浙江省衢州第二中學(xué) (324000) 廖如舟

(Ⅰ)若f(x)=0恰有三個(gè)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的情形下，設(shè)f(x)=0的三個(gè)根為x1,x2,x3，且x1

1 試題分析

本題以絕對(duì)值函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為載體，主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)、不等式、絕對(duì)值等基礎(chǔ)知識(shí)，其核心是通過(guò)導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合局部判斷等手段得到函數(shù)的大致圖像．浙江省初賽導(dǎo)數(shù)題設(shè)計(jì)的特點(diǎn)是規(guī)避題海、綜合性強(qiáng)、注重區(qū)分．第(Ⅱ)小題判斷方程的根之間的不等關(guān)系，考查學(xué)生推理論證、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸等分析解決問(wèn)題的能力．促進(jìn)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．

2 解法探究

命題組給出了如下的參考答案：

圖1

圖2

3 命制源流

從命題組提供的解答中能夠感受到命題者對(duì)于題目設(shè)計(jì)的精巧之處，追本溯源可以發(fā)現(xiàn)在《數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法》一書(shū)中有一題與本題函數(shù)模型類似：

圖3

圖4

4 拓展延伸

可以肯定的是很少會(huì)有學(xué)生按照參考答案的思路解題，而是會(huì)采用分析法利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，思路清晰，過(guò)程簡(jiǎn)單，筆者在考后的第一時(shí)間完成本題，用的是如下解法：

通過(guò)分析證明的過(guò)程發(fā)現(xiàn)只用到了一個(gè)不等式ex≤x-1．從這個(gè)角度出發(fā)再改進(jìn)一下本題證明：

5 教學(xué)啟示

導(dǎo)數(shù)是用來(lái)研究函數(shù)局部性質(zhì)的一種重要的工具，是微積分中重要的基礎(chǔ)概念，其核心是用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性，主要培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

從知識(shí)點(diǎn)看，本題涉及的內(nèi)容大都是學(xué)生熟悉的知識(shí)點(diǎn)，大部分學(xué)生做不出本題的原因有：(1)題目的新穎，比較少見(jiàn)的導(dǎo)數(shù)處理絕對(duì)值的問(wèn)題，且還是絕對(duì)值函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)的乘積形式；(2)容易與極值點(diǎn)偏移聯(lián)系在一起，在處理多變量不等式轉(zhuǎn)化的時(shí)候，運(yùn)算分析能力不夠，同時(shí)沒(méi)有在合適的地方使用切線不等式放縮；(3)缺乏對(duì)解決問(wèn)題的路徑進(jìn)行規(guī)劃和試題命制背景的探究，缺少對(duì)于尋找同性態(tài)函數(shù)的勇氣，存在著循規(guī)蹈矩的思想，大部分學(xué)生不敢想、不會(huì)想，這個(gè)是當(dāng)前教學(xué)亟待解決的問(wèn)題．

基于以上分析，從發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)角度審視導(dǎo)數(shù)教學(xué)，我們認(rèn)為要培養(yǎng)學(xué)生三個(gè)方面的能力[1]．

第一，培養(yǎng)“敢想”的能力．在教學(xué)中，注重知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)的整體結(jié)構(gòu)、本質(zhì)，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，選擇一些典型或者新穎的導(dǎo)數(shù)題進(jìn)行教學(xué)，幫助學(xué)生建立方法體系，如學(xué)會(huì)用導(dǎo)數(shù)去分析函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而刻畫(huà)函數(shù)的圖象，注意函數(shù)變化過(guò)程的增幅和趨勢(shì)，通過(guò)一題多解，比較各種解法的優(yōu)劣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)．

第二，指導(dǎo)“強(qiáng)算”的能力．為了突破導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的“運(yùn)算關(guān)”，在導(dǎo)數(shù)教學(xué)中，選擇一些優(yōu)秀的解法的推理演算過(guò)程，通過(guò)剖析展示運(yùn)算錯(cuò)誤的原因，指導(dǎo)學(xué)生明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，采用估算、口算、整體運(yùn)算等方法，預(yù)判運(yùn)算實(shí)施的可能性，養(yǎng)成在腦中建立思維過(guò)程的習(xí)慣，提升運(yùn)算素養(yǎng)．

第三，引導(dǎo)“鉆研”的能力．在導(dǎo)數(shù)的教學(xué)中，常常要考慮從命題者的角度去剖析思考問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析態(tài)度，養(yǎng)成探究的習(xí)慣，對(duì)于課堂的問(wèn)題加以延伸和推廣，實(shí)現(xiàn)有意義的深度學(xué)習(xí)．