海 魯，李 杰

（同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海 200092）

自1917年Abrams［1］首次發(fā)現(xiàn)混凝土的應(yīng)變率效應(yīng)，人們對(duì)混凝土動(dòng)力力學(xué)特性的研究已有一百多年的歷史。大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，混凝土在動(dòng)力作用下強(qiáng)度表現(xiàn)出率敏感性，即抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度隨著應(yīng)變率的增加而提高［2-3］。原因一般歸結(jié)為材料本身的黏性特性、微細(xì)觀裂紋演化效應(yīng)和宏觀慣性作用3種物理機(jī)制［4-6］。相比黏性特性，在爆炸、沖擊等中高應(yīng)變率作用下，微裂紋演化效應(yīng)和宏觀慣性作用對(duì)材料動(dòng)力性能的影響更為顯著。通常認(rèn)為：在動(dòng)力分析時(shí)宏觀慣性作用可自動(dòng)得到反映，微裂紋演化效應(yīng)則需在本構(gòu)模型中加以考量［7］。

自Ladevèze［8］和Mazars［9-10］在混凝土損傷力學(xué)理論研究中做出開創(chuàng)性工作后，損傷本構(gòu)模型逐漸成為混凝土結(jié)構(gòu)非線性分析的有效工具。李杰等［11］、Wu等［12］建立的雙標(biāo)量彈塑性損傷模型，能夠全面反映混凝土的非線性力學(xué)行為，且數(shù)值算法相對(duì)簡(jiǎn)單。文獻(xiàn)［13-15］從隨機(jī)性與非線性耦合的角度建立損傷萌生與隨機(jī)演化的基本法則，系統(tǒng)發(fā)展了細(xì)觀隨機(jī)斷裂模型，實(shí)現(xiàn)了混凝土力學(xué)性質(zhì)隨機(jī)性與非線性的綜合反映。在損傷力學(xué)的框架下，為反映混凝土的率敏感性，一些研究者考慮應(yīng)變率效應(yīng)的物理機(jī)制建立動(dòng)力損傷模型［16-17］。

但現(xiàn)有研究大多僅通過(guò)黏性規(guī)則化等方式考慮材料的黏性效應(yīng)及其對(duì)損傷演化的影響，而對(duì)微裂紋尖端的慣性和其他耗散機(jī)制所導(dǎo)致的演化率敏感性和時(shí)間效應(yīng)，并沒(méi)有充分考量。而后者的合理量化對(duì)于中、高應(yīng)變率作用下的混凝土材料本構(gòu)建模十分關(guān)鍵?；诖耍疚奶岢隽擞行p傷驅(qū)動(dòng)力的概念，引入微慣性和微黏性，結(jié)合細(xì)觀隨機(jī)斷裂模型，給出動(dòng)力損傷演化法則，在宏觀層次量化了微細(xì)觀層次裂紋擴(kuò)展的率相關(guān)性，從而建立了一類適用于強(qiáng)動(dòng)力作用下混凝土非線性分析的損傷本構(gòu)模型。

1 混凝土雙標(biāo)量彈塑性損傷理論

應(yīng)變張量ε可分解為彈性應(yīng)變張量εe和塑性應(yīng)變張量εp兩部分，即

根據(jù)應(yīng)變等效假定，有效應(yīng)力定義為［18］

式中：E0為初始彈性剛度。

為反映混凝土的拉壓各向異性，對(duì)有效應(yīng)力張量引入如下所示的正負(fù)分解［11］：

式（3）～（5）中：正負(fù)投影張量P+和P-分別定義為

基于等溫絕熱條件下材料的彈性Helmholtz自由能勢(shì)和塑性Helmholtz自由能勢(shì)不耦合的假定，材料的總彈塑性Helmholtz自由能勢(shì)可以表述為［18］

式中：ψe與ψp分別為材料的彈性和塑性Helmholtz自由能；d+與d-分別為受拉和受剪損傷變量；κ為塑性硬化內(nèi)變量。

對(duì)于彈性Helmholtz自由能，基于上述有效應(yīng)力的正負(fù)分解和損傷變量的引入，可以分解為［18］

類似地，塑性Helmholtz自由能可以表達(dá)為［18］

材料的損傷和塑性演化過(guò)程都是不可逆的熱力學(xué)過(guò)程，其能量耗散均應(yīng)為非負(fù)值，本構(gòu)方程必須滿足以下Clausius-Duhem不等式：

將式（8）微分并代入式（11），可得到

考慮ε?e的任意性，要滿足上述不等式要求，可得

考慮式（13），將式（9）所定義的彈性Helmholtz自由能代入，可得

式中：四階損傷張量D表示為

式（14）即為混凝土雙標(biāo)量彈塑性損傷本構(gòu)模型。

2 損傷和塑性演化準(zhǔn)則

2.1 有效損傷驅(qū)動(dòng)力

根據(jù)Clausius-Duhem不等式（11），可得到如下?lián)p傷耗散不等式

式中：Y+與Y-分別定義為受拉和受剪損傷能釋放率。

由式（16）和（17）可知，選取損傷能釋放率作為損傷驅(qū)動(dòng)力，所得結(jié)果必然不違背熱力學(xué)第二定律，因此，損傷演化準(zhǔn)則在一般意義上可以表示為

當(dāng)忽略塑性變形對(duì)材料受拉Helmholtz自由能的影響，選擇Drucker-Prager作為塑性勢(shì)函數(shù)，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)和簡(jiǎn)化［11，18］，可以得到受拉和受剪損傷能釋放率的表達(dá)式分別為

式（19）、（20）中：E0與ν0分別為材料的初始彈性模量和泊松比；分別為對(duì)應(yīng)有效應(yīng)力的第一不變量；分別為對(duì)應(yīng)有效應(yīng)力偏量的第二不變量；b0與α定義為材料常數(shù)。

事實(shí)上，在中、高應(yīng)變率作用下，由于在微細(xì)觀尺度裂紋尖端存在慣性和其他耗能機(jī)制，則相比準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程，微裂紋擴(kuò)展的驅(qū)動(dòng)力會(huì)有所滯后，正是這種驅(qū)動(dòng)力的滯后效應(yīng)使得微裂紋擴(kuò)展表現(xiàn)出率敏感性和時(shí)間相關(guān)性，從而宏觀層次材料特性表現(xiàn)應(yīng)變率效應(yīng)。而損傷是對(duì)微裂紋演化的宏觀描述，損傷驅(qū)動(dòng)力即損傷能釋放率會(huì)有相應(yīng)地滯后，為在宏觀層次表征這一物理過(guò)程，引入如下方程：

式中：分別定義為有效受拉和受剪損傷能釋放率，即有效損傷驅(qū)動(dòng)力，由于有效損傷能釋放率對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)的引入，損傷驅(qū)動(dòng)力的滯后效應(yīng)得以表征；a±分別對(duì)應(yīng)受拉和受剪的微慣性系數(shù)；b±分別對(duì)應(yīng)受拉和受剪的微黏性系數(shù)。相應(yīng)地，損傷演化法則表示為

2.2 損傷演化方程

為確定損傷演化法則，本文引入細(xì)觀隨機(jī)斷裂模型［13-15］。如圖1所示，結(jié)構(gòu)代表性體積元離散為一系列相互并聯(lián)的微彈簧，并假定彈簧兩端與剛性板連接。在這一模型中，各微彈簧的性質(zhì)代表材料的微觀特性，而彈簧系統(tǒng)的集合性質(zhì)表征了代表性體積元的性質(zhì)。

圖1 細(xì)觀隨機(jī)斷裂模型Fig.1 Mesoscopic stochastic fracture model

假定微彈簧的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為理想彈脆性，如圖2所示，且各個(gè)微彈簧的斷裂應(yīng)變?yōu)殡S機(jī)變量。在加載過(guò)程中，微彈簧的漸進(jìn)斷裂導(dǎo)致了整體系統(tǒng)的力學(xué)行為偏離線性，呈現(xiàn)出非線性和軟化的特征。因此，宏觀代表性體積單元的損傷變量可定義為［13-15］

圖2 彈簧應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系Fig.2 Stress-strain relation for micro-springs

式中：Δ±(x)分別為受拉和受剪斷裂應(yīng)變隨機(jī)場(chǎng)；分別定義為受拉和受剪能量等效應(yīng)變，表達(dá)式分別為

由于斷裂應(yīng)變?yōu)殡S機(jī)變量，圖1所示的隨機(jī)系統(tǒng)不僅可以很好地反映混凝土力學(xué)性質(zhì)的非線性，也可以綜合反映混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的隨機(jī)性。即細(xì)觀隨機(jī)斷裂模型實(shí)現(xiàn)了混凝土受力力學(xué)性質(zhì)隨機(jī)性與非線性的綜合反映。對(duì)損傷演化方程式（23）兩邊分別求數(shù)學(xué)期望，得到損傷的均值演化規(guī)律為

式中：f(·)和F(·)分別為斷裂應(yīng)變隨機(jī)變量的一維概率密度函數(shù)和累計(jì)分布函數(shù)。

試驗(yàn)研究證實(shí)，受拉和受剪斷裂應(yīng)變隨機(jī)場(chǎng)的一維概率分布一般為對(duì)數(shù)正態(tài)分布［18-19］，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為μΔ±和σΔ±。令

滿足正態(tài)分布，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為

因此，Δ±(x)的一維概率分布函數(shù)為

式中：Φ(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累計(jì)分布函數(shù)。

2.3 塑性演化

塑性應(yīng)變對(duì)混凝土本構(gòu)關(guān)系的建模有不可忽略的影響。為簡(jiǎn)單起見，本文采用如下簡(jiǎn)化形式的塑性應(yīng)變演化控制方程［19］：

式中：與為控制塑性演化的材料參數(shù)。

并認(rèn)為塑性應(yīng)變也可以基于有效應(yīng)力張量分解的思想分解為正負(fù)兩部分，即

3 算例及驗(yàn)證

本文所提出的模型涉及的材料參數(shù)如表1所示。其中，彈性參數(shù)、損傷演化參數(shù)和塑性參數(shù)的取值參照文獻(xiàn)［19-20］。而本研究所提出的動(dòng)力損傷參數(shù)的取值由單軸受拉強(qiáng)度和受壓強(qiáng)度的動(dòng)力提高曲線擬合得到。需要指出，在此忽略了混凝土強(qiáng)度等級(jí)、骨料種類等因素對(duì)動(dòng)力損傷參數(shù)取值的影響，更為精確的參數(shù)取值方法將做進(jìn)一步研究。

表1 動(dòng)力損傷本構(gòu)模型參數(shù)Tab.1 Parameters of dynamic damage constitutive model

此外，為聚焦本文研究目標(biāo)，以下分析實(shí)例均只涉及確定性分析內(nèi)容，而對(duì)混凝土動(dòng)力效應(yīng)的隨機(jī)性影響另文專門論述。

3.1 應(yīng)力-應(yīng)變曲線

首先對(duì)混凝土單軸受拉應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€進(jìn)行數(shù)值模擬。通過(guò)控制加載速率實(shí)現(xiàn)3種應(yīng)變率，分別為0.001s-1、10 s-1和20 s-1。模擬中所采用的材料參數(shù)分別為：E=34700MPa，λ+=4.7536，ζ+=0.656，a+=3.0×10-10s-2，b+=3.0×10-5s-1，=0.6，=0.1。

模擬所得到的3種應(yīng)變率下混凝土受拉應(yīng)力應(yīng)變?nèi)€如圖3所示。從圖3可以看出，隨著應(yīng)變率的提高，混凝土單軸受拉峰值應(yīng)力及對(duì)應(yīng)應(yīng)變逐漸增加，從而驗(yàn)證了本文所提出的模型能夠較好地反映混凝土在中、高應(yīng)變率作用下的強(qiáng)度明顯提高等動(dòng)力力學(xué)行為。

圖3 單軸受拉全曲線Fig.3 Uniaxial tensile curves

3.2 動(dòng)力強(qiáng)度提高因子

混凝土在動(dòng)力作用下的率相關(guān)效應(yīng)可用動(dòng)力強(qiáng)度提高因子（即動(dòng)力強(qiáng)度與靜力強(qiáng)度之比）來(lái)描述。采用本文模型，通過(guò)數(shù)值模擬分別計(jì)算了單軸受拉和單軸受壓條件下不同應(yīng)變率對(duì)應(yīng)的動(dòng)力強(qiáng)度提高因子，所得到的結(jié)果與經(jīng)典試驗(yàn)結(jié)果［21-31］對(duì)比如圖4、5所示。模擬中，關(guān)于受拉的材料參數(shù)同3.1保持一致，關(guān)于受壓的材料參數(shù)取值分別為：λ-=7.471，ζ-=0.3767，a-=5.0×10-12s-2，b-=2.0×10-6s-1=0.4，=0.1。通過(guò)對(duì)比可發(fā)現(xiàn)，本文所提出的模型基本能夠反映強(qiáng)度隨應(yīng)變率的變化趨勢(shì)，尤其是能夠描述在中、高應(yīng)變率范圍內(nèi)強(qiáng)度的大幅度提高。

圖4 受拉動(dòng)力強(qiáng)度提高因子Fig.4 Dynamic increase factors under tension

3.3 混凝土層裂試驗(yàn)

Hopkinson桿層裂試驗(yàn)是探究混凝土在沖擊、爆炸等強(qiáng)動(dòng)力作用下動(dòng)態(tài)拉伸強(qiáng)度的重要技術(shù)。為進(jìn)一步驗(yàn)證所提出模型的有效性，本文選擇Schuler等［32］所作的混凝土層裂試驗(yàn)，采用三維有限元模型進(jìn)行了數(shù)值模擬。

圖5 受壓動(dòng)力強(qiáng)度提高因子Fig.5 Dynamic increase factors under compression

Schuler等人的試驗(yàn)裝置見圖6，由直徑同為75 mm，長(zhǎng)度分別為60、5 500、250 mm的撞擊器、入射桿和混凝土試件組成。試驗(yàn)中，通過(guò)撞擊器撞擊入射桿產(chǎn)生壓縮波，壓縮波傳入混凝土試件并在試件自由端發(fā)生反射形成拉伸波，在拉伸波的作用下混凝土發(fā)生動(dòng)態(tài)斷裂，而通過(guò)控制撞擊器的速度，可測(cè)試試件在不同應(yīng)變率下的力學(xué)行為。

圖6 層裂試驗(yàn)裝置（單位：毫米）Fig.6 Setup of spall test(unit:mm)

本文選取4.1、7.6和14.1m·s-13種沖擊速度，將撞擊器、入射桿和混凝土試件綜合建模，并進(jìn)行數(shù)值分析。分析中，混凝土采用本文所提出的動(dòng)力損傷本構(gòu)模型，材料參數(shù)取值為：E=38900MPa，λ+=5.43，ζ+=0.54，a+=1.0×10-10s-2，b+=3.0×10-5s-1，ξ+p=0.6，n+p=0.1，λ-=8.43，ζ-=0.42，a-=6.5×10-12s-2，b-=2.5×10-6s-1，=0.4，=0.1。

在Hopkinson桿試驗(yàn)中，試件自由端的pull-back速度（即自由端質(zhì)點(diǎn)速度從峰值到最低點(diǎn)的差值）是衡量混凝土動(dòng)態(tài)抗拉強(qiáng)度的重要指標(biāo)。本文數(shù)值模擬所得到的3種沖擊速度下混凝土自由端的速度時(shí)程曲線如圖7所示。由此所計(jì)算得到的pull-back速度和試驗(yàn)結(jié)果見表2。通過(guò)數(shù)值結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比可知，本文所提出的模型用于結(jié)構(gòu)分析時(shí)能夠較好反映混凝土在強(qiáng)動(dòng)力作用下的力學(xué)行為。

表2 試驗(yàn)和數(shù)值結(jié)果的對(duì)比Tab.2 Comparisons of test and numerical results

圖7 試件自由端速度時(shí)程Fig.7 Speed of free end of specimen

4 結(jié)論

在混凝土彈塑性損傷理論的基礎(chǔ)上，提出了有效損傷驅(qū)動(dòng)力的概念，引入微慣性和微黏性量化由于細(xì)微觀層次裂紋演化時(shí)間效應(yīng)而導(dǎo)致的宏觀層次損傷滯后的效應(yīng)，從而可以反映混凝土在爆炸、沖擊等強(qiáng)動(dòng)力荷載作用下的應(yīng)變率效應(yīng)。通過(guò)數(shù)值模擬結(jié)果的分析與對(duì)比，本文所提出的模型能夠較好地描述混凝土在中、高應(yīng)變率作用下的力學(xué)行為，可以應(yīng)用于混凝土結(jié)構(gòu)在強(qiáng)動(dòng)力作用下的非線性分析。

作者貢獻(xiàn)聲明：

海 魯：提出模型，進(jìn)行數(shù)值模擬和撰寫論文。

李 杰：提出研究方向，審閱、修改論文。