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Nesbitt不等式的一種新推廣

2021-11-10 06:17:28江西省共青城市國科共青城實(shí)驗(yàn)學(xué)校332020姜坤崇蔡立艷
關(guān)鍵詞:共青城競賽題證法

江西省共青城市國科共青城實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (332020) 姜坤崇 蔡立艷

這是一道簡潔、經(jīng)典、應(yīng)用廣泛的不等式,歷史上曾作為1963年莫斯科數(shù)學(xué)競賽題出現(xiàn)過,對它的研究(如證法,加強(qiáng),推廣,應(yīng)用等)也歷久不衰,本文給出它的一種新推廣.

命題1 設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù),k是整數(shù),則

(ii)當(dāng)k=0時(shí),②式即3≥3,等號成立.

(iii)當(dāng)k=1時(shí),②式即為①式.

綜上,命題1中的不等式得證.

命題1中的不等式②是關(guān)于三個(gè)正數(shù)a,b,c的不等式,若將它推廣為n(n≥3)個(gè)正數(shù)的不等式,則有如下命題3成立.證明從略.同樣的,命題2中的不等式也可以推廣到n(n≥3)個(gè)正數(shù)中去,有如下命題4成立.證明從略.

命題4 設(shè)xi>0(i=1,2,…,n,n≥3),且

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