馮雪冬，張毅，由晗楊，李文英，馬艷飛

(1. 山東理工大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院, 山東 淄博 255049；2.山東理工大學(xué) 農(nóng)業(yè)工程與食品科學(xué)學(xué)院, 山東 淄博 255049)

石油在開(kāi)采、煉制、貯運(yùn)及使用過(guò)程中往往伴隨著嚴(yán)重的環(huán)境問(wèn)題，其中地下水污染是環(huán)境問(wèn)題之一[1-2]。研究地下水污染，需要從石油污染物滲流方程的角度出發(fā)，達(dá)西定律作為多孔介質(zhì)中飽和滲流的基本方程，描述了流體滲流速度與壓力梯度之間的線性關(guān)系，目前被廣泛應(yīng)用于地下水、石油工程等領(lǐng)域[3]。然而，理論研究與室內(nèi)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)流體黏度或滲流速度增大時(shí)，滲流速度與壓力梯度之間呈非線性關(guān)系，達(dá)西定律不再成立。因此，對(duì)非達(dá)西滲流的研究成為當(dāng)前滲流領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

從現(xiàn)有研究成果來(lái)看，描述非達(dá)西滲流的方程有很多，F(xiàn)orchheimer方程因其具有明確的物理意義，被廣泛應(yīng)用于非達(dá)西滲流的計(jì)算中[4]。但目前國(guó)內(nèi)對(duì)Forchheimer方程中滲流參數(shù)的研究主要集中在數(shù)值模擬方面[5-6]，多孔介質(zhì)的粒徑構(gòu)成及孔隙結(jié)構(gòu)等特征與非達(dá)西滲流參數(shù)的關(guān)系研究卻相對(duì)較少。同時(shí)，由于多孔介質(zhì)的顆粒和孔隙具有不規(guī)則性、自相似性和非線性等特點(diǎn)[7]，使得多孔介質(zhì)孔隙結(jié)構(gòu)與非達(dá)西滲流參數(shù)之間的關(guān)系很難用傳統(tǒng)線性分析方法進(jìn)行定量化描述。

分形理論作為定量描述多孔介質(zhì)的新方法，其分形維數(shù)值既可以準(zhǔn)確反映多孔介質(zhì)的粒徑構(gòu)成，又能真實(shí)描述多孔介質(zhì)的孔隙結(jié)構(gòu)[8]。因此，本文利用分形理論，探討了多孔介質(zhì)分形特征與Forchheimer型非達(dá)西滲流參數(shù)之間的關(guān)系，以期為石油工程領(lǐng)域的非達(dá)西滲流研究提供一定的理論依據(jù)。

1 材料與方法

1.1 試驗(yàn)材料

試驗(yàn)所用多孔介質(zhì)來(lái)源于山東省東營(yíng)市廣饒縣和淄博市臨淄區(qū)的農(nóng)田，按0～20 cm，20～40 cm和40～60 cm深度由上向下分層采集各土層的土壤樣品，每層重復(fù)取樣3次，其中廣饒縣0～20 cm，20～40 cm和40～60 cm的土壤編號(hào)依次為GR1、GR2和GR3，臨淄區(qū)0～20 cm，20～40 cm和40～60 cm的土壤編號(hào)依次為L(zhǎng)Z1、LZ2和LZ3；所采多孔介質(zhì)樣品帶回實(shí)驗(yàn)室自然風(fēng)干、除雜，過(guò)20目篩后，儲(chǔ)存在密封容器中；采用Mastersizer 2000激光粒度分析儀測(cè)定多孔介質(zhì)樣品的顆粒組成，并按照國(guó)際制分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)劃分土壤質(zhì)地類(lèi)型。

試驗(yàn)所用流體為0#柴油，購(gòu)自中國(guó)石化齊魯石化股份有限公司，密度為0.82 g·cm-3，動(dòng)力黏度為3.11 mPa·s，油水界面張力為37.30 mN·m-1，表面張力為23.90 mN·m-1。

1.2 滲流試驗(yàn)

試驗(yàn)采用自制的一維土柱滲流試驗(yàn)裝置，如圖1所示。為保證試樣的均勻性，試驗(yàn)時(shí)按標(biāo)準(zhǔn)化分層方法進(jìn)行裝樣，每次2 cm厚，裝樣高度為20 cm；進(jìn)油端采用蠕動(dòng)泵進(jìn)樣，并且在供油管上設(shè)有分流球閥，以控制進(jìn)油端油壓；土柱出口端連接恒定液面高度的油箱，以保持土柱出流端液面高度恒定；土柱進(jìn)出油端分別裝有測(cè)壓管，用于測(cè)定進(jìn)出油端的油壓；柴油的滲流速度由量筒和秒表進(jìn)行測(cè)定。

圖1 試驗(yàn)裝置示意圖Fig.1 The schematic diagram of the experiment equipment

1.3 滲流理論方程

1856年法國(guó)工程師達(dá)西通過(guò)大量試驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)了滲流速度與壓力梯度之間的線性關(guān)系[9]，達(dá)西滲流方程可表示為：

(1)

式中：J為壓力梯度，MPa·m-1；ρ為流體密度，kg·L-1；g為重力加速度，m·s-2；K為滲透系數(shù)，m·s-1；v為滲流速度，m·s-1。

Forchheimer型非達(dá)西滲流方程與達(dá)西滲流方程相比，其主要區(qū)別在于增加了一個(gè)二次項(xiàng)，意義上則表示壓力梯度的損失不再完全由黏滯力所決定，而是由黏滯力和慣性力共同決定[6]，其具體表達(dá)形式為：

(2)

式中：β為非達(dá)西滲流因子，m-1；Kf為非達(dá)西滲透系數(shù)，m·s-1。

1.4 分形維數(shù)計(jì)算方法

本試驗(yàn)用粒徑的重量分布對(duì)多孔介質(zhì)分形維數(shù)進(jìn)行計(jì)算[10-11]：

(3)

式中：M(r

對(duì)該式兩邊取對(duì)數(shù)，以lgR，lg (M(r

D=3-b

(4)

2 結(jié)果與分析

2.1 壓力梯度與滲流速度的關(guān)系

調(diào)節(jié)分流球閥，測(cè)定不同壓力梯度下柴油的滲流速度，將試驗(yàn)結(jié)果繪制成圖，如圖2所示。由圖2可知，多孔介質(zhì)中柴油的滲流曲線均呈類(lèi)拋物線，表明滲流速度與壓力梯度不再滿足線性關(guān)系，很可能發(fā)生了非達(dá)西滲流。為進(jìn)一步證實(shí)上述分析結(jié)果的正確性，采用Forchheimer方程對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果見(jiàn)表1。由表1可知，F(xiàn)orchheimer方程的擬合效果較好，相關(guān)系數(shù)均大于0.96，說(shuō)明柴油在滲流過(guò)程中確實(shí)發(fā)生了非達(dá)西滲流。

表1 滲流速度與壓力梯度的曲線擬合方程及相關(guān)系數(shù)Tab.1 The fitting equations of seepage velocity and pressure gradient

2.2 多孔介質(zhì)的分形特征

圖3為lgR與lg (M(r

與廣饒地區(qū)相比，臨淄地區(qū)多孔介質(zhì)的分形維數(shù)值相對(duì)較大，但兩地區(qū)分形維數(shù)值的變化趨勢(shì)也存在相似之處：隨著土壤深度增加，分形維數(shù)值也相應(yīng)增大，在40～60 cm土層都達(dá)到最大值。從表2中還可以發(fā)現(xiàn)，多孔介質(zhì)的分形維數(shù)值與粉粒、粘粒含量的變化趨勢(shì)基本一致，即多孔介質(zhì)中粉粒、粘粒含量越高，土壤顆粒分形維數(shù)值就越大。

2.3 分形維數(shù)與粒徑含量的關(guān)系

為進(jìn)一步探討分形維數(shù)值與粒徑含量的關(guān)系，對(duì)粒徑含量與分形維數(shù)值進(jìn)行回歸分析，擬合結(jié)果如圖4所示。由回歸分析結(jié)果可以看出，分形維數(shù)值與砂粒含量之間的相關(guān)性達(dá)到極顯著水平(P<0.01)，相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)(R=-0.985)；分形維數(shù)值與粉粒含量之間呈極顯著正相關(guān)關(guān)系(P<0.01，R=0.970)，與粘粒含量也呈極顯著正相關(guān)關(guān)系(P<0.01，R=0.995)。分形維數(shù)值與多孔介質(zhì)粒徑含量的相關(guān)性較高，這表明分形維數(shù)值能夠在一定程度上反映多孔介質(zhì)的粒徑組成，即分形維數(shù)值的變化與粉粒、粘粒含量密切相關(guān)，分形維數(shù)值越大，粉粒、粘粒含量越高，質(zhì)地越細(xì)，微小孔隙越多，結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，這與張世熔等[14]的研究結(jié)果一致。

表2 不同多孔介質(zhì)的粒徑組成及分形維數(shù)Tab.2 Particle size composition and fractal dimension of different porous media

(a)分形維數(shù)與砂粒含量的關(guān)系 (b)分形維數(shù)與粉粒含量的關(guān)系 (c)分形維數(shù)與黏粒含量的關(guān)系圖4 分形維數(shù)與粒徑含量的關(guān)系Fig.4 Relationship between fractal dimension and particle size content of soils

2.4 分形維數(shù)與非達(dá)西滲流參數(shù)的關(guān)系

從Forchheimer方程表達(dá)式可以看出，非達(dá)西滲透系數(shù)和非達(dá)西滲流因子分別代表著滲流過(guò)程中粘滯力對(duì)柴油的影響和慣性力對(duì)柴油的影響。當(dāng)多孔介質(zhì)孔隙較小、流速較低時(shí)，黏滯力占主導(dǎo)地位，慣性力可忽略，這時(shí)壓力梯度與滲流速度滿足線性關(guān)系，服從達(dá)西定律；當(dāng)多孔介質(zhì)孔隙增大、流速加快時(shí)，慣性力的影響逐漸增大，壓力梯度與滲流速度的線性關(guān)系發(fā)生偏移，即發(fā)生非達(dá)西滲流。因此，F(xiàn)orchheimer方程滲流參數(shù)的變化與多孔介質(zhì)性質(zhì)(尤其是孔隙結(jié)構(gòu))密切相關(guān)。

本研究中分形維數(shù)值能反映多孔介質(zhì)的粒徑構(gòu)成，而粒徑構(gòu)成又影響著多孔介質(zhì)的孔隙結(jié)構(gòu)，因此通過(guò)建立分形維數(shù)值與非達(dá)西滲流參數(shù)之間的回歸方程，探討它們之間的相關(guān)關(guān)系，可以為進(jìn)一步研究Forchheimer型非達(dá)西滲流參數(shù)特征提供一定的研究思路和方法。以非達(dá)西滲流參數(shù)，分形維數(shù)值為橫、縱坐標(biāo)，進(jìn)行曲線擬合，回歸方程及相關(guān)系數(shù)如圖5、圖6所示。

由圖5可以看出，分形維數(shù)值與非達(dá)西滲透系數(shù)之間呈線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，且二者的相關(guān)程度較高。從微觀角度來(lái)看，分形維數(shù)值越大，多孔介質(zhì)中粉粒、粘粒含量越高，多孔介質(zhì)越緊實(shí)，微小孔隙越多，從而使得多孔介質(zhì)的滲透性變差。與非達(dá)西滲透系數(shù)的變化趨勢(shì)相反，非達(dá)西滲流因子隨分形維數(shù)值的增大而增大(圖6)，反之，當(dāng)分形維數(shù)值變小，多孔介質(zhì)顆粒變粗，壓力梯度與滲流速度之間的非線性關(guān)系越不明顯。

綜上所述，多孔介質(zhì)的粒徑大小、孔隙結(jié)構(gòu)等在很大程度上決定著非達(dá)西滲流參數(shù)的大小。分形維數(shù)值較直觀地反映了多孔介質(zhì)的顆粒組成，通過(guò)建立分形維數(shù)值與非達(dá)西滲流參數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系，從而可以定量地描述Forchheimer型非達(dá)西滲流的參數(shù)特征。

3 結(jié)論

1) 柴油在多孔介質(zhì)中的滲流為非達(dá)西滲流，F(xiàn)orchheimer方程能較為準(zhǔn)確地描述壓力梯度與滲流速度之間的關(guān)系。

2) 多孔介質(zhì)具有統(tǒng)計(jì)意義上的自相似性，即分形性，其中分形維數(shù)值與砂粒含量呈極顯著負(fù)相關(guān)，

圖5 分形維數(shù)與非達(dá)西滲透系數(shù)的關(guān)系Fig.5 Relationship between fractal dimension and non-Darcy permeability coefficient

圖6 分形維數(shù)與非達(dá)西滲流因子的關(guān)系Fig.6 Relationship between fractal dimension and turbulence factor

與粉粒、粘粒含量呈極顯著正相關(guān)。

3) 分形維數(shù)值與非達(dá)西滲透系數(shù)之間呈線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，與非達(dá)西滲流因子之間呈線性正相關(guān)關(guān)系，因此，分形維數(shù)可以作為描述非達(dá)西滲流參數(shù)變化趨勢(shì)的重要指標(biāo)。