梁相玲,葉正偉,秦旺,鄧生文

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

隨著全球經(jīng)濟(jì)的增長,新能源的開發(fā)利用為世界能源危機(jī)與環(huán)境污染問題帶來了解決方法,其中風(fēng)能是之一。風(fēng)能具有儲(chǔ)存量大,短周期,低污染,范圍廣等特點(diǎn),其主要應(yīng)用于發(fā)電[1-3]。近年來,風(fēng)力發(fā)電已涉及到各個(gè)領(lǐng)域,其效果得到了眾人的認(rèn)可,故國內(nèi)外眾多研究者都積極建模以便了解其原理與不足[4-5]。雖然通過多年來的研究分析使得風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)已逐步完善,但是對風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)在不同的工作環(huán)境中受到不確定自然條件的隨機(jī)擾動(dòng)的因素卻考慮甚少,使得其輸出功率與實(shí)際存在差異,故需要考慮和分析影響風(fēng)力發(fā)電的因素,以便尋求風(fēng)能被有效利用的措施。本文基于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)通過變換引進(jìn)參激與外激得到隨機(jī)風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng),主要依據(jù)隨機(jī)平均法與哈密頓理論以及最大李雅普諾夫指數(shù)法,分析隨機(jī)響應(yīng)即隨機(jī)穩(wěn)定性及其Hopf分岔,最后分析了分岔參數(shù)并展示其數(shù)值模擬圖。

1 風(fēng)電的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)

1.1 隨機(jī)模型

本文基于機(jī)械系統(tǒng)風(fēng)力渦輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng),建立的簡易風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)模型如圖1所示[6-7]。

圖1 簡易風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)模型Fig.1 Simple wind power generation system model

轉(zhuǎn)子方程為

(1)

式中:α是風(fēng)力渦輪轉(zhuǎn)子的角加速度;w是轉(zhuǎn)子的角速度;δ是角度。所以可看到

Jα=Mm-Me-MD

(2)

式中J,Me,Mm,MD分別是發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的慣性力矩(包括轉(zhuǎn)子的原動(dòng)力)，發(fā)電機(jī)主軸上的機(jī)械轉(zhuǎn)矩，機(jī)械制動(dòng)電磁轉(zhuǎn)矩，阻尼力矩[6-7]。

由式(2)得

(3)

由于J可以由A表示,所以方程(3)可表示為

(4)

式中：A為慣性時(shí)間常數(shù)；f0為頻率；δ單位為rad；Mm、Me和MD表示單位值。

力矩M由功率P表示為

(5)

故有

(6)

式中Pm,Pe,PD分別表示機(jī)械功率,電磁功率,阻尼功率,且都以單位值表示,其中基值以kV/A為單位。

其中

(7)

式中D為阻尼系數(shù)。

(8)

故所要研究的隨機(jī)風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)為[8-9]

β1δ(t)ξ(t)+β2ξ(t)

(9)

式中:ξ(t)是高斯白噪聲,滿足〈ξ(t)〉=0,噪聲強(qiáng)度為2D;β1和β2是控制參數(shù)。

故可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(10)

1.2 Hamiltonian 系統(tǒng)

令δ(t)=q(t),ω(t)=p(t),則式(10)可寫為

(11)

則方程(11)的總能量為[10]

(12)

1.3 漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)

(13)

Ω={(q1,…,qn,p2,…,pn)|H

(q1,…,qn,0,p2,…,pn)≤H}

(14)

計(jì)算可得

(15)

(16)

2 穩(wěn)定性分析

其穩(wěn)定性分析主要依據(jù)最大Lyapunov指數(shù)法。首先需要把Lyapunov指數(shù)引用到隨機(jī)微分方程中,需要做以下推導(dǎo)[13-14]：

(17)

(18)

為了得到其最大Lyapunov指數(shù),可將方程(13)在H=0處表示成線性化形式:

(19)

其解為

(20)

則其最大Lyapunov指數(shù)為

(21)

故得

(22)

由式(22)可得系統(tǒng)在解H=0處,當(dāng)λ<0時(shí),系統(tǒng)是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)λ>0時(shí),系統(tǒng)是不穩(wěn)定的;當(dāng)λ=0時(shí),系統(tǒng)發(fā)生分岔。

3 隨機(jī)分岔

根據(jù)其擴(kuò)散系數(shù)與漂移系數(shù)可得方程(11)的平均FPK方程為

(23)

則平穩(wěn)概率即式(23)的解為

f(H)=CHηexp[-H]

(24)

式中C是歸一化常數(shù)，且通過計(jì)算得

(25)

接著可得聯(lián)合概率密度函數(shù)為

(26)

對于隨機(jī)非線性動(dòng)力系統(tǒng),分岔類型可定義為D分岔和P分岔,兩者完全由υ區(qū)分。選擇γ作為參數(shù)描述隨機(jī)分岔現(xiàn)象[14]。

1)D分岔點(diǎn)的計(jì)算:根據(jù)之前分析,當(dāng)系統(tǒng)完成D分岔時(shí)υ=-1。則有

υ=cl-?l=

(27)

2)P分岔點(diǎn)的計(jì)算:同理，P分岔點(diǎn)公式為

υ=cl-?l=

(28)

4 數(shù)值模擬

選擇γ作為分岔參數(shù),令α=1,ρ=0.2,D=0.5,β1=0.5,β2=1。數(shù)值模擬平穩(wěn)概率密度函數(shù)與聯(lián)合概率密度函數(shù)在參數(shù)的不同取值下的圖像如圖2—圖6所示。

圖2 γ=0.25時(shí)的平穩(wěn)概率密度函數(shù)Fig. 2 The stationary probability density function when γ=0.25

圖3 γ取不同值時(shí)平穩(wěn)概率密度函數(shù) Fig. 3 The stationary probability density function with different value of γ

綜合圖2和圖3可以看出，隨著參數(shù)γ取值的減小其平穩(wěn)概率密度函數(shù)是單調(diào)遞減的且逐漸趨向平緩,即γ經(jīng)過了臨界點(diǎn)γ=0.208 3后函數(shù)的圖象由單調(diào)遞減變?yōu)閱畏鍫詈瘮?shù),并且隨著γ的持續(xù)減小,函數(shù)的谷峰逐漸趨向平緩,由此說明系統(tǒng)在臨界點(diǎn)γ=0.208 3后發(fā)生了Hopf分岔。

圖4 γ=0.208 3時(shí)的聯(lián)合概率密度函數(shù) Fig. 4 The joint probability density function when γ=0.208 3

圖5 γ=0.208時(shí)的聯(lián)合概率密度函數(shù)Fig. 5 The joint probability density function when γ=0.208

圖6 γ=0.2時(shí)的聯(lián)合概率密度函數(shù)Fig.6 The joint probability density function when γ=0.2

綜合圖4、圖5和圖6可以看出，當(dāng)γ=0.208 3時(shí),函數(shù)圖象是一個(gè)單峰狀；當(dāng)γ=0.208和0.2時(shí),呈火山口狀,這說明系統(tǒng)在臨界點(diǎn)γ=0.208 3后發(fā)生了Hopf分岔。

5 結(jié)束語