蔡忠義, 王澤洲, 陳云翔, 項(xiàng)華春, 王莉莉

(1.空軍工程大學(xué)裝備管理與無人機(jī)工程學(xué)院, 陜西 西安 710051;2.中國人民解放軍93920部隊(duì), 陜西 漢中 723200)

0 引 言

出于保證飛行安全和任務(wù)完成的需要,機(jī)載設(shè)備普遍具有高可靠、長壽命等特點(diǎn),導(dǎo)致傳統(tǒng)壽命試驗(yàn)和退化試驗(yàn)難以快速地獲取足夠的壽命/退化數(shù)據(jù)來確保剩余壽命預(yù)測的準(zhǔn)確性和維修決策的科學(xué)性。針對傳統(tǒng)壽命/退化試驗(yàn)方法存在的不足,能夠快速經(jīng)濟(jì)地獲取設(shè)備退化數(shù)據(jù)的加速退化試驗(yàn)得到了普遍關(guān)注,實(shí)現(xiàn)了廣泛應(yīng)用[1-2]。

機(jī)載設(shè)備常需要在高空、低壓、低溫、高振的環(huán)境下工作,運(yùn)行環(huán)境的復(fù)雜多變性導(dǎo)致其退化的不確定性進(jìn)一步加劇。由于Wiener隨機(jī)過程在描述退化的時(shí)變不確定上具有天然優(yōu)勢,因此多被用于對機(jī)載設(shè)備進(jìn)行退化建模。Wiener過程也稱布朗運(yùn)動(dòng)過程,其在加速應(yīng)力(溫度)條件下將體現(xiàn)出更強(qiáng)的運(yùn)動(dòng)不確定性,因而現(xiàn)有研究多假設(shè)加速應(yīng)力既影響Wiener過程的漂移系數(shù)又影響擴(kuò)散系數(shù),體現(xiàn)出對退化過程的綜合影響。目前,基于上述假設(shè)的研究已圍繞電纜、發(fā)光二極管(light emitting diode,LED)、加速度計(jì)等設(shè)備開展了實(shí)例分析,取得了一定成果[3-6]。例如,火箭軍工程大學(xué)的唐圣金等人基于線性退化過程構(gòu)建加速模型,并利用某型激光器的步進(jìn)加速退化數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)了對設(shè)備剩余壽命的預(yù)測,取得了良好效果[7]。然而,線性Wiener模型不具備普遍的適用性,導(dǎo)致該方法的應(yīng)用受限。針對上述研究的不足,Hao[8]和Cai[9]等將非線性Wiener過程引入加速退化建模,并考慮了隨機(jī)效應(yīng)和測量誤差對模型的不確定影響,從而建立了更具一般性的加速退化模型。然而,上述研究均認(rèn)為加速應(yīng)力僅與Wiener過程漂移系數(shù)存在函數(shù)關(guān)系,將擴(kuò)散系數(shù)視為不隨應(yīng)力變化的常數(shù),而未考慮到應(yīng)力水平提升對退化不確定性增加的同步影響,從而在一定程度上影響了方法的準(zhǔn)確性。針對上述方法存在的不足,Liu等[10]認(rèn)為加速應(yīng)力將同步影響漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù),并構(gòu)建新的Wiener加速退化模型,有效提升了退化建模和剩余壽命預(yù)測的準(zhǔn)確預(yù)測。然而,該方法將漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)視作獨(dú)立變量分別建立加速模型,未能充分考慮漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)存在的關(guān)聯(lián)關(guān)系,影響了預(yù)測精度的提升。為此,Wang等[11]采用特定共軛先驗(yàn)分布來描述漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)間的關(guān)聯(lián)關(guān)系,并基于非線性Wiener過程建立了設(shè)備的加速退化模型。但該方法在建立退化模型的過程中,默認(rèn)Wiener過程中的漂移/擴(kuò)散系數(shù)服從類似正態(tài)-伽馬分布的共軛先驗(yàn)分布,而當(dāng)漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)不服從該分布類型時(shí),此方法得到的剩余壽命預(yù)測結(jié)果缺乏可信性。進(jìn)一步,考慮到加速退化試驗(yàn)需滿足的加速因子不變準(zhǔn)則,文獻(xiàn)[12]提出了加速應(yīng)力下漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)的比例關(guān)系假設(shè),并據(jù)此構(gòu)建加速退化模型,提升了剩余壽命預(yù)測方法的有效性。然而,該模型無法應(yīng)用于加速應(yīng)力場合,且未考慮個(gè)體差異和測量誤差對退化建模的影響。

在上述剩余壽命預(yù)測研究中,均需要多個(gè)退化試驗(yàn)樣本才能確保參數(shù)估計(jì)與剩余壽命預(yù)測的準(zhǔn)確性。但在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中,出于節(jié)約試驗(yàn)成本的考慮和產(chǎn)品研制進(jìn)度的制約,在研制階段參與加速退化試驗(yàn)的機(jī)載設(shè)備樣本數(shù)量往往很少,甚至可能只有一個(gè)。這種立足于單一設(shè)備狀態(tài)檢測數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)推導(dǎo)剩余壽命概率分布的方法稱為設(shè)備剩余壽命的自適應(yīng)預(yù)測方法,目前國內(nèi)外關(guān)于此內(nèi)容的研究不多。孫國璽等[13]將設(shè)備的退化過程刻畫為一種基于隨機(jī)系數(shù)的非線性回歸模性,并在貝葉斯框架下利用期望最大化(expectation maximization, EM)算法實(shí)現(xiàn)了對設(shè)備剩余壽命的自適應(yīng)估計(jì)。然而,該方法假設(shè)設(shè)備的非線性回歸過程滿足指數(shù)過程,具備嚴(yán)格的單調(diào)性。難以準(zhǔn)確反映非單調(diào)退化設(shè)備的真實(shí)退化特性,降低了模型的適用性,影響了剩余壽命預(yù)測的準(zhǔn)確性。考慮到設(shè)備退化存在的單調(diào)/非單調(diào)可能,司小勝等[14]將Wiener過程引入傳統(tǒng)剩余壽命自適應(yīng)預(yù)測研究,提出綜合運(yùn)用EM算法和卡爾曼濾波(Kalman filter, KF)方法來實(shí)時(shí)估計(jì)設(shè)備的真實(shí)退化狀態(tài)和在線更新退化模型參數(shù)。并通過單個(gè)陀螺儀的實(shí)測退化數(shù)據(jù),對所提方法進(jìn)行了驗(yàn)證。在司小勝等[14]研究的基礎(chǔ)上,Feng等[15]將其拓展至非線性場景,提出了基于EM和擴(kuò)展KF(extended KF, EKF)的剩余壽命自適應(yīng)預(yù)測方法,并就鋰電池的性能退化數(shù)據(jù)開展了分析。然而,司小勝等[14]和Feng等[15]的研究均未考慮個(gè)體差異對設(shè)備剩余壽命預(yù)測的影響,也無法在加速應(yīng)力環(huán)境下進(jìn)行應(yīng)用。

針對現(xiàn)有研究存在的不足,本文綜合考慮單一加速退化試驗(yàn)樣本和漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)的比例關(guān)系對機(jī)載設(shè)備剩余壽命預(yù)測的影響,開展了單臺機(jī)載設(shè)備加速退化試驗(yàn)條件下的退化模型構(gòu)建與剩余壽命預(yù)測研究。首先,基于加速因子不變準(zhǔn)則建立了設(shè)備的比例加速退化模型,并同步考慮了測量誤差與個(gè)體差異;其次,基于KF原理在線更新設(shè)備的退化狀態(tài);然后,針對加速退化試驗(yàn)僅有單一樣本的情形,提出基于EM-KF算法的參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)方法;最后,基于全概率公式推導(dǎo)出剩余壽命的概率密度函數(shù)。通過對單臺行波管加速退化試驗(yàn)的實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,驗(yàn)證了方法的合理性和有效性。

1 比例加速退化模型

基于Wiener過程的一般退化模型如下所示：

X(t)=X(0)+αt+βB(t)

(1)

由式(1)易知,其退化過程為線性過程。而在真實(shí)環(huán)境下,設(shè)備退化過程對線性/非線性兼而有之,因此更具一般性的非線性退化模型具有普遍的適用性,其具體表達(dá)式為

X(t)=X(0)+αφ(t|θ)+βB(φ(t|θ))

(2)

式(2)也被稱為時(shí)間尺度變換模型。其中,φ(t|θ)表示時(shí)間t的非線性函數(shù),θ表示未知參量。

文獻(xiàn)[16]證明了加速因子不變準(zhǔn)則,即在加速試驗(yàn)有效的前提下,加速應(yīng)力將同步影響退化模型的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù),且影響程度同漂移系數(shù)或擴(kuò)散系數(shù)的平方成正比,由此可得

(3)

式中：S1與S2分別表示加速應(yīng)力;AS1,S2是一個(gè)僅與應(yīng)力大小有關(guān)的參數(shù);αS1,αS2,βS1,βS2則分別對應(yīng)不同加速應(yīng)力條件下的漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)。

則由式(3)易得

(4)

式中：ρ為比例系數(shù)。由于加速應(yīng)力S1與S2具有任意性,則對于式(2)所示退化過程,可知式(4)恒成立。

設(shè)備加速模型的一般形式可表示為

α=g(S|κ)

(5)

其中,κ為未知參量。

則將式(4)與式(5)帶入式(2)即可得到比例加速退化模型:

(6)

考慮到狀態(tài)監(jiān)測過程中由于測量方法、環(huán)境影響等對設(shè)備退化狀態(tài)獲取產(chǎn)生的不確定性影響,本文將測量誤差引入比例加速退化模型,可得

(7)

2 基于KF的退化狀態(tài)在線更新

為便于分析,本文基于指數(shù)加速加速模型進(jìn)行分析,其他加速模型分析過程與該模型相同,在此不再加以贅述。指數(shù)加速模型的一般表達(dá)式為

g(S|κ)=aexp(bS)

(8)

式中：κ=[a,b];S為電應(yīng)力。

(9)

接下來,本文基于KF原理對設(shè)備的退化狀態(tài)進(jìn)行在線更新。假設(shè)ti|Sj為目標(biāo)設(shè)備的第i個(gè)監(jiān)測時(shí)刻,且其對應(yīng)的加速應(yīng)力為Sj,則Yi=Y(ti|Sj)與Xi=X(ti|Sj)分別為對應(yīng)時(shí)刻設(shè)備性能退化量監(jiān)測值和真實(shí)值;而Y1:k=[Y1,Y2,…,Yk]則表示直至tk時(shí)刻已獲取的全部退化數(shù)據(jù)。

聯(lián)立式(7)與式(8)可得比例加速退化模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程,具體可表示為

(10)

式中：Δφ(tk|θ)=φ(tk|θ)-φ(tk-1|θ),t0=0;且易知B(Δφ(tk|θ))=B(φ(tk|θ))-B(φ(tk-1|θ))。

由于式(10)中存在非線性函數(shù)Δφ(tk|θ),導(dǎo)致傳統(tǒng)KF方法無法應(yīng)用。針對此類情形,通常需要采用諸如文獻(xiàn)[15]中提出的EKF方法來對退化模型的狀態(tài)進(jìn)行更新。但該方法需要利用冪級數(shù)展開的方式來實(shí)現(xiàn)對非線性函數(shù)的線性化處理,從而極大增加了迭代的復(fù)雜性,且其產(chǎn)生的高階無窮小項(xiàng)也會(huì)引起不確定誤差。為了解決上述問題,本文采用一種直接的線性化方法來對式(10)進(jìn)行處理,從而有效簡化了KF迭代的過程,提升了狀態(tài)估計(jì)的準(zhǔn)確性。

不妨令:

(11)

(12)

(13)

L=[1,0]

(14)

由此可得

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

基于上述分析,可給出KF的具體更新過程為

(20)

Pk|k=Pk|k-1-KkLPk|k-1

(21)

(22)

(23)

(24)

其中,

3 基于EM-KF的參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)

進(jìn)一步,基于式(15)給出的設(shè)備狀態(tài)方程,可得

L(ψ)=lnP(Z0:k,Y1:k|ψ)=

lnP(Z0:k|Y1:k,ψ)+lnP(Y1:k|ψ)=

(25)

式中：Y1:k為實(shí)時(shí)監(jiān)測得到的設(shè)備退化數(shù)據(jù);P(Z0:k,Y1:k|ψ)為Y1:k與Z0:k在給定退化參數(shù)ψ條件下的聯(lián)合概率密度。

基于本文假設(shè),易知:

(26)

Zi|Zi-1,ψ～N(AiZi-1,Qi)

(27)

(28)

(29)

進(jìn)一步,將上述結(jié)果代入式(25),可得:

L(ψ)=lnP(Z0:k,Y1:k|ψ)∝

(30)

步驟 1對式(30)求解關(guān)于Z的期望值,也稱E步。

(31)

步驟 2求式(31)對應(yīng)的極大值,也稱M步。

式(31)包含未知參數(shù)多,且其估計(jì)結(jié)果隨設(shè)備退化狀態(tài)更新結(jié)果的變化而變化,因此無法通過解析法直接進(jìn)行求解。為此,本文利用文獻(xiàn)[17]中提出的RTS(rauch tung striebel)后向平滑濾波器來對其進(jìn)行估計(jì)。其具體求解過程如下:

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

利用RTS基本原理可得

(39)

基于上述分析,可將式(31)轉(zhuǎn)為

(40)

其中:

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

4 設(shè)備剩余壽命自適應(yīng)預(yù)測

設(shè)備的壽命T通常被定義為其性能退化量首次超過預(yù)設(shè)失效閾值D的時(shí)間,對應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

T=inf{t:X(t)≥D|X(0)

(47)

若設(shè)備退化過程如式(2)所示,則其壽命的概率密度函數(shù)可表示為[18]

(48)

設(shè)備的剩余壽命一般是指從當(dāng)前時(shí)刻tk運(yùn)行至設(shè)備失效的時(shí)間間隔,參照設(shè)備壽命的定義式,易于給出剩余壽命的定義式為

L=inf{lk:X(tk+lk)≥D|X(0)

(49)

(50)

(51)

對應(yīng)設(shè)備壽命的概率密度函數(shù)式(48),將失效閾值D變更為D-xk,將壽命的非線性函數(shù)φ(t|θ)變更為剩余壽命的非線性函數(shù)ψ(lk),進(jìn)而可得基于時(shí)間尺度模型的剩余壽命概率密度函數(shù)為

(52)

若給定ak,Xk,Sj,并將加速退化模型式(8)與比例關(guān)系模型式(4)代入式(52),即可得到式(7)所示非線性比例加速退化模型的剩余壽命條件概率密度函數(shù)為

(53)

由二維正態(tài)分布性質(zhì)可知,ak與Xk分別滿足如下條件概率分布:

ak|Y1:k～N(E(ak|Y1:k),D(ak|Y1:k))

(54)

Xk|ak,Y1:k～

(55)

基于全概率公式,即可實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)設(shè)備剩余壽命的自適應(yīng)預(yù)測,且對應(yīng)的剩余壽命概率密度函數(shù)與累積分布函數(shù)分別為

P(Xk|ak,Y1:k)·P(ak|Y1:k)dXkdak

(56)

(57)

5 實(shí)例分析

行波管是機(jī)載導(dǎo)航、雷達(dá)、電子對抗系統(tǒng)的核心部件,具備高可靠性、高價(jià)值、長壽命的特點(diǎn)。本文基于某型行波管單臺加速退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,如圖1所示,具體試驗(yàn)條要求如下:

圖1 行波管加速退化數(shù)據(jù)

(1)行波管的性能退化量選用陰極發(fā)射電流;

(2)行波管以加速應(yīng)力8 A/cm2(加速應(yīng)力為電流密度,且其正常工作應(yīng)力約為1 A/cm2)進(jìn)行恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn);

(3)當(dāng)行波管的陰極發(fā)射電流下降至初始時(shí)刻的10%時(shí)可認(rèn)為該行波管發(fā)生失效(對應(yīng)的真實(shí)壽命為7 000 h)。

由圖1可以發(fā)現(xiàn),行波管的退化路徑具有明顯的非線性特征,且對該行波管性能退化增量進(jìn)行K-S假設(shè)檢驗(yàn)后不能拒絕其服從正態(tài)分布的假設(shè),從而表明采用非線性Wiener過程對該行波管進(jìn)行建模分析具有合理性。

5.1 參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)

圖2 參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)過程

5.2 退化狀在線更新

為便于分析,記本文所提方法為M0;與之相對應(yīng),將忽略漂移/擴(kuò)散系數(shù)比例關(guān)系的退化模型所對應(yīng)剩余壽命自適應(yīng)預(yù)測方法記為M1。結(jié)合前文得到的退化模型參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)結(jié)果,基于KF原理即可對設(shè)備的退化狀態(tài)進(jìn)行在線更新,具體更新結(jié)果如圖3所示。

圖3 退化狀態(tài)在線更新

圖3中設(shè)備退化量的真實(shí)值,是將圖1中初始時(shí)刻退化量設(shè)定為0后得到的。由圖3可知,M0對應(yīng)設(shè)備退化狀態(tài)的預(yù)測值較M1與真實(shí)退化量更為接近,表明考慮漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)比例關(guān)系的退化模型更能反映設(shè)備的真實(shí)退化規(guī)律,具備更好的模型擬合性。為了更為直觀地討論M0與M1的差異,本文給出不同方法對應(yīng)退化狀態(tài)預(yù)測結(jié)果的絕對誤差,具體如圖4所示。

圖4 退化狀態(tài)預(yù)測誤差

由圖4可知,M0的退化狀態(tài)預(yù)測誤差要顯著小于M1。究其原因,主要是由于M1忽略了漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)的比例關(guān)系,從而導(dǎo)致該方法對設(shè)備退化狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)的不確定性增大,進(jìn)而產(chǎn)生了較大的誤差。因此,有必要在退化建模過程中考慮漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)的比例關(guān)系。

5.3 剩余壽命自適應(yīng)預(yù)測

在第5.1節(jié)與第5.2節(jié)分析的基礎(chǔ)上,基于本文提出的剩余壽命自適應(yīng)預(yù)測方法,即可對設(shè)備的剩余壽命進(jìn)行預(yù)測。一般情況下,該型行波管的正常工作應(yīng)力S0約為1 A/cm2,其對應(yīng)的剩余壽命預(yù)測曲線如圖5所示。

圖5 剩余壽命預(yù)測結(jié)果

由圖5可得,本文方法和對照方法均可準(zhǔn)確預(yù)測設(shè)備的剩余壽命,其直觀體現(xiàn)為兩種方法對應(yīng)的剩余壽命概率密度函數(shù)在任意狀態(tài)監(jiān)測時(shí)刻均可完全包含設(shè)備的真實(shí)剩余壽命。然而,進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn),本文方法對應(yīng)的剩余壽命預(yù)測曲線較對比方法的聚集程度更高,說明本文方法的不確定性更低,預(yù)測精度更優(yōu)。進(jìn)一步,令:

圖6 擴(kuò)散系數(shù)更新情況對比

由圖6可知,在擴(kuò)散系數(shù)更新的全過程中,M0對應(yīng)的擴(kuò)散系數(shù)較M1更小,表明利用比例關(guān)系模型可以更為準(zhǔn)確地描述退化的時(shí)變不確定性,有效降低預(yù)測的不確定性,從而顯著提升剩余壽命預(yù)測方法的性能。該結(jié)論也進(jìn)一步驗(yàn)證了第5.2節(jié)中的結(jié)論。

6 結(jié) 論

本文針對單一機(jī)載設(shè)備在加速退化試驗(yàn)條件下的退化建模和剩余壽命預(yù)測問題進(jìn)行了研究,具體結(jié)論如下。

(1)利用加速因子不變準(zhǔn)則推導(dǎo)出漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)間的比例關(guān)系,并據(jù)此構(gòu)建了加速應(yīng)力環(huán)境下的設(shè)備退化模型。拓展了模型的適用性,提升了建模的準(zhǔn)確性,實(shí)現(xiàn)了對設(shè)備剩余壽命的準(zhǔn)確預(yù)測。

(2)針對加速退化試驗(yàn)僅有單一樣本的情形,提出基于EM-KF算法的參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)方法,克服了傳統(tǒng)參數(shù)估計(jì)方法需要大量試驗(yàn)樣本的局限性,實(shí)現(xiàn)了對模型參數(shù)的準(zhǔn)確估計(jì)。