朱凌昆 陳茹萌 謝志祥 何思遠(yuǎn) 張?jiān)迫A

（武漢大學(xué)電子信息學(xué)院，武漢 430000）

引 言

隨著天線頻率的升高，探頭天線位置的誤差、測(cè)量系統(tǒng)的溫度變化、探頭天線和被測(cè)天線(antenna under test, AUT)之間的耦合效應(yīng)以及各種人為活動(dòng)等因素，導(dǎo)致人們想要在近場(chǎng)區(qū)獲取高精度的相位信息變得十分困難，即使可以獲取比較可信的相位信息，也將付出極高的代價(jià).

因此，一大批專家學(xué)者開始探索一種可嫁接在現(xiàn)有條件下的技術(shù)——無相位近場(chǎng)測(cè)量技術(shù)[1-8]，即在忽略相位信號(hào)的前提下，借用局部或全局優(yōu)化算法利用電磁場(chǎng)的等效定理[9]重建遠(yuǎn)場(chǎng)輻射特性.在當(dāng)前技術(shù)條件下，有兩種比較常用的方法：第一種是基于模式展開理論的相位恢復(fù)技術(shù)[10-15]，其利用局部?jī)?yōu)化算法，先還原出測(cè)量面上的相位分布，然后再經(jīng)過近遠(yuǎn)場(chǎng)(near-field to far-field，NF-FF)變換獲得遠(yuǎn)場(chǎng).優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快，算法簡(jiǎn)單，但需要獲取精細(xì)的初始相位，同時(shí)測(cè)量面之間的距離也影響著局部?jī)?yōu)化算法的收斂性[11].

為了克服相位恢復(fù)技術(shù)中的缺點(diǎn)，尤其是降低優(yōu)化算法在尋優(yōu)時(shí)對(duì)初始相位的依賴性，專家學(xué)者們提出了第二種方法——源重建法，也稱作重構(gòu)未知源域法.其基本思想是利用電場(chǎng)的一組或多組幅度信息，通過全局優(yōu)化算法的適應(yīng)度函數(shù)重構(gòu)“猜測(cè)”出包圍AUT某一平面或曲面上的電磁流[13-16]或電場(chǎng)[17]分布，然后，利用源重構(gòu)理論(source reconstruction method，SRM)或者經(jīng)典的模式展開理論計(jì)算遠(yuǎn)場(chǎng).所不同，本文的目的是利用#1上的幅度數(shù)據(jù)重構(gòu)出包 圍AUT球面上的切向電場(chǎng)分布Vθ(R0,θ′,φ′)和該切向電場(chǎng)分布最初為四組隨機(jī)數(shù)據(jù)，在經(jīng)過GA[19]的數(shù)次迭代優(yōu)化后將逐漸接近準(zhǔn)確值(仿真結(jié)果).本文利用SWE建立起幅度數(shù)據(jù)和待優(yōu)化目標(biāo)電場(chǎng)Vθ(R0,θ′,φ′)和Vφ(R0,θ′,φ′)之間的兩種非線性關(guān)系，與SRM相比，本文的方法所消耗的計(jì)算時(shí)

本文結(jié)合上述兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，在忽略相位信號(hào)前提下采用重構(gòu)未知源域法，不但通過近場(chǎng)測(cè)量技術(shù)計(jì)算遠(yuǎn)場(chǎng)特性，同時(shí)利用遺傳算法(genetic algorithm，GA)進(jìn)行迭代優(yōu)化，能夠?qū)?shù)值逼近準(zhǔn)確值，具有創(chuàng)新性.本文采用球面波展開(spherical wave expansion，SWE)理論進(jìn)行未知源域重構(gòu)，無相位近場(chǎng)測(cè)量采樣如圖1所示.為了消除平面和柱面近場(chǎng)測(cè)量中存在的截?cái)嗾`差，本文將兩個(gè)圓平面#1-1、#1-3和圓柱面#1-2構(gòu)成封閉面#1.與文獻(xiàn)[18]的方法有間更少，待優(yōu)化參數(shù)也更少.數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，只要給予GA足夠的附加信息，本文方法完全可以利用一個(gè)閉合曲面上的幅度數(shù)據(jù)重構(gòu)出十分準(zhǔn)確的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射特性.

圖1 無相位近場(chǎng)測(cè)量采樣示意圖Fig.1 The sampling diagram for near-field measurement using amplitude-only data

1 近場(chǎng)未知源域重構(gòu)理論

1.1 理論基礎(chǔ)

包圍AUT某一球面上的切向電場(chǎng)分布Vθ(R0,θ′,φ′)和， 則自由空間中其他任意一點(diǎn) (r,θ,φ)的電場(chǎng)E(r,θ,φ)將被唯一確定.

如圖2所示為利用SWE進(jìn)行場(chǎng)計(jì)算示意圖，根據(jù)惠更斯-菲涅爾定理的基本思想可知，若能夠獲得

圖2 利用SWE進(jìn)行場(chǎng)計(jì)算示意圖Fig.2 The field calculation using spherical wave expansion (SWE)

1.2 基于SWE理論的場(chǎng)計(jì)算

球面波本征模式可以通過惠更斯-菲涅爾原理和麥克斯韋方程組推導(dǎo)得到.對(duì)比遠(yuǎn)場(chǎng)本征模式和近場(chǎng)本征模式可以發(fā)現(xiàn)兩者具有相似的特點(diǎn)，當(dāng)本征模式特點(diǎn)已知時(shí)，便能以近場(chǎng)幅度特征通過NFFF變換求得遠(yuǎn)場(chǎng)中某一點(diǎn)的電場(chǎng).假設(shè)某球面完全含圍AUT且其最小半徑為rmin， 那么在r≥rmin的無源空間中，電場(chǎng)強(qiáng)度可以表示為[20]：

式中：

式中：N為天線展開式中最高階模的階數(shù)，N≥π(krmin+3)≈[krmin+7～10][7]，其中k=2π/λ為波數(shù)，λ 為波長(zhǎng)；為第二類球漢克爾函數(shù)；為連帶勒讓德函數(shù)；amn、bmn包 含有遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)的信息.

當(dāng)r→+∞時(shí) ，略去與θ 、φ無關(guān)的因子，可以得到天線遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)的電場(chǎng)表達(dá)式為：

由圖3可知，面對(duì)如此繁雜的工作，若在執(zhí)行過程中不作流程優(yōu)化和計(jì)劃安排，輕則導(dǎo)致工作效率低下，浪費(fèi)人力和物力，辦刊預(yù)期功能難以實(shí)現(xiàn)，重則無法按時(shí)出刊或無法保證期刊的質(zhì)量。

1.3 整體實(shí)現(xiàn)框圖

如圖3所示，首先，賦予距離坐標(biāo)原點(diǎn)R0的球面以隨機(jī)電場(chǎng)E，該隨機(jī)電場(chǎng)包括兩個(gè)正交極化分量：Vθ(R0,θ′,φ′) 和Vφ(R0,θ′,φ′)(θ′∈[ 0°，180°]，φ′∈[0°，360°]).在GA每一次迭代中，都必須利用式(4)～(8)計(jì)算加權(quán)系數(shù)amn和bmn.其次，利用加權(quán)系數(shù)amn和bmn分別計(jì)算測(cè)量面#1-1、#1-2和#1-3上的電場(chǎng)E1、E2和E3，以及待優(yōu)化球面電場(chǎng)本身E0；E1、E2和E3包括兩個(gè)正交極化分量的電場(chǎng)，E0只包括 θ和φ分量的電場(chǎng)( θ∈[0°，180°]，φ∈[ 0°，360°]).再次，將E1、E3和E0分別與柱面上的幅度和E0進(jìn)行相減運(yùn)算得到適應(yīng)度值(fitenss value, FV).最后，當(dāng)GA達(dá)到最大迭代次數(shù)時(shí)，優(yōu)化過程結(jié)束.將GA的最后一次迭代最優(yōu)解，利用式(9)～(10)通過NF-FF變換計(jì)算遠(yuǎn)場(chǎng).

圖3 GA最小化流程圖Fig.3 Flowchart of minimizing algorithm by GA

2 全局優(yōu)化算法

GA在進(jìn)化搜索中基本不利用外部信息，僅以適應(yīng)度函數(shù)為依據(jù)，因此適應(yīng)度函數(shù)是GA的核心，它的選取直接影響到GA的收斂速度以及能否找到最優(yōu)解.

2.1 待優(yōu)化決策變量

本文選定距離坐標(biāo)原點(diǎn)R0處的球面電場(chǎng)作為待優(yōu)化的目標(biāo)電場(chǎng).首先，定義四個(gè)變量：

待優(yōu)化球面φ分量的電場(chǎng)為

2.2 適應(yīng)度函數(shù)設(shè)定

本文所提出的適應(yīng)度函數(shù)(也稱作目標(biāo)函數(shù))，一共包括兩個(gè)子目標(biāo)函數(shù).首先，定義第一個(gè)函數(shù)表達(dá)式為

式中：M表示測(cè)量面#1上的總采樣點(diǎn)數(shù)之和和表示利用仿真軟件FEKO[20]得到的兩個(gè)柱系正交分量的幅度大??；利用式(1)～(8)計(jì)算得到Eiφ和Eiz，分別表示#1-1、#1-2或#1-3上任意點(diǎn) ( ρ,φ,z)的兩個(gè)正交極化分量電場(chǎng).需要說明的是，本文所研究的方法是利用柱系下的幅度重構(gòu)近場(chǎng)區(qū)球面電場(chǎng)分布，所以還須將球坐標(biāo)系下的電場(chǎng)轉(zhuǎn)換為柱坐標(biāo)系下的電場(chǎng)，轉(zhuǎn)換公式為：

如圖2所示，如果 ?R=0， 即當(dāng)r=R0時(shí)，利用式(1)～(8)可以計(jì)算待優(yōu)化球面電場(chǎng)本身，其對(duì)待優(yōu)化的參數(shù)形成進(jìn)一步限制，于是第二個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為

式中：E0,θ和E0,φ表 示# 0上 在球面坐標(biāo)系下任意點(diǎn)的電場(chǎng)，利用和V(R,θ′,φ′)計(jì)算得φ0

需要特別說明的是，適應(yīng)度f的數(shù)值越小，Vθ(R0,θ′,φ′)和Vφ(R0,θ′,φ′)將越接近于仿真結(jié)果.

3 仿真與數(shù)值計(jì)算結(jié)果

3.1 微帶天線

圖4 微帶天線仿真模型Fig.4 The simulation model of the patch antenna

在本GA算例中，參數(shù)設(shè)置為：種群數(shù)量PS=24，交叉概率Pc=0.95，變異概率Pm=0.001，最大迭代次數(shù)為192 000.為證實(shí)本文方法的有效性，引入兩個(gè)均方根誤差(root-mean-square-error，RMSE)：

和

式中：和分別為利用V(R,θ′,φ′)和V(R,θ′,φ′)通θ0φ0到.最后，將函數(shù)f1、f2相加，可以得到本文所設(shè)定的適應(yīng)度函數(shù)，即過算式(9)～(10)計(jì)算得到的遠(yuǎn)場(chǎng) θ 和φ分量場(chǎng)強(qiáng)大??；和為利用FEKO測(cè)量得到的 θ 和φ分量幅度大小為遠(yuǎn)場(chǎng)總采樣點(diǎn)數(shù)之和.在GA的每一次迭代中，均利用最優(yōu)解分別計(jì)算FV和.測(cè)如表1所示，在其上均勻采樣獲取Eφ和Ez兩個(gè)正交分量面#1-1、#1-2、#1-3在各方向的步長(zhǎng)及其范圍設(shè)置量的幅度數(shù)據(jù).

表1 柱坐標(biāo)系下微帶天線的近場(chǎng)電場(chǎng)幅度采樣Tab.1 Near field amplitude sampling of microstrip antenna in cylindrical coordinates V/m

圖5給出了FV和遠(yuǎn)場(chǎng)RMSE隨迭代次數(shù)的變化.可以看出：經(jīng)過多次迭代優(yōu)化后，遠(yuǎn)場(chǎng)兩個(gè)分量的RMSE值均保持在5%以內(nèi)，說明利用兩個(gè)極化分量的幅度信息可以得到比較準(zhǔn)確的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射特性，從而證實(shí)了本文方法的有效性.圖6繪制了近場(chǎng)區(qū)域內(nèi)的半徑R0=1.5λ的球面切向電場(chǎng)分布，重構(gòu)結(jié)果與仿真圖像吻合良好，說明在封閉面#1上采集的幅度信息足以重建準(zhǔn)確的遠(yuǎn)場(chǎng).從圖7微帶天線遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖也可以看出，重構(gòu)的遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖與FEKO仿真結(jié)果整體吻合，只是在旁瓣上略微存在差異.

圖5 微帶天線FV和遠(yuǎn)場(chǎng)RMSE隨迭代次數(shù)的變化Fig.5 The FV and RMSE in far-field with the number of iterations of the patch antenna

圖6 微帶天線球面切向電場(chǎng)幅度分布Fig.6 Amplitude of the tangential electric field of the patch antenna

圖7 微帶天線遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖Fig.7 The far-field pattern in two principals cuts for patch antenna

3.2 陣列天線

為充分驗(yàn)證本文算法的有效性，設(shè)計(jì)了較為復(fù)雜的陣列天線，其陣元分布如圖8所示.饋電同軸線電壓1 V，特性阻抗50 Ω，振子長(zhǎng)度均為λ/2，中間陣元坐標(biāo)為(0,0)，其余陣元坐標(biāo)分別為(?λ/4，λ/4)、(?λ/4，?λ/4)、(λ/4，?λ/4)、(λ/4, λ/4)，工作頻率f=9.375 GHz，λ= 32 mm.目標(biāo)電場(chǎng)位于半徑2.5λ的球面上，θ方向的步進(jìn)為9°，φ方向的步進(jìn)為4°，共需優(yōu)化的參數(shù)為21×91×4個(gè).

圖8 陣列天線仿真模型Fig.8 Simulation model of array antenna

在天線外圍選取一柱面測(cè)量面#1，包含3個(gè)測(cè)量單元#1-1、#1-2、#1-3，測(cè)量模型如圖9所示.測(cè)量面的采樣范圍及其步長(zhǎng)如表2所示.

圖9 無相位陣列天線近場(chǎng)測(cè)量模型Fig.9 Near field measurement model of phaseless array antenna

表2 柱坐標(biāo)系下陣列天線近場(chǎng)電場(chǎng)幅值采樣Tab.2 Electric field amplitude sampling in the near field of array antenna in cylindrical coordinate system V/m

從圖10可以看出，算法大概從4萬次迭代時(shí)開始收斂，于6萬次基本趨于穩(wěn)定.從圖11～12可以看出，無論近場(chǎng)還是遠(yuǎn)場(chǎng)，利用幅度信息重構(gòu)的結(jié)果和仿真圖像整體吻合.

圖10 陣列天線FV和遠(yuǎn)場(chǎng)RMSE隨迭代次數(shù)的變化Fig.10 The FV and RMSE in far-field of the array antenna with the number of iterations

圖11 陣列天線球面切向電場(chǎng)幅度分布Fig.11 Amplitude distribution of spherical tangential electric field of the array antenna

圖12 陣列天線φ=48°和θ=138°平面遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖Fig.12 Far field pattern of array antenna in the plane of θ=138° and φ=48°

4 結(jié) 論

本文提出了利用SWE進(jìn)行未知源域重構(gòu)的方法.該方法可以在忽略相位信號(hào)的前提下，只利用近場(chǎng)區(qū)兩個(gè)正交分量的幅度信息，通過SWE和全局優(yōu)化算法獲取準(zhǔn)確的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射特性.數(shù)值計(jì)算和仿真結(jié)果吻合良好，證實(shí)了本文方法的有效性.本文將平面和柱面近場(chǎng)測(cè)量在數(shù)據(jù)采樣時(shí)的易操作性以及SWE理論上的完備性有機(jī)結(jié)合起來，降低了測(cè)量成本，避免了截?cái)嗾`差，在理論上適用于所有類型的天線.

本文的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是階段性的，可以進(jìn)一步延伸至半空間中，例如，無限大PEC導(dǎo)電平面上方；本文所用測(cè)試數(shù)據(jù)通過仿真軟件FEKO計(jì)算獲得，涉及具體的工程應(yīng)用遇問題則需要進(jìn)一步研究.