范晉偉 劉會普 秦 池 李偉華

(①北京工業(yè)大學機械工程與應用電子技術學院，北京 100124；②北京第二機床廠有限公司，北京 102444)

近些年，我國數(shù)控機床行業(yè)迅速發(fā)展，成為數(shù)控機床制造大國,目前國產機床可滿足大部分用戶的使用需求，且價格低廉,然而較之國外數(shù)控機床行業(yè)，國產機床的性能、精度與可靠性等方面仍存在較大差距，高端機床市場占用率低[1]。數(shù)控磨床作為關鍵數(shù)控機床類型之一，廣泛應用于航空航天、軍事國防和民計民生等精密零部件的加工中，因此，對數(shù)控磨床的可靠性建模研究具有重要意義。

國內外學者對數(shù)控磨床可靠性建模展開了大量的研究工作：Hoseinie Seyed Hadi利用Weihull函數(shù)對液壓系統(tǒng)進行了可靠性建模[2]。Ronald R Y利用模糊方法建立了復雜系統(tǒng)的可靠性模型[3]。劉超等人使用最小二乘法對數(shù)控磨床冷卻系統(tǒng)進行了可靠性建模，確定其符合指數(shù)分布模型[4]。羅靜等人使用MINIITAB軟件對數(shù)控磨床故障數(shù)據(jù)進行可靠性建模，并對其進行了故障樹分析[5]。劉勇軍等人使用線性回歸對數(shù)控磨床液壓系統(tǒng)進行可靠性建模，并對平均無故障時間進行了點估計和區(qū)間估計[6]。黎剛剛對數(shù)控磨床砂輪架主軸系統(tǒng)進行FMEA分析,確定其故障部位、故障模式、故障原因及故障影響[7]。

通過以上文獻可以發(fā)現(xiàn)：數(shù)控磨床及其子系統(tǒng)的可靠性研究多為冷卻系統(tǒng)、液壓系統(tǒng)和主軸系統(tǒng)，電控系統(tǒng)作為數(shù)控磨床關鍵子系統(tǒng)之一，尚未有學者對其進行可靠性指標研究；此外，上述研究方法常利用典型函數(shù)分布(正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、指數(shù)分布和二參威布爾分布)模型對故障數(shù)據(jù)進行擬合，即利用線性回歸(最小二乘法)進行參數(shù)估計，經模型檢驗和優(yōu)選后進行可靠性指標計算，存在適用范圍小和計算步驟繁瑣的缺點。因此，文章引入Edgeworth級數(shù)法，結合四階矩技術和Hermite多項式對數(shù)控磨床電控系統(tǒng)進行可靠性指標研究，旨在探索一種新的可靠性指標研究方法。

1 可靠性指標體系

可靠性可以被定義為在使用條件和規(guī)定時間內，機械產品完成規(guī)定功能的能力，常用的可靠性指標包括：可靠度、累積失效概率、故障概率密度函數(shù)和平均故障間隔時間[8]。

1.1 可靠度

可靠度是指在規(guī)定時間內，規(guī)定條件下，完成規(guī)定功能的概率，常用R(t)來表示，是對可靠性的定量描述。計算公式如下：

(1)

式中：N為樣本總數(shù)；n(t)為t時刻時故障樣本數(shù)。

1.2 累積失效概率

與可靠度相對應，累積失效概率是指在規(guī)定時間內，規(guī)定條件下，未完成規(guī)定功能的概率，也稱不可靠度，常用F(t)來表示。計算公式如下：

(2)

1.3 故障概率密度函數(shù)

定義累積失效函數(shù)F(t)的一階導數(shù)為故障概率密度函數(shù)，常用f(t)來表示。計算公式如下：

f(t)=F′(t)=-R′(t)

(3)

1.4 平均故障間隔時間

平均故障間隔時間(MTBF)是指在規(guī)定時間內，規(guī)定條件下，系統(tǒng)正常運行總時間與總故障次數(shù)之比，觀察值計算公式如下：

(4)

式中：ti為第i個故障間隔時間；n為故障總數(shù)。

引入故障概率密度函數(shù)f(t),點估計值計算公式如下：

(5)

2 故障數(shù)據(jù)的收集

文章的可靠性數(shù)據(jù)來源于北京第二機床廠MKS型號數(shù)控磨床現(xiàn)場實驗數(shù)據(jù)以及部分廠家實際生產過程中記錄的數(shù)據(jù)，在嚴格遵守《數(shù)控機床可靠性評定》[9]中相關原則前提下，共獲得364條真實可靠的故障數(shù)據(jù)，其中電控系統(tǒng)故障數(shù)據(jù)69條，部分故障數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 電控系統(tǒng)故障數(shù)據(jù)表

3 Edgeworth級數(shù)法

Edgeworth級數(shù)法能將服從任意分布類型的概率分布函數(shù)近似地展開為標準正態(tài)分布，結合四階矩技術和Hermite多項式，可以獲得磨床電控系統(tǒng)的可靠度函數(shù)，進而對其他的可靠性指標進行計算。

3.1 Edgeworth級數(shù)求解可靠度流程

對于任意故障數(shù)據(jù)t，在引入Edgeworth級數(shù)后，其可靠度概率分布函數(shù)可展開為以下形式[10]：

(6)

式中：φ(t)為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)，φ(t)為標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。μt、σt、θt和ηt為數(shù)控磨床電控系統(tǒng)故障數(shù)據(jù)的前四階矩，即均值、標準差、偏差和峰度。Hi(t)為第i階Hermite多項式。相關公式如下：

(7)

(8)

(9)

(10)

θt=E{[t-E[t]3]}

(11)

ηt=E{[t-E[t]4]}

(12)

(13)

利用公式(6)計算可靠度R(t)時，當可靠度R(t)<1可認為Edgeworth級數(shù)已獲得足夠精確的解,但可能出現(xiàn)數(shù)據(jù)過逼近使得R(t)>1，此時，引入經驗修正公式[11]：

利用Edgeworth級數(shù)法求解數(shù)控磨床電控系統(tǒng)的可靠度流程如圖1所示。

3.2 基于Edgeworth級數(shù)法電控系統(tǒng)可靠度計算

按照圖2流程圖順序，首先采用z-score標準化法將表1數(shù)據(jù)進行標準化轉換，標準化后故障數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 電控系統(tǒng)標準化故障數(shù)據(jù)表

由公式(9)～(12)計算得到標準化故障數(shù)據(jù)的前四階矩分別為：

(15)

由公式(13)可遞推出Hermite第二、第三和第五階多項式分別為：

(16)

將結論(15)和(16)代入公式(6)，即可得到數(shù)控磨床電控系統(tǒng)可靠度概率分布函數(shù)為：

0.202 5t3+0.235 7t2+0.190 5t-0.235 7)

(17)

4 傳統(tǒng)方法

傳統(tǒng)的機電產品整機或關鍵子系統(tǒng)的可靠性分析思路為：首先將原始故障數(shù)據(jù)預處理后，然后利用典型函數(shù)分布(正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、指數(shù)分布和二參威布爾分布)模型對故障數(shù)據(jù)進行擬合，接下來經模型檢驗和優(yōu)選后確定最優(yōu)模型，最后進行可靠性指標計算。

4.1 傳統(tǒng)方法求解可靠度流程

(1)故障數(shù)據(jù)預處理

常用經驗分析法對故障數(shù)據(jù)進行預處理。對于含有n個增序排列的故障數(shù)據(jù)，可靠性的估計值可用中位秩計算[12]。可靠度函數(shù)R(ti)計算公式如下：

(18)

式中：n為故障總數(shù)，i為故障間隔時間。

(2)參數(shù)估計

常用最小二乘法[13]對故障數(shù)據(jù)分布模型進行參數(shù)估計，典型分布模型參數(shù)估計公式如表3所示：

表3 典型分布函數(shù)參數(shù)估計表

表3中，a0和a1為線性相關式y(tǒng)=a0+a1x的系數(shù)，可由最小二乘法線性回歸得到，相關公式如式(19)所示：

(19)

(3)擬合檢驗

常用D檢驗法[14](K-S檢驗法)對模型進行擬合檢驗，以檢驗原始數(shù)據(jù)與擬合曲線之間是否存在線性關系。D檢驗法相關公式如下：

(20)

表4 Dn,α經驗公式表(n>50)

(4)優(yōu)度檢驗

當兩種以上模型都經過了擬合檢驗，為評選出擬合最優(yōu)的模型，需要對其進行優(yōu)度檢驗。常用相關系數(shù)法[15]進行模型優(yōu)度檢驗，相關公式如下：

(21)

(5)求解MTBF和可靠度R

在確定故障數(shù)據(jù)可靠性模型后，可按照公式(1)和(5)計算電控系統(tǒng)的可靠度R和MTBF。

利用傳統(tǒng)方法求解數(shù)控磨床電控系統(tǒng)的可靠度流程如圖2所示。

4.2 基于傳統(tǒng)方法電控系統(tǒng)可靠度計算

按照圖3流程圖，首先對故障數(shù)據(jù)進行預處理，預處理部分結果如表5所示。

表5 經驗分析法數(shù)據(jù)計算表

電控系統(tǒng)典型分布模型擬合的參數(shù)估計、擬合檢驗和優(yōu)度檢驗結果如表6所示：

表6 電控系統(tǒng)典型分布模型擬合表

由表6可知：指數(shù)分布和威布爾分布均通過擬合檢驗，且優(yōu)度R指>R威，則證明指數(shù)分布模型對電控系統(tǒng)故障間隔時間的擬合更加精確，可靠性指標如下：

(22)

從兩種方法對故障數(shù)據(jù)可靠度函數(shù)擬合效果來看，如圖3所示：Edgeworth法在[0,500],[1 000,2 500]區(qū)間處比傳統(tǒng)方法更加準確。

從兩種方法MTBF點估計值與MTBF觀察值的誤差來看，由公式(4)得到MTBF觀察值為818.6 h，基于Edgeworth法MTBF點估計值為821.7 h，基于傳統(tǒng)方法MTBF點估計值為835.4 h，由此可知，基于Edgeworth法獲得的MTBF點估計值更加接近觀測值。

5 結語

文章利用Edgeworth級數(shù)法對數(shù)控磨床電控系統(tǒng)故障數(shù)據(jù)進行可靠性指標分析。首先結合四階矩技術和Hermite多項式將電控系統(tǒng)可靠度函數(shù)近似展開，計算得到電控系統(tǒng)可靠度函數(shù)及其平均故障間隔時間MTBF。然后利用傳統(tǒng)方法計算電控系統(tǒng)可靠度函數(shù)及其平均故障間隔時間MTBF。最后以故障數(shù)據(jù)觀察值為標準，比較兩種方法在可靠度函數(shù)擬合和MTBF計算上的優(yōu)劣。結果顯示Edgeworth級數(shù)法在保證計算精確性的前提下，能簡化電控系統(tǒng)可靠性指標求解過程，克服了傳統(tǒng)方法計算過程復雜、運算量大的缺點。研究結果已反饋給廠家并獲得認可，對提升數(shù)控磨床整機的可靠性水平有重要意義。