魏鵬輝, 秦桂香, 梁小林

(長沙理工大學 數學與統(tǒng)計學院, 湖南 長沙 410114)

0 引言

抽樣檢驗是可靠性理論中的一種假設檢驗方法,它是基于產品的生產與使用雙方通過協(xié)商后的要求,用統(tǒng)計方法制定對一批該產品進行抽樣與檢驗的方案,然后根據結果對這批產品進行接收或拒收.現在,大多數用戶對產品的性能和可靠性要求越高越好,而要獲得產品的性能指標和可靠性指標就需要對產品進行有效的樣本檢驗[1].樣本檢驗最直接方法是對所有產品進行檢驗,即全樣本檢驗,但是對于很多產品來說，進行全樣本檢驗是不現實的,因此通過部分抽樣產品的樣本性能指標去評價全部產品性能指標,就成了統(tǒng)計學中抽樣檢驗理論的基本支撐.在許多種產品抽樣檢驗中總是希望抽樣量盡可能地少,例如破壞性檢驗.而經典統(tǒng)計方法制定的抽樣檢驗方案的抽樣量一般較大,因此我們需要運用新統(tǒng)計理論來制定更科學合理的抽樣檢驗方案.由于Bayes方法能充分利用產品的各類驗前信息、樣本信息和總體信息,完成對產品的性能指標和可靠性指標的評估分析,所以應用Bayes方法來制定產品性能或可靠性的抽樣檢驗方案不僅能優(yōu)化計算步驟,而且能減少檢驗的抽樣量.

關于產品性能指標服從正態(tài)分布的抽樣檢驗方案的相關研究成果較少.張碩云等[2]對參數服從正態(tài)分布的裝備在簡單假設下,利用Bayes方法基于兩類風險確定樣本量.De Koker等[3]在巖土設計的材料參數確定中,利用預測可靠性指標,建立了明確考慮樣本量的決策分析框架.該理論描述了最優(yōu)樣本容量、條件可靠性指標(通常作為目標值)與失效時的預期損傷之間的關系.馮文哲等[4]在復雜假設的情況下,基于0-1損失函數和兩類風險為約束條件建立非線性約束規(guī)劃模型.在考慮產品的指標有雙側規(guī)范限時,在上側限和下側限之間時產品是合格的,否則是不合格的.Wu等[5]開發(fā)了一種情境樣本大小調整程序,稱為緊-正-緊(TNT)抽樣策略,產品性能的測量來自于具有雙邊規(guī)格限制的關鍵質量特征，遵循正態(tài)分布.參數由兩個非線性不等式的聯合解確定,這兩個不等式滿足可容忍的供應商風險、買方風險、期望的可接受質量水平(AQL)和極限質量水平(LQL).吳啟光等[6]在綜合雙側規(guī)格限下方差未知時,將服從正態(tài)分布的產品利用經典統(tǒng)計方法,通過生產方風險質量和使用方風險質量確定可靠性抽樣檢驗方案.王燕飛[7]討論了在正態(tài)分布指標的雙側規(guī)格限情形下,當總體方差已知,總體指標的均值為正時,依據Bayes方法,利用最大熵先驗分布,求出后驗分布.利用生產方和使用方的兩類風險約束條件,確定最小抽檢樣本量,從而制定更加合理有效的抽樣檢驗方案.

最大熵先驗常常有部分先驗信息可以利用,除此以外，部分要求盡可能采用無信息先驗[8].這是在只有少量先驗信息可以利用的情況下常被采用的方法.而現在我們卻可以利用其他手段得到足夠的先驗信息,所以本文的主要工作是利用共軛先驗法[9]得到產品指標值的后驗分布,再利用生產方和使用方的兩類風險約束條件,確定最大抽檢樣本量.通過算例說明經過了解的先驗分布信息,只需要最多抽取少量的樣本就可以得到能代表整體產品的指標信息,相較于最大熵先驗的方法本方法確定的樣本量較小，進而說明本方法是可行的,比經典統(tǒng)計方法更加有效和節(jié)約.

1 采用共軛分布法確定的抽樣檢驗方案

設產品性能指標X～N(μ,σ2),其中σ2已知,指標均值μ>0未知.所抽取的樣本為X1,X2,X3,…,Xn,觀察值為x1,x2,x3,…,xn.根據生產方和使用方經過協(xié)商后設置指標綜合雙側規(guī)格限，即規(guī)格下限L和規(guī)格上限U,如果產品的指標均值能夠滿足L≤μ≤U時我們認為是合格的,否則是不合格的.建立如下建設：

H0:L≤μ≤U

H1:μ>U或μ

定義1[10]設θ是總體分布p(x|θ)中的參數,π(θ)是θ的先驗分布,如果對于任意來自p(x|θ)的樣本觀察值x1,x2,x3,…,xn得到的后驗分布π(θ|x)與π(θ)屬于同一分布族,則稱其是θ的共軛先驗分布.

證明事實上,假設x1,x2,x3,…,xn是來自正態(tài)分布N(μ,σ2)的樣本觀察值,則樣本的似然函數為

根據貝葉斯定理,則μ的后驗分布函數為

(1)

因此μ的后驗分布為π(μ|t)=N(a,d2).

在確定抽檢方案時,經常會遇到兩種情況，即兩種風險：生產方風險和使用方風險.對于生產方而言：在抽檢中把合格的產品判別為不合格產品從而被拒絕(棄真)時的風險稱為生產方風險，用α表示.對于使用方而言：在抽檢中把不合格的產品判別為合格的產品從而被接收(取偽)時的風險稱為使用方風險，用β表示.

(2)

方程組(2)是一個抽樣檢驗設計的模型,我們對其求解從而可以確定最大抽檢樣本量.

2 模型求解

求解方程組首先要確定拒絕域W,根據Bayes假設檢驗理論,當后驗概率

P(μ∈Θ1|T=t)≥P(μ∈Θ0|T=t)

(3)

時拒絕原假設H0,其中Θ0是μ取雙側規(guī)格限之間，即μ∈[L,U],Θ1是μ取雙側規(guī)格限之外，即μ∈(-∞,L)∪(U,+∞).當t滿足

(4)

時拒絕原假設H0,此時確定的t的范圍就是拒絕域W.

利用Matlab編程來求得拒絕域W,具體的編程步驟為：

1) 首先建立函數

2) 建立兩個程序

程序1：

程序2：

3) 運行兩個程序可以分別得到臨界點C1,C2.

我們可以得到T的拒絕域W=(0,C1)∪(C2,+∞),然后代入到方程組(2),得到最大檢驗樣本量n.

3 算例求解

在這里為了便于做出比較取相同的例子.

得出最大檢驗樣本量為18.

表1 不同方法的比較結果

4 結論

本文在王燕飛的成果基礎上通過把只有少量信息的先驗分布的最大熵先驗改為當掌握比較多信息的先驗分布的共軛先驗分布，即正態(tài)分布,在其他已知條件不變的情況下,根據Bayes理論確定可靠性抽樣檢驗方案.并通過Matlab軟件編程搜索拒絕域的臨界值,并由生產方和使用方的最大承擔風險確定最大抽樣樣本量,所得到的結果與之相比較少,但是這是在多出一個參數的情況下所得出的優(yōu)勢,也就意味著在計算的時候過程會比較復雜.通過上面的算例可以得到經過了解的先驗分布信息即服從正態(tài)分布,只需要最多抽取18個樣本就可以得到比較能代表整體產品的信息.這種確定可靠性鑒定試驗方案的方法是可行的，其最終得到的最小抽樣檢驗量也小,更加節(jié)約經濟,效果很好.