橢圓曲線的切線，B點(diǎn)是切點(diǎn)．若設(shè)B點(diǎn)在xOy中的坐標(biāo)為(xB,yB)，則利用以上條件不難推得

(3)

(4)

(5)

(6)

將式(3)和式(4)代入式(5)、式(6)中可得

(7)

(8)

在x′Oy′ 下，折射角ie滿足

(9)

將式(7)和式(8)代入到式(9)中可得

(10)

此式就是e光光線折射角ie所滿足的關(guān)系式．此式是在圖1所示的入射方向及光軸取向下得到的．對(duì)于其他情形，只需按照下面的規(guī)則令各角帶上相應(yīng)的符號(hào)，那么式(10)依然能夠成立(以下的“左”“右”是沿著界面法線自單軸晶體看向各向同性介質(zhì)時(shí)所看到的)：

1) 當(dāng)光軸處于法線的右側(cè)時(shí)，α取為正值；否則，α取作負(fù)值；

2) 當(dāng)各向同性介質(zhì)中光線處于法線的左側(cè)時(shí)，i取為正值；否則，i取作負(fù)值；

3) 當(dāng)單軸晶體中e光光線處于法線的右側(cè)時(shí)，ie取作正值；否則，ie取作負(fù)值.

在此符號(hào)規(guī)則之下，式(10)中的3個(gè)角α、i、ie的取值范圍皆為[-π/2,π/2]．結(jié)合該符號(hào)規(guī)則，式(10)可適用于任何光軸位于入射面內(nèi)的情形，無論單軸晶體是正晶體還是負(fù)晶體，光線的入射方向如何，以及光軸的取向如何，都可以使用．此外，對(duì)式(10)稍作變形之后可得

(11)

利用此式即可計(jì)算出當(dāng)e光自晶體內(nèi)部出射到各向同性介質(zhì)時(shí)的折射角．式中各角依然滿足前述符號(hào)規(guī)則.

為了驗(yàn)證式(10)的正確性，我們基于惠更斯原理用幾何畫板繪制了一束光自各向同性介質(zhì)入射到單軸晶體邊界面上時(shí)e光光線的光路圖．然后利用幾何畫板自帶的度量功能獲得了e光光線的折射角，發(fā)現(xiàn)與式(10)的計(jì)算結(jié)果完全一致.

2 e光光線折射角隨入射角的變化情況

對(duì)于滿足折射定律的o光，其折射角會(huì)隨著入射角的增加而增加，對(duì)于e光來說，它的折射角ie隨入射角i又是如何變化的呢？

在式(10)中令y=tanie,x=sini，則可有

計(jì)算y對(duì)x的一階導(dǎo)數(shù)可得

此式表明y′ > 0，因此y會(huì)隨著x的增加而增加．由此即可知，e光光線的折射角ie會(huì)隨著入射角i的增加而增加．需要注意的是，這里的ie和i都是在[-π/2，π/2]范圍上取值的．由前面給出的符號(hào)規(guī)則可知，當(dāng)入射光與e光分處法線兩側(cè)時(shí)，ie和i要么同取負(fù)值要么同取正值．利用上述結(jié)論可知，此時(shí)與o光相似，若令入射光靠近法線，那么e光必然也同時(shí)向法線靠攏．但是，如下文中即將討論的情形，在一定條件下，入射光可以和e光處于法線的同側(cè)．此時(shí)，ie和i的取值必定有相反的符號(hào)，若令入射光靠近法線，e光反而會(huì)遠(yuǎn)離法線，這與o光是不同的．若將光線對(duì)法線的靠近(或遠(yuǎn)離)看作為是光線繞法線與界面的交點(diǎn)作相應(yīng)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，那么上述e光隨入射光變化的兩種情況又可以總結(jié)為一句話，即當(dāng)入射光繞入射點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，e光必隨之作相同方向的轉(zhuǎn)動(dòng)．這樣一來，e光與o光在隨入射光變化這一點(diǎn)上是完全相似的，無論e光是否與入射光處于法線的異側(cè).

3 e光的“負(fù)折射”現(xiàn)象

對(duì)于滿足折射定律的o光，它必定與入射光分列界面法線兩側(cè)，而e光卻并不會(huì)如此，它甚至有時(shí)會(huì)與入射光處于同側(cè).

在式(11)中令e光折射角ie= 0可得

(12)

已知ie和i異號(hào)時(shí)入射光就會(huì)與e光處于界面法線同側(cè)，又知道ie會(huì)隨著i的增加而增加，再結(jié)合式(12)即可知，只要sini滿足下面的兩個(gè)條件之一，入射光必與e光處于界面法線同側(cè)

(13)

(14)

需要注意的是，對(duì)于給定的晶體，也只有上述兩式之一會(huì)成立．若某負(fù)(正)晶體中成立的是式(13)，那么必須有

這就要求該晶體的光軸只能位于法線的右側(cè)(左側(cè)).

4 垂直入射時(shí)ie的最大值及其成立條件

利用單軸晶體來產(chǎn)生線偏振光利用的就是晶體中o光與e光在傳播方向上的差異．因此，一般而言這種差異越大就越有利于產(chǎn)生較好的線偏振光.

若入射光垂直入射于晶體之上，那么o光就會(huì)沿界面法線方向傳播，而此時(shí)的e光光線卻是存在最大折射角的．在式(10)中令入射角i= 0可得

(15)

對(duì)此式兩邊取絕對(duì)值可得

容易看出，當(dāng)

(16)

時(shí)，tan|ie|(即|ie|)有最大值．式(16)可化作

(17)

將之代入式(15)可得

(18)

即當(dāng)光軸的方向滿足式(17)時(shí)，晶體內(nèi)e光的偏折程度達(dá)到最大，其折射角由式(18)給出.

5 結(jié)論

本文就光軸位于入射面內(nèi)這一特殊情形，推得了單軸晶體中e光的折射關(guān)系式，并給出了相應(yīng)的符號(hào)規(guī)則．之后，利用該關(guān)系式討論了相關(guān)的幾個(gè)問題．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，e光折射角ie會(huì)隨著入射角i的增加而增加．這在光路圖上表現(xiàn)為，若令入射光在入射面內(nèi)繞入射點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，那么與此同時(shí)，e光就必定會(huì)隨之作相同方向的轉(zhuǎn)動(dòng)．另外還發(fā)現(xiàn)，在一定條件下，e光會(huì)與入射光出現(xiàn)在界面法線的同側(cè)．此類條件存在兩種，任何給定單軸晶體都只能符合其中一種，不存在兩種條件都能符合者．最后，本文還推導(dǎo)了垂直入射時(shí)e光的最大偏折角及其得以實(shí)現(xiàn)的條件.