李弘祖, 郭立新, 董春雷, 孟 肖

(西安電子科技大學(xué)物理與光電工程學(xué)院, 陜西 西安 710071)

0 引 言

在針對(duì)電大物體開(kāi)展電磁散射特性的分析過(guò)程中,一般選擇使用高頻算法,比如物理光學(xué)(physical optics,PO)法、幾何光學(xué)(geometrical optics, GO)法[1]、幾何繞射理論(geometrical theory of diffraction,GTD)[2]、一致性GTD(uniform GTD,UTD)[3]、物理繞射理論(physical theory of diffraction, PTD)等。這些算法都把物體的各個(gè)部分分解出來(lái),任一部分的散射特性跟剩余部分沒(méi)有關(guān)聯(lián)。所以,針對(duì)某個(gè)部分的散射場(chǎng)開(kāi)展研究只需要考量入射波,可以不考慮剩余部分的耦合。盡管有效降低了計(jì)算難度,然而針對(duì)復(fù)雜度較高的結(jié)構(gòu)計(jì)算出的結(jié)果精度不高[4]。對(duì)于低頻方法,以矩量法(method of moments, MoM)[5]為例,其計(jì)算結(jié)果較為精準(zhǔn),但由于計(jì)算所需的時(shí)間較長(zhǎng)以及計(jì)算機(jī)內(nèi)存需求較大,一般只應(yīng)用于計(jì)算電小尺寸的結(jié)構(gòu),而遇到復(fù)雜目標(biāo)的電磁散射問(wèn)題時(shí),需要采用高低頻混合的方式來(lái)解決。Jakobus[6]針對(duì)MoM和PO混合使用的理論進(jìn)行描述,并在環(huán)境較為復(fù)雜的電磁散射中進(jìn)行使用;Wang[7]將等效偶極子與迭代式MoM-PO混合算法相結(jié)合,計(jì)算了電大目標(biāo)的電磁散射特性;Tong[8]成功將改進(jìn)后的MoM-PO算法應(yīng)用于目標(biāo)和隨機(jī)二維介質(zhì)粗糙面的計(jì)算。

MoM的計(jì)算結(jié)果精度高,能夠應(yīng)用于復(fù)雜精細(xì)結(jié)構(gòu)的計(jì)算。PO方法將散射源從物體本身?yè)Q成了散射物體表層感應(yīng)電流,隨后通過(guò)電流積分計(jì)算出散射場(chǎng)的分布。該方法計(jì)算資源需求低、速度快,但無(wú)法精確地計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)[9-10]。因此,基于電流基的MoM和PO的混合算法[11-13]在求解電大尺寸目標(biāo)散射和電大載體附近天線輻射問(wèn)題中得到了廣泛的應(yīng)用。由于PO方法無(wú)法計(jì)算目標(biāo)的棱邊繞射問(wèn)題,因此計(jì)算結(jié)果存在誤差。鑒于此,利用PTD手段對(duì)目標(biāo)區(qū)域的棱邊繞射場(chǎng)開(kāi)展計(jì)算,提高了在計(jì)算目標(biāo)散射和輻射時(shí)的精準(zhǔn)度。

此外,在計(jì)算PO區(qū)域時(shí),傳統(tǒng)面元遮擋判斷算法的時(shí)間成本較大,因此,本文提出了基于八叉樹(shù)優(yōu)化的MOM-PO/PTD快速混合算法,將八叉樹(shù)和后向追蹤[14]算法應(yīng)用于PO區(qū)域面元的遮擋判斷。相較于標(biāo)準(zhǔn)射線追蹤計(jì)算方法,八叉樹(shù)開(kāi)展優(yōu)化以后的追蹤手段不再選取面元作為基本單位跟剩余面元開(kāi)展比較評(píng)估,所以極大地減少了計(jì)算工作量,避免了資源的浪費(fèi)。最后文中將修正后的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值方法相比較,驗(yàn)證了該方法的有效性,同時(shí)與未采用八叉樹(shù)的混合方法相比較,結(jié)果顯示本文算法使計(jì)算效率大大提升。

1 基本理論

應(yīng)用MoM-PO混合法[15-20]首先需要將計(jì)算模型分為兩個(gè)區(qū)域[21]:MoM區(qū)域和PO區(qū)域。MoM的計(jì)算結(jié)果比較精確,一般將激勵(lì)源附近、電尺寸較小、邊緣和棱邊較多的區(qū)域劃分為MoM區(qū),將電大尺寸平滑結(jié)構(gòu)劃分為PO區(qū)。如圖1所示。

圖1 MoM區(qū)域和PO區(qū)域分區(qū)

將MoM區(qū)域的電流設(shè)為JMoM,將PO區(qū)域的電流設(shè)為JPO。根據(jù)RWG基函數(shù)[22]將JMoM和JPO展開(kāi)為

(1)

(2)

式中：NMoM和NPO分別為MoM區(qū)和PO區(qū)域RWG基函數(shù)數(shù)目,αn和γn分別為JMoM和JPO的展開(kāi)系數(shù)。

根據(jù)高頻近似條件,PO照明區(qū)的表面電流為JPO=2n×Hi,計(jì)入MoM區(qū)域產(chǎn)生的磁場(chǎng)對(duì)PO區(qū)域的影響,則電流可以表示為

(3)

圖2 在公共邊上引入矢量

由RWG的性質(zhì)可知,在第k條邊的中點(diǎn)處有[11]:

(4)

(5)

其中k=1,2, …,NPO為PO區(qū)未知數(shù)的個(gè)數(shù)。將式(3)代入式(5)得

(6)

式中:

(7)

(8)

最后,在MoM區(qū)建立電場(chǎng)積分方程[23]:

(LEJMoM)tan+(LEJPO)tan=-Etan

(9)

將式(1)和式(2)代入式(9)得

(10)

通過(guò)GalerKin法,可以得到如下線性方程組:

(ZMoM+ZMoM,PO·τk,n)·IMoM=V-ZMoM,PO·τk

(11)

其中,ZMoM=〈fm,LEfn〉,ZMoM,PO=〈fm,LEfk〉,V=〈fm,E〉。

在進(jìn)行MoM位置電流的計(jì)算過(guò)程中,通過(guò)使用迭代的方式,計(jì)算得到矩量區(qū)域電流以后,將計(jì)算得到的電流系數(shù)代入公式(3)中,從而計(jì)算出PO區(qū)域的電流系數(shù);再對(duì)電流進(jìn)行積分便可得到目標(biāo)的散射場(chǎng)和輻射場(chǎng);最后,將兩區(qū)域的場(chǎng)進(jìn)行疊加,便可得到總的場(chǎng)強(qiáng)。

2 算法描述

2.1 八叉樹(shù)的構(gòu)造原理及應(yīng)用

八叉樹(shù)也被叫做八元樹(shù),是一種效率較高的空間層次樹(shù)狀構(gòu)造,可以有效降低計(jì)算方法在空間層面上的復(fù)雜程度。八叉樹(shù)的剖分均依據(jù)八分標(biāo)準(zhǔn),可以將其看做四叉樹(shù)構(gòu)造進(jìn)行拓展獲取到的三維空間[24]。

在所需計(jì)算的空間中,八叉樹(shù)剖分的過(guò)程是首先將復(fù)雜場(chǎng)景內(nèi)所有點(diǎn)放在三維坐標(biāo)系中,得到X,Y,Z分量上的極限大小值,以這些極限值構(gòu)建一個(gè)包圍整個(gè)場(chǎng)景的空間,并從3個(gè)方向?qū)⒖臻g分割為大小一樣的八個(gè)子空間,形成一組八叉樹(shù)。針對(duì)某個(gè)包圍盒開(kāi)展進(jìn)一步剖分的基礎(chǔ)是這一空間內(nèi)含有的三角面元數(shù)大于預(yù)設(shè)的閾值。八叉樹(shù)的各個(gè)非葉節(jié)點(diǎn)都存在零個(gè)或八個(gè)子節(jié)點(diǎn),一般把它們利用A,B,C,D,E,F,G,H進(jìn)行記錄。假如未能達(dá)到深度的最大值,那么開(kāi)展進(jìn)一步的劃分[25]。

標(biāo)準(zhǔn)射線追蹤方法是對(duì)所有面元一一進(jìn)行明暗判定,相比于傳統(tǒng)的射線追蹤算法,經(jīng)過(guò)八叉樹(shù)改進(jìn)后形成的射線追蹤算法不再選取一個(gè)基本面元作為單位和其他面元進(jìn)行明暗判定,而是先判斷此包圍盒所在空間中的位置,然后再判斷處在該包圍盒內(nèi)的面片是否被遮擋。這一方法極大地減少了計(jì)算工作量,避免了資源的浪費(fèi)。

該算法的步驟如下:假設(shè)一簇平行入射波方向?yàn)閞=(ex,ey,ez),面元S的法向方向?yàn)閚,重心坐標(biāo)為P0=(x0,y0,z0),某一包圍盒在XYZ方向上的最大值、最小值分別記為:Xmax、Ymax、Zmax、Xmin、Ymin、Zmin,則面元S被入射波照亮需要滿足以下兩個(gè)條件:

條件 1入射波方向r與面元S的法向量n應(yīng)滿足:rn<0;

條件 2入射波照射到面元S時(shí)沒(méi)有被其他面元遮擋。

使用如下方法對(duì)條件2進(jìn)行判斷:從面元S的重心處發(fā)射一條射線,方向與入射射線方向相反,追蹤此射線并判斷其是否與其他面元相交。具體步驟如下:

設(shè)面元S上的出射射線起始位置為P0,方向?yàn)?r=(mx,my,mz)。先分析這一射線方向跟包圍盒所處的位置會(huì)不會(huì)發(fā)生重疊。射線通過(guò)某個(gè)包圍盒內(nèi)部所滿足的條件為:

(1)當(dāng)mx>0時(shí),Xmax>x0;

(2)當(dāng)mx<0時(shí),Xmin

(3)當(dāng)my>0時(shí),Ymax>y0;

(4)當(dāng)my<0時(shí),Ymin

(5)當(dāng)mz>0時(shí),Zmax>z0;

(6)當(dāng)mz<0時(shí),Zmin

輻射上述條件的前提下,再依據(jù)條件1分析這一射線跟包圍盒中含有的面元是否會(huì)出現(xiàn)相交,如果存在一個(gè)面元與其相交,而且交點(diǎn)位置在面元當(dāng)中,這說(shuō)明面元m的位置在暗處,反之,其所在位置為亮處。

2.2 后向追蹤原理及應(yīng)用

在射線追蹤的過(guò)程中,往往會(huì)面臨射線管分裂和難以判斷照射區(qū)域這兩問(wèn)題,為解決此類問(wèn)題,本文采用后向追蹤方法。

和傳統(tǒng)的射線追蹤算法相比,后向追蹤算法摒棄了虛擬射線管。所采用的方法是:首先,將目標(biāo)模型網(wǎng)格劃分為三角形后,記錄這些三角形面片及其3個(gè)相鄰面片的ID并存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)內(nèi)存中。其次,將每一個(gè)面元的中心作為射線的發(fā)射點(diǎn),射線的方向?yàn)槿肷洳ǖ姆捶较?并沿著與此方向向源追蹤。因此,判斷該面元是否被照亮的條件是在進(jìn)行射線追蹤的過(guò)程中,此射線不被其他面元遮擋。如圖3所示,編號(hào)為1和2的兩個(gè)面元使用后向射線追蹤算法,使得射線管分裂的問(wèn)題得到有效解決。

圖3 后向追蹤技術(shù)示意圖

2.3 利用PTD修正PO區(qū)電流

在計(jì)算具有精細(xì)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜目標(biāo)電磁特性時(shí),傳統(tǒng)的MoM-PO的混合算法通常具有很大的優(yōu)勢(shì),但PO算法無(wú)法計(jì)算目標(biāo)棱邊的繞射場(chǎng)同時(shí)將陰影區(qū)電流等效為零,這與實(shí)際電流的分布情況存在差異,造成MoM-PO混合算法的計(jì)算目標(biāo)散射與輻射特性時(shí)存在一定的誤差?？紤]到上述因素的影響,本文利用PTD[26]對(duì)PO區(qū)域的電流進(jìn)行修正,在分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)目標(biāo)的電磁特性問(wèn)題時(shí),將混合算法與PTD相結(jié)合,計(jì)入棱邊繞射場(chǎng)對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生的影響,結(jié)合常用的計(jì)算模型,經(jīng)過(guò)將該算法結(jié)果跟數(shù)值結(jié)果的對(duì)比,對(duì)該算法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證,有效拓寬了MoM-PO混合算法的應(yīng)用范圍。常見(jiàn)的劈形結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 電磁波照射到一個(gè)典型目標(biāo)上

應(yīng)用PTD,得到其遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)計(jì)算公式為

(12)

式中:Ie和Im分別表示等效電流和等效磁流,表達(dá)式為

(13)

(14)

在實(shí)際應(yīng)用PTD算法的過(guò)程中,往往需要判斷經(jīng)三角形剖分后的目標(biāo),其三角形的各邊能否構(gòu)成劈形結(jié)構(gòu),如圖5所示。當(dāng)相鄰的面元與之間處于同一個(gè)平面內(nèi)并且不構(gòu)成目標(biāo)的棱邊時(shí),不存在棱邊繞射現(xiàn)象;對(duì)于具有公共邊的一對(duì)三角面片,當(dāng)它們構(gòu)成劈形結(jié)構(gòu)且兩面片均被照亮?xí)r,目標(biāo)的棱邊繞射場(chǎng)為總場(chǎng)的二分之一,但當(dāng)其只有一個(gè)被照亮?xí)r,棱邊繞射場(chǎng)可由(12)式得出。

圖5 將三角形的棱邊分為三類

將PO散射場(chǎng)和3個(gè)棱邊的繞射場(chǎng)相疊加,便可得到修正后的PO區(qū)域總的散射場(chǎng)。其中,PO散射場(chǎng)可根據(jù)JPO求得。棱邊的繞射場(chǎng)主要由入射電磁場(chǎng)以及MoM區(qū)域與PO區(qū)域的耦合電磁場(chǎng)所產(chǎn)生。入射電磁場(chǎng)所產(chǎn)生的棱邊繞射場(chǎng)可由式(12)求得。

記耦合電磁場(chǎng)所產(chǎn)生的電磁場(chǎng)為EMoM,可表示為

EMoM=LE(JMoM)

(15)

LE(X)=

(16)

將式(1)代入(16)即可求得EMoM,再將式(15)代入式(12),求解得到MoM區(qū)域與PO區(qū)域的耦合電磁場(chǎng)所產(chǎn)生的棱邊繞射場(chǎng)。最后,將PO位置所含的三角面片計(jì)算得到的散射場(chǎng)開(kāi)展矢量相加,結(jié)果就是總的散射場(chǎng)。

3 數(shù)值算例

3.1 MoM-PO算法計(jì)算載體上方天線方向圖

為了對(duì)該算法的有效性開(kāi)展驗(yàn)證,首先對(duì)電大載體平臺(tái)影響線天線方向圖的情況開(kāi)展分析,并跟MoM算法開(kāi)展對(duì)比。

算例一為2 m×2 m×2 m的立方體前方1.75 m處有一半波對(duì)稱振子天線,天線的工作頻率f為1 GHz,如圖6所示。計(jì)算時(shí)選擇天線為MoM區(qū),立方體為PO區(qū)。分別采用傳統(tǒng)混合方法和改進(jìn)后的計(jì)算方法計(jì)算,總的未知數(shù)目2 650。兩種計(jì)算方法的運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)和輻射方向分別通過(guò)表1和圖7獲取。由表1可以看出經(jīng)過(guò)八叉樹(shù)和后向追蹤優(yōu)化的算法,在判斷面片的遮擋時(shí)所需時(shí)間明顯減少,時(shí)間加速比為7.3。在圖7中,黑線和藍(lán)線分別表示MoM和MoM-PO/PTD方法的計(jì)算結(jié)果。由圖7可以看出,MoM-PO/PTD和MoM算法吻合較好,表明經(jīng)過(guò)PTD算法的修正,在210°～300°附近,天線方向圖的誤差明顯減小,計(jì)算精度有了顯著提高。

圖6 天線位于立方體前

圖7 位于立方體前的天線方向圖

算例二為半波對(duì)稱振子天線位置與5 m×2 m×2 m的簡(jiǎn)易船模型上方2 m處,天線的工作頻率f為1 GHz,如圖8所示。計(jì)算時(shí)選擇天線為MoM區(qū),而船為PO區(qū)。分別采用傳統(tǒng)混合方法和改進(jìn)后的計(jì)算方法計(jì)算,總的未知數(shù)目5 430。兩種算法的運(yùn)行時(shí)間由表1給出,時(shí)間加速比為7.7。天線的輻射方向圖由圖9給出,其中,黑線表示MoM計(jì)算結(jié)果,藍(lán)線表示本文算法計(jì)算結(jié)果?？梢钥闯?本文算法和MoM算法吻合較好,結(jié)果表明天線方向圖在-30°～30°范圍內(nèi)的誤差減小,計(jì)算精度顯著提高。

圖8 天線位于艦船上方

圖9 位于艦船上方的天線方向圖

3.2 MoM-PO算法計(jì)算散射場(chǎng)

算例三為底面尺寸2 m×2 m×0.5 m的立方體,上方為0.5 m×0.5 m和1 m×1 m的兩個(gè)平板,如圖10所示。計(jì)算時(shí)選擇立方體上方兩平板為MoM區(qū),其余部分為PO區(qū),總的未知數(shù)目為1 524。采用平面波照射,入射角θ=-90°～90°,φ=0°,入射波頻率f=1 GHz,極化方式為HH極化。表1給出了兩種算法的運(yùn)行時(shí)間,時(shí)間加速比為6.5。圖11給出了傳統(tǒng)混合算法和修正后混合算法與MoM算法的單站散射場(chǎng)計(jì)算結(jié)果比較,其中,黑線表示MoM計(jì)算結(jié)果,藍(lán)線表示本文算法計(jì)算結(jié)果,可以看出,本文算法和MoM算法吻合較好。

圖10 底面長(zhǎng)方體及上面兩平板

表1 算法運(yùn)行時(shí)間比較

圖11 立方體上兩平板的單站RCS結(jié)果

算例4為長(zhǎng)為3 m的導(dǎo)彈模型,如圖12所示。計(jì)算時(shí)選擇導(dǎo)彈兩翼和尾翼為MoM區(qū),其余部分為PO區(qū),總的未知數(shù)目為1 200。采用平面波照射,入射角θ=-90°～90°,φ=0°,入射波頻率f=1 GHz,極化方式為HH極化。兩種方法的計(jì)算時(shí)間由表1給出,時(shí)間加速比為6.2。由圖13可以得出在計(jì)算較為復(fù)雜的模型時(shí),該算法同樣具有較高的精度。

圖12 導(dǎo)彈模型

圖13 導(dǎo)彈模型的單站RCS結(jié)果

算例5為5 m×1 m×1 m的艦船,如圖14所示。計(jì)算時(shí)選擇甲板上方為MoM區(qū)域,其余部分為PO區(qū)域,總未知數(shù)為7 646。采用平面波照射,入射角θ=-90～90°,φ=0°,入射波頻率f=1 GHz,極化方式為HH極化。表1給出了兩種算法的運(yùn)行時(shí)間,時(shí)間加速比為7.5。圖15給出了傳統(tǒng)混合算法和修正后混合算法與MoM算法的單站散射場(chǎng)計(jì)算結(jié)果比較,其中,黑線和藍(lán)線分別描繪的是利用MoM算法和本文算法得到的結(jié)果,能夠發(fā)現(xiàn),本文算法跟MoM算法具有很好的吻合度,從而對(duì)本文算法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

圖14 艦船模型

圖15 艦船模型的單站RCS結(jié)果

4 結(jié) 論

本文針對(duì)電大載體平臺(tái)上的線天線輻射問(wèn)題以及目標(biāo)的電磁散射問(wèn)題,提出了基于八叉樹(shù)的MoM-PO/PTD快速混合算法。從文中所給的算例以及表1可以看出該算法計(jì)算所需時(shí)間大幅減少,時(shí)間加速比為6～7倍。與此同時(shí),采用PTD算法進(jìn)行修正后目標(biāo)的散射以及輻射的計(jì)算精度有了明顯提升。