吳望舒

摘要：數(shù)軸作為圖形，能夠有效聯(lián)系數(shù)字和技術(shù);圖形的直觀性，使數(shù)軸更貼近低段學(xué)生的認(rèn)知水平。學(xué)生可以通過(guò)觀察、比較、分析數(shù)軸上的數(shù)來(lái)提升數(shù)感，在運(yùn)用數(shù)軸的過(guò)程中感悟數(shù)形結(jié)合、一一對(duì)應(yīng)的思想，利用數(shù)軸解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。教師利用數(shù)軸進(jìn)行一年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于幫助學(xué)生深入理解數(shù)的特性，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)軸;數(shù)形結(jié)合;教學(xué)運(yùn)用

初入小學(xué)的一年級(jí)學(xué)生接觸到數(shù)軸，教師可以利用其直觀具象的表達(dá)幫助學(xué)生對(duì)抽象內(nèi)容進(jìn)行理解，培養(yǎng)其數(shù)感。學(xué)生在數(shù)軸三要素的指引下，直觀感受數(shù)序是有規(guī)律、有方向的。學(xué)生通過(guò)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，理解數(shù)軸后，可以嘗試?yán)脭?shù)軸理解算理、初步解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此，教師在教學(xué)過(guò)程中可以有效地運(yùn)用數(shù)軸，這對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)和掌握數(shù)學(xué)思想有著不可估量的作用。

一、一年級(jí)數(shù)學(xué)教材中數(shù)軸的出現(xiàn)（如表1所示）

100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí) 練習(xí)九中第2題，出現(xiàn)在數(shù)軸上填數(shù) 在數(shù)軸上填數(shù)，復(fù)習(xí)數(shù)的順序。同時(shí)通過(guò)數(shù)軸上數(shù)的位置以及兩個(gè)數(shù)字之間的遠(yuǎn)近，可以使學(xué)生形象地感知兩數(shù)之間的大小關(guān)系，以數(shù)形結(jié)合的方式培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感。

二、一年級(jí)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)軸“再創(chuàng)造”

在一年級(jí)數(shù)學(xué)教材中不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)軸經(jīng)常會(huì)以各種形式出現(xiàn)，但是關(guān)于數(shù)軸的定義沒(méi)有確切的表述。為幫助學(xué)生更有效地利用數(shù)軸進(jìn)行學(xué)習(xí)，并且后期利用數(shù)軸時(shí)能夠更加精準(zhǔn)有效，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)軸“再創(chuàng)造”的過(guò)程很有必要。因此，筆者以數(shù)軸為主題設(shè)計(jì)了一節(jié)課，進(jìn)行數(shù)軸“再創(chuàng)造”。

【教學(xué)片段】

（一）由實(shí)物出發(fā)，形成數(shù)軸萌芽

以擺放撲克牌為情境，由實(shí)物演變?yōu)槌橄髷?shù)軸萌芽。

師：小朋友們，現(xiàn)在老師手里有一張撲克牌，我們放在黑板上，那么黑板上就有幾張撲克牌了？再繼續(xù)放呢？

師：如果我們把撲克牌的圖案去掉，還可以用什么來(lái)表示撲克牌？（如圖1所示）

學(xué)生經(jīng)歷由具象到抽象的過(guò)程，他們認(rèn)為可以用長(zhǎng)方形表示撲克牌。

師：那么一個(gè)長(zhǎng)方形就是一張撲克牌，兩個(gè)長(zhǎng)方形呢？

師：如果把長(zhǎng)方形變得更簡(jiǎn)單，這樣來(lái)表示撲克牌的數(shù)量，你們看看可不可以？（如圖2所示）

生：可以看成一小段就是一個(gè)長(zhǎng)方形，也就是一張撲克牌。

師：好的，那我們?cè)谶@里標(biāo)上數(shù)字1，說(shuō)明這里有一張撲克牌。（依次類推，如圖3所示）

師：那一張都沒(méi)有的時(shí)候呢？

生：在最前面加個(gè)0，表示一個(gè)也沒(méi)有。（如圖4所示）

師：如果還有很多很多張?jiān)趺崔k？

生：可以在后面加上省略號(hào)。

（二）經(jīng)歷“再創(chuàng)造”數(shù)軸

學(xué)生從數(shù)軸萌芽出發(fā)，經(jīng)歷“再創(chuàng)造”數(shù)軸的過(guò)程。

師：我們學(xué)習(xí)了很多數(shù)字寶寶，你能像剛才一樣，用類似的方法給10以內(nèi)的數(shù)字寶寶們排排隊(duì)嗎？

師：我們來(lái)看一下這些小朋友是怎么給數(shù)字寶寶們排隊(duì)的，你有什么想說(shuō)的嗎？（如圖5所示）

生：她畫的數(shù)軸有一個(gè)箭頭，意思應(yīng)該是箭頭方向的數(shù)字越來(lái)越大，她的數(shù)字寶寶順序也是對(duì)的。

師：是的！箭頭方向的數(shù)字越來(lái)越大，而且這個(gè)符號(hào)的作用特別大，它還像省略號(hào)一樣，可以表示后面還有很多數(shù)字寶寶。我們?cè)賮?lái)看看這個(gè)小朋友的。（如圖6所示）

生：他畫的數(shù)軸每?jī)蓚€(gè)數(shù)字之間都一樣長(zhǎng)。

師：為什么要一樣長(zhǎng)呢？

生：因?yàn)橐粋€(gè)一個(gè)數(shù)，從1到2走一步，2到3也是一步，所以一樣長(zhǎng)。但是他沒(méi)有寫0，0表示起點(diǎn)，這樣子就沒(méi)有起點(diǎn)了。

師：是的，起點(diǎn)很重要，千萬(wàn)不能漏。那我們最后再來(lái)看這位小朋友的。（如圖7所示）

生：她畫的數(shù)軸有起點(diǎn)，每一段也一樣長(zhǎng)，做得很好！但是我還有一個(gè)建議，就是可以像第一個(gè)小朋友一樣在后面加上箭頭，這樣子還可以表示很多數(shù)。

數(shù)軸是具有原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度三元素的直線，在“再創(chuàng)造”的過(guò)程中進(jìn)一步滲透這三個(gè)元素的概念，加深學(xué)生對(duì)數(shù)軸的理解。同時(shí)，學(xué)生根據(jù)自己的思考和已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行表達(dá)和調(diào)整，獲得對(duì)數(shù)之間關(guān)系的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。

三、一年級(jí)學(xué)習(xí)中數(shù)軸的應(yīng)用與思考

數(shù)軸將抽象的“數(shù)”直觀形象化，有利于理解運(yùn)算過(guò)程，解決問(wèn)題，將運(yùn)算和解決問(wèn)題直觀化。因此，在一年級(jí)學(xué)習(xí)中，我們可以有效地運(yùn)用數(shù)軸，促進(jìn)教學(xué)。

（一）數(shù)的認(rèn)識(shí)中借助數(shù)軸，培養(yǎng)數(shù)感

在0的認(rèn)識(shí)中，通過(guò)數(shù)軸“再創(chuàng)造”來(lái)理解：一個(gè)都沒(méi)有的時(shí)候是0。而在數(shù)軸概念建立后，再次展示，幫助學(xué)生理解0所包含的起點(diǎn)的意義。由數(shù)軸衍生，尋找生活中類似于數(shù)軸的物品：溫度計(jì)、立定跳遠(yuǎn)的測(cè)量、尺子等，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)0可以作為起點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，拓展0的功能。

在10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)中，首先學(xué)生可以借助數(shù)軸的方向進(jìn)行數(shù)的大小的判斷;其次，在判斷大小的基礎(chǔ)上教師進(jìn)行數(shù)序及基數(shù)的教學(xué)。學(xué)生經(jīng)過(guò)理解的過(guò)程后對(duì)以下殘缺數(shù)軸進(jìn)行補(bǔ)充，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)感。教師通過(guò)數(shù)字“9”的填寫，引入相鄰數(shù)的概念：離9最近的數(shù)是8和10，8和10是9的相鄰數(shù)。（如圖8所示）

在20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)中，筆者借助數(shù)軸概念設(shè)計(jì)“數(shù)字寶寶回家”的游戲。筆者出示缺少部分?jǐn)?shù)的直尺圖（數(shù)軸）和一系列的問(wèn)題：

（1）先找誰(shuí)的家最好？

學(xué)生會(huì)回答：先找15的家或者11、19的家。

（2）為什么？

生1：因?yàn)?5在10和20的正中間。15到10的家和到20的家一樣近。

生2：11離10最近，19離20最近。

（3）17在16的前面還是后面？

生3：后面，17比16大1。直尺從0開(kāi)始，越往后走數(shù)字越大。

讓學(xué)生幫助數(shù)字寶寶回家，提升了學(xué)生的數(shù)感。

（二）數(shù)的計(jì)算中借助數(shù)軸，理解算理

在學(xué)習(xí)了數(shù)的認(rèn)識(shí)后，學(xué)生開(kāi)始進(jìn)行數(shù)的計(jì)算。在數(shù)軸上理解計(jì)算，箭頭往右越來(lái)越大表示加，往左越來(lái)越小表示減。加法可以先在數(shù)軸上找到一個(gè)加數(shù)，再繼續(xù)向右走另一個(gè)加數(shù)的步數(shù)，走到的位置上的數(shù)就是和。減法反之。在數(shù)軸上理解加、減法，形象概括地表現(xiàn)出減法是加法的逆運(yùn)算。如一年級(jí)上冊(cè)第三單元練習(xí)五中的第5題，學(xué)生除了用常見(jiàn)的點(diǎn)陣圖方式表示，還增加了用數(shù)軸表示算式的方式。（如圖9所示）

在學(xué)生學(xué)習(xí)“湊十”法時(shí)，也可以借助數(shù)軸進(jìn)行理解。例如：9+6，可以先從9往后走一步，得到10，再向后走5步，得到15。

（三）借助數(shù)軸解決問(wèn)題，形成策略

1.未知數(shù)問(wèn)題

未知數(shù)問(wèn)題主要在小學(xué)高年級(jí)段涉及，但是在教學(xué)過(guò)程中，教師不難發(fā)現(xiàn)，一年級(jí)開(kāi)始，未知數(shù)問(wèn)題已有滲透，而通常所采用的解題方式都是圖形表示數(shù)。為此，筆者專門設(shè)計(jì)了一節(jié)課，進(jìn)行簡(jiǎn)單解未知數(shù)的內(nèi)容教學(xué)，在此展示其中一個(gè)小題。（如圖10所示）

除了利用數(shù)感外，利用數(shù)軸可以解決此類問(wèn)題。圖解如下。（如圖11所示）

類似這樣只有一個(gè)未知數(shù)的題目，教材及課堂作業(yè)本中還有很多，如一年級(jí)下冊(cè)73頁(yè)第15題。（如圖12所示）

再遇到此類題目時(shí)，學(xué)生也就能有理有據(jù)地借助數(shù)軸進(jìn)行快速解答了。學(xué)生只要畫出一條數(shù)軸，在數(shù)軸上把已知數(shù)先標(biāo)出來(lái)，就能夠在腦海中建立起簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系式。對(duì)于低年級(jí)段的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這比解方程更快、更容易理解。

2.解決實(shí)際問(wèn)題

在一年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想在解決問(wèn)題方面顯得尤為重要。低年級(jí)段的學(xué)生更善于用形象的圖形來(lái)理解并理清題意，而數(shù)軸作為將抽象概念轉(zhuǎn)化為形象事物的一個(gè)工具，能夠幫助學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中充分理解題意，從而更有效地解決實(shí)際問(wèn)題。

例如，在人教版一年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第98頁(yè)的“做一做”的“原來(lái)有多少”一題中，將題意化為數(shù)軸圖進(jìn)行理解、解答。（如圖13所示）

一年級(jí)學(xué)生可以嘗試使用數(shù)軸來(lái)幫助理解題意，解決問(wèn)題，熟練掌握數(shù)軸這一工具后，在解決一些較為復(fù)雜的問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生們也會(huì)自主地利用數(shù)軸。

四、數(shù)軸在后期教學(xué)中的應(yīng)用

（一）數(shù)域的擴(kuò)充

數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。我們除了可以在數(shù)軸上找到一年級(jí)所學(xué)習(xí)的100以內(nèi)的數(shù)以外，還能夠找到分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)等一系列實(shí)數(shù)。例如在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)，我們可以通過(guò)數(shù)軸上的點(diǎn)所產(chǎn)生的區(qū)間，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)進(jìn)行分類。

數(shù)軸是有箭頭的，在之后的學(xué)習(xí)過(guò)程中，可以通過(guò)延伸讓學(xué)生體會(huì)數(shù)軸可以向箭頭方向無(wú)限延伸的特點(diǎn)，所以沒(méi)有最大的自然數(shù)。在學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)時(shí)，也可以利用數(shù)軸體會(huì)向左無(wú)限延伸，所以沒(méi)有最大的負(fù)數(shù)。

（二）小數(shù)的近似數(shù)

利用數(shù)軸可以更直觀地理解近似數(shù)的近似精確度。例如：近似數(shù)1.60和1.6誰(shuí)的精確度更高？通過(guò)數(shù)軸對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，1.60在三位小數(shù)1.595與1.604之間，近似數(shù)1.6在兩位小數(shù)1.55與1.64之間，近似數(shù)保留的小數(shù)位越高，精確度越高，所以1.60比1.6的近似精確度高。

（三）平面結(jié)構(gòu)化的組成部分

平面內(nèi)兩條相互垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系。平面直角坐標(biāo)系是對(duì)數(shù)軸應(yīng)用的提升。在學(xué)習(xí)“用數(shù)對(duì)確定位置”時(shí)，將平面圖抽象成直角坐標(biāo)系，用一對(duì)有順序的數(shù)唯一地確定了平面上的一個(gè)點(diǎn)，建立數(shù)對(duì)與平面上點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。在直角坐標(biāo)系中，數(shù)形結(jié)合再一次得到了利用，使整個(gè)平面結(jié)構(gòu)化。此外，在正反比例的學(xué)習(xí)中，把具有正反比例的兩個(gè)量在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行表述，借助具體的圖像，能夠直觀地感知兩個(gè)量的關(guān)系和變化狀態(tài)，便于學(xué)生深入地理解抽象的函數(shù)關(guān)系。

（四）認(rèn)識(shí)時(shí)間的工具

用數(shù)軸來(lái)對(duì)應(yīng)和表現(xiàn)時(shí)間軸時(shí)，數(shù)軸上的點(diǎn)是“時(shí)刻”，兩個(gè)時(shí)刻點(diǎn)之間的距離是“時(shí)間”。借助數(shù)軸，“時(shí)刻”和“時(shí)間”這兩個(gè)概念的關(guān)聯(lián)和區(qū)別就直觀地呈現(xiàn)出來(lái)了。兩個(gè)時(shí)刻之間相隔時(shí)間的計(jì)算，就是數(shù)軸上右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻減去左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻。數(shù)軸上的每個(gè)時(shí)刻，都能夠作為學(xué)生對(duì)時(shí)間進(jìn)行比較和計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)或參考，使復(fù)雜的關(guān)系明了化。

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（責(zé)任編輯：奚春皓）