張雷雷, 解 龍, 高 旭, 孫天宇, 張 峰

(1.西安現代控制技術研究所, 陜西 西安 710065; 2.西北工業(yè)大學 力學與土木建筑學院, 陜西 西安 710129)

0 引 言

隨著近年來常規(guī)彈藥向多用途和智能化擴展,其高成本使得可靠性鑒定試驗難以采用普通彈藥的大樣本量考核方式[1-2]。目前在小子樣系統(tǒng)可靠性評定領域,由于貝葉斯理論能夠有效整合驗前試驗信息與現場試驗信息,并對系統(tǒng)可靠性作出客觀評價,取得了不少有意義的研究成果[3-11]。如文獻[3]提出一種改進美國陸軍裝備系統(tǒng)分析中心增長模型的可靠性貝葉斯評定方法,并成功應用于某數字控制系統(tǒng);文獻[4]針對復雜液體推進系統(tǒng)提出了基于馬爾可夫鏈蒙特卡羅法的貝葉斯評估方法,有效解決了貧信息下可靠性評估困難的問題;文獻[5]提出借助最大熵方法對驗前分布進行確定,然后再進行可靠性評定的方法;文獻[6]以某航天系統(tǒng)為研究對象,提出融合多源信息和專家知識的貝葉斯可靠性評估方法;文獻[7]基于貝葉斯理論提出了對航空發(fā)動機渦輪盤的可靠性評定方法,取得了有效的評定結果;文獻[8]針對小樣本情形下零失效型部件的可靠性評估問題,基于威布爾模型和貝葉斯理論建立了綜合可靠性評估模型及求解方法;文獻[9]將模糊數學和灰色系統(tǒng)理論引入貝葉斯網絡模型中,提出了一種基于不確定隸屬度函數和區(qū)間特征量的復雜不確定系統(tǒng)可靠性分析方法;文獻[10]針對高可靠、長壽命產品的可靠性評估,提出了一種無失效數據下的貝葉斯估計方法,在保證評估精度的情況下顯著降低了樣本量;文獻[11]結合動態(tài)離散時間貝葉斯模型和故障樹模型,解決了不確定條件下的動態(tài)系統(tǒng)可靠性評估問題,并成功應用于動車制動系統(tǒng)。

雖然應用貝葉斯理論進行小子樣可靠性評估已得到了工程界的普遍共識,但在驗前信息與現場信息“異母體”下的有效折合及驗前信息為多源情形下的貝葉斯驗前分布構建方面,依然是目前難點所在[6-13]。諸多學者所提方法不一,總體來說與所研究對象關聯性較強,呈現一定程度的“案例式”研究特點,無法直接應用于高價值彈藥領域。彈藥研制過程中,其技術狀態(tài)會經歷原理樣機、工程樣機等階段,試驗環(huán)境會與實際工作環(huán)境有所差異,與已定型相似裝備會存在一定功能和硬件的沿用[2]。這些特點使其可靠性特征具有時間上的動態(tài)特性、環(huán)境上的差異特性和對象上的關聯特性,現有方法難以充分挖掘和利用這些特性背后所關聯的樣本量數據以有效補充小容量現場樣本,因此需要探究新的高效可靠性評定方法。

著名科學家錢學森于上世紀七十年代提出“小子樣變動統(tǒng)計”[14-15]的概念,為少量試射情況下對武器裝備的精度指標進行評估和鑒定提供了思路。其概念可近似歸納如下:對于多個相互關聯的不同總體,例如具有不同來源的多組樣本,或者同一對象在不同階段、不同時段所生成的樣本,通過統(tǒng)計建模和參數估計獲得關于某一總體的更多知識或各個總體之間的內在關聯和變動關系,完成統(tǒng)計推斷、趨勢預測、統(tǒng)計決策等。高價值彈藥的樣本特征具備小子樣變動統(tǒng)計的特點,因此可借助小子樣變動統(tǒng)計的思想進行可靠性綜合建模和分析。但該思想發(fā)展至今,由于缺乏系統(tǒng)的理論基礎,還未形成成熟的方法體系,目前明確提出“小子樣變動統(tǒng)計”這一術語并進行相關研究的文獻還較少,因此如何基于小子樣變動統(tǒng)計思想對高價值彈藥可靠性進行建模將是本文的研究重點。

本文擬采用“小子樣變動統(tǒng)計”思想建立高價值彈藥的可靠性綜合評定模型,將不同研制階段、環(huán)境鑒定試驗、已定型相似裝備外場使用等獲得的成敗型統(tǒng)計數據作為歷史樣本,引入信息熵和條件熵理論對歷史樣本與現場小容量樣本在“異母體”下的多源數據融合進行研究,獲得各類歷史樣本的融合權重。構建多源混合先驗分布,基于融合驗前分布和現場樣本,推導得到失效概率的貝葉斯驗后分布,從而實現對高價值彈藥可靠性置信下限的貝葉斯統(tǒng)計推斷。最后,以某型高價值彈藥為應用對象,驗證了本文方法的有效性和合理性。

1 可靠性建模

1.1 彈藥裝備研制中存在的變動統(tǒng)計問題

彈藥裝備在研制過程中會經歷原理樣機、工程樣機等典型階段,每個階段都會開展一定量的外場發(fā)射飛行試驗,因此積累了可一定程度上表征可靠度的樣本數據,但由于每個階段伴隨有部分設計上的優(yōu)化迭代,使其與最終項目定型時的樣本特征有一定差異;工程樣機階段彈藥會經歷一系列環(huán)境鑒定試驗,如高溫、低溫、濕熱等典型單應力環(huán)境,因此會積累一定量的樣本數據,而彈藥的可靠性特征與所處環(huán)境密不可分,在不同的環(huán)境條件下會呈現出不同的水平;武器裝備的研制普遍具有一定繼承性,彈藥類產品更是如此。部分彈上部件通常沿用其他已定型相似彈藥的技術成熟產品或貨架產品,而相似彈藥在定型及部隊演習過程中已積累較多的外場靶試數據,一定程度上可以反映當前在研彈藥組成部件的可靠性水平。

上述3種情況分別體現了彈藥可靠性在研制階段上呈現的動態(tài)特性、環(huán)境上呈現的差異特性和相似裝備上呈現的關聯特性。這些特性背后所關聯的的三類歷史樣本與待鑒定彈藥定型時的現場樣本在可靠性特征上存在較多相似性,但又有一定差異性,因此高價值彈藥的可靠性綜合評定屬于典型的小子樣變動統(tǒng)計范疇。

1.2 基于小子樣變動統(tǒng)計的彈藥可靠性建模

將待鑒定彈藥的可靠性特征在時間上具有的動態(tài)特性、環(huán)境上具有的差異特性、對象上具有的關聯特性分別記為X、Y、Z,則彈藥的可靠性函數可記為

R=Φ(X,Y,Z)

(1)

將待鑒定彈藥的研制階段劃分為A,B,…,表示原理樣機階段、工程樣機階段等不同的研制階段,不同階段的外場飛行試驗樣本量記為[(nA,xA),(nB,xB),…],其中n為試驗總數,x為試驗成功數。

LM法[4]是由Lindstorm和Madden提出的近似方法,適用于多個部件(或子系統(tǒng))串聯組成的系統(tǒng)。若某系統(tǒng)由m個子系統(tǒng)組成,第j子系統(tǒng)在nj次試驗中有rj次失效、xj次成功,則系統(tǒng)可靠性RS的極大似然估計為

(2)

(3)

最后,針對不同歷史樣本與現場樣本之間“異總體”問題,引入相似系數ρ表征各歷史樣本向現場樣本的接近程度,則式(1)可進一步表征如下:

(4)

式中:n*,x*分別為現場試驗數和現場成功數。

由此便得到了彈藥裝備基于小子樣變動統(tǒng)計的可靠性模型,關于相似系數ρ和可靠性特征量R的確定,下文將分別引入條件熵理論和貝葉斯理論進行研究,最后基于實際工程案例進行方法有效性驗證。

2 可靠性綜合評定

2.1 “異母體”情形下的驗前信息預處理

上世紀40年代Shannon提出了信息熵[16]的概念,首次將事件的不確定度進行了理論上的量化處理。變量離散形式下信息熵的定義為

(5)

式中：x為事件X的可能取值結果；χ為所有結果組成的集合。進一步,給出條件熵的定義如下:

log2p(x|y)

(6)

式中:H(X|Y)表示已知Y的情況下X的不確定度。

可見,信息熵以定量化的手段描述了信息的不確定度,條件熵描述了在已知某種信息情形下該信息的剩余不確定度[17-18]。

基于上述思想,可考慮以信息熵和條件熵模型對無歷史樣本下可靠度R的不確定性和有歷史樣本下可靠度R的不確定性進行量化,兩種不確定度的差值即為引入歷史樣本后對消除可靠度R不確定性的貢獻值,貢獻值占原不確定值的比例越大,說明該歷史樣本向現場樣本的可靠性特征越接近,即相似系數越高。具體方法如下:

(1)無歷史樣本時,在獲得現場樣本X=(n*,x*)(其中n*為試驗數,x*為成功數)后,條件熵即為可靠性參數R自身的信息熵

(7)

式中：π0(R|X)為可靠度R的后驗概率密度函數。

對于試驗結果服從二項分布的彈藥裝備來說,在無任何先驗信息下,可用(0,1)上的均勻分布作為可靠度R的先驗分布

則樣本X與參數R的聯合分布h(X,R)為

進一步求解樣本X的邊際分布

最后得到R的后驗分布,即

(8)

式(8)剛好是參數為x+1和n-x+1的貝塔分布,記為β(x+1,n-x+1)。

將式(8)代入式(7)即可得到可靠度R的信息熵H0(R),具體表達式如下:

(2)引入某類歷史樣本Xi=(ni,xi)時,可設彈藥可靠度R的先驗分布為其共軛先驗分布β(a,b)。在貝葉斯統(tǒng)計中,如果后驗分布與先驗分布具有相同的函數形式,則先驗分布被稱為共軛先驗分布[19]。其優(yōu)點在于代數上的方便性,可以直接獲得后驗分布的封閉形式,否則只能數值計算。目前常見的一些分布都已通過證明獲得其共軛先驗分布,如二項分布中以“成功概率”為參數的共軛先驗分布為貝塔分布,泊松分布中以“均值”為參數的共軛先驗分布為伽馬分布。

關于貝塔分布β(a,b)中超參數a,b的確定可基于先驗矩方法,過程為:將基于歷史數據獲得的關于可靠度R的若干估計值記為θ1,θ2,…,θk,由此可計算前兩階先驗矩μ1和μ2:

然后令其分別等于貝塔分布的一、二階矩,即可求解獲得超參數a,b的值。

基于現場樣本X=(n*,x*)易推導得到后驗分布為

πi(R|(X,Xi))=β(a+x*,b+n*-x*)

則條件熵Hi(R)的求解公式為

(9)

式中:Hi(R)表示第i類歷史樣本存在下可靠度R的不確定值,具體表達式為

(3)由于獲得了第i個來源的驗前信息而使參數R的信息熵的損失比為

(10)

顯然,KΔHi(R)越大,表示第i個來源的驗前信息對消除可靠度R的不確定性所作的貢獻越大。

(4)對KΔHi(R)進行歸一化處理,作為繼承因子值ρi:

(11)

式中:N表示歷史樣本的類別總數。

上述過程將多源先驗信息納入統(tǒng)一框架,為構建可靠度R的貝葉斯多源混合先驗函數奠定了基礎。

2.2 可靠性特征量的貝葉斯統(tǒng)計推斷

彈藥在可靠性鑒定過程中,外場飛行試驗結果為“成功”和“失敗”兩種,服從二項分布[20]。對于二項分布,當隨機變量為成功概率(即可靠度R)時,其共軛先驗分布為貝塔分布。β(a,b)分布的概率密度函數為

(12)

式中:R為隨機變量;a和b為超參數?？苫谙闰灳胤椒ㄇ蠼獬瑓?在此不再贅述。

利用貝葉斯理論進行統(tǒng)計推斷的前提是樣本來源于同一總體,因此式(12)無法直接作為本文彈藥可靠度R的先驗分布函數。第2.1節(jié)繼承因子ρ的確定解決了歷史樣本與現場樣本“異總體”的量化描述問題,因此可構造基于貝塔分布和繼承因子ρ的多源加權混合先驗分布函數:

(13)

式中:N為歷史樣本類別數。

樣本X和參數R的聯合分布為

h(X,R)=p(X|R)π(R)

(14)

式(14)將總體信息、樣本信息和先驗信息3種可用的信息都綜合在了一起。

將h(X,R)作如下分解:

h(X,R)=π(R|X)m(X)

式中:m(X)為X的邊際密度函數,即

可見能用來對R作出推斷的僅僅是條件分布π(R|X),其求解公式為

(15)

在樣本X給定下,式(15)即為R的后驗分布的概率密度函數形式。

對于彈藥可靠性評估,工程界一般較為關注可靠度置信下限。給定單側置信度C,可靠度R的置信下限可通過如下公式進行求解:

(16)

由此,完成了對高價值彈藥的可靠性綜合評定。

3 工程案例

某改型高價值彈藥,研制總要求中對其可靠性指標規(guī)定為:可靠度單側置信下限不小于0.9。已知定型試驗前,收集的有效先驗信息如表1所示,除去兩個新研電子部件,其余都為沿用該基型彈藥的成熟產品。兩個新研部件在工程樣機鑒定階段中開展了模擬外場飛行的地面可靠性鑒定試驗,成敗型數據由計量型數據轉換而得?，F需要據此制定該型待鑒定彈藥在定型階段的可靠性考核方案。

表1 先驗數據

以現場樣本為[n,x]=[10,10]為例,基于第2.1節(jié)方法可得到歷史樣本1和2的繼承因子值分別為0.43和0.57?；诶^承因子和貝塔分布構建混合先驗分布函數,其函數圖像如圖1所示,同時給出了分別基于兩類歷史樣本的單先驗分布圖。不難發(fā)現,混合先驗分布是對兩類歷史樣本分別對應先驗分布的合理融合,比較符合工程實際?；?.2節(jié)方法推導求解可靠度R的后驗分布函數,對應函數圖像如圖2所示,基于該后驗分布即可完成對可靠度等參數的求解計算。

圖1 可靠度R的混合先驗分布

圖2 可靠度R的后驗分布

目前彈藥裝備定型階段的可靠性評估方法主要依據GB/T 4087—2009《數據的統(tǒng)計處理和解釋 二項分布可靠度單側置信下限》,可靠度單側置信下限的計算公式如下:

(17)

式中:RL為可靠度單側置信下限;n為樣本總數;f為失敗數;γ為置信度。

圖3給出了基于本文方法分別在0失效和1失效情形下,該型彈藥可靠度置信下限隨用彈量的變化曲線。同時給出了基于式(16)的傳統(tǒng)可靠性評估方法下的可靠度隨用彈量變化曲線。可見,傳統(tǒng)方法在0失效和1失效下靶試用彈量至少分別為22發(fā)和38發(fā)才能達到0.9的可靠度,而引入有效先驗數據后基于本文方法在評估精度不變的情況下只分別需要13發(fā)和25發(fā)的靶試量,用彈量分別降低了41%和34%。

圖3 本文方法與傳統(tǒng)方法結果對比

4 結 論

針對高價值彈藥在可靠性評估中高可靠度、置信度與高用彈量之間的沖突問題,綜合利用變動統(tǒng)計理論、信息熵與條件熵理論及貝葉斯理論,建立了適用于彈藥裝備的小子樣可靠性綜合評定方法。以某型高價值彈藥為應用對象,對本文方法的應用過程進行了說明,給出了該型彈藥在高可靠度、高置信度指標要求下的合理用彈量方案,進一步驗證了該方法的合理性和可行性。本文方法可直接應用于失效服從二項分布的高價值裝備可靠性綜合評估中,而對于服從指數分布、正態(tài)分布等其他分布類型的可靠性數據,有待進一步研究給出基于小子樣變動統(tǒng)計的可靠性評估方法。本文方法可擴展至武器裝備的小子樣測試性綜合評定領域。