周 凱，倪 臻，華宏星

(1.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

超聲速飛行器在巡航和再入過程中面臨著嚴(yán)酷的氣動(dòng)力和熱載荷復(fù)合環(huán)境，對(duì)飛行器結(jié)構(gòu)的完整性和可靠性提出了挑戰(zhàn)[1]。功能梯度材料(functionally graded material，F(xiàn)GM)因其良好的熱力性能，在飛行器結(jié)構(gòu)中得到了廣泛的應(yīng)用[2]。超聲速飛行器中存在諸多細(xì)長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)，該類結(jié)構(gòu)具有梁的彈性力學(xué)特征，因此可以簡(jiǎn)化為梁結(jié)構(gòu)[3]。掌握FGM梁結(jié)構(gòu)在氣動(dòng)力和熱載荷作用下的動(dòng)力學(xué)特性，是開展結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)化設(shè)計(jì)及優(yōu)化研究的基礎(chǔ)。因此，開展FGM梁的非線性氣動(dòng)熱彈性動(dòng)力學(xué)研究具有重要的科學(xué)價(jià)值和工程意義。

現(xiàn)階段，有較多學(xué)者開展了梁的非線性振動(dòng)問題研究。解析法、有限元法、里茨法和伽遼金等方法廣泛地應(yīng)用于各向同性梁、正交各向異性梁、三明治梁和FGM梁等的非線性振動(dòng)研究，并取得了一系列的成果[4-6]。近年來(lái)，梁結(jié)構(gòu)的氣彈動(dòng)力學(xué)問題亦得到了學(xué)者們廣泛地關(guān)注，層合梁、三明治梁和FGM梁的氣彈動(dòng)力學(xué)問題得到了充分地研究[7-9]。但值得一提的是，上述梁的氣彈動(dòng)力學(xué)研究大多是基于經(jīng)典約束邊界條件下開展的。

近期的研究發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)GM材料在加工制作過程中，由于材料各組分的凝固溫度不同，致使結(jié)構(gòu)中極易產(chǎn)生孔隙[10]。為探究孔隙對(duì)梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響，有學(xué)者研究了多孔FGM梁的振動(dòng)問題[11]，結(jié)果表明孔隙對(duì)于FGM梁的動(dòng)力學(xué)特性具有顯著的影響。

由上述文獻(xiàn)可知，盡管現(xiàn)階段有較多關(guān)于梁的氣動(dòng)熱彈性動(dòng)力學(xué)問題的文獻(xiàn)，但目前該方面的研究仍存在以下不足：一方面，現(xiàn)有梁的氣動(dòng)熱彈性動(dòng)力學(xué)問題大多是基于經(jīng)典邊界展開的，但由于結(jié)構(gòu)約束在振動(dòng)環(huán)境中存在彈性變形，將邊界視為彈性更為合理[12]；另一方面，現(xiàn)階段關(guān)于多孔FGM梁的非線性氣動(dòng)熱彈性動(dòng)力學(xué)問題的研究不足，孔隙對(duì)于氣動(dòng)力和熱載荷作用下FGM梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律不清。因此，亟需開展一般約束邊界下多孔FGM梁的非線性氣動(dòng)熱彈性動(dòng)力學(xué)研究。

本文將開展一般約束邊界下多孔FGM梁的非線性氣動(dòng)熱彈性動(dòng)力學(xué)建模與影響機(jī)制研究。首先應(yīng)用一階剪切變形理論和von-Karman大變形理論，推導(dǎo)梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)能和勢(shì)能表達(dá)式；基于活塞理論和熱彈性理論，推導(dǎo)氣動(dòng)力和熱載荷的做功表達(dá)式；在此基礎(chǔ)上應(yīng)用罰函數(shù)法，將邊界約束的能量引入系統(tǒng)整體的能量泛函。基于Hamilton原理，推導(dǎo)系統(tǒng)的控制方程并求解，通過數(shù)值算例驗(yàn)證理論模型的正確性。最后，通過變參數(shù)計(jì)算，探討約束邊界、FG材料指數(shù)、溫度和孔隙率等參數(shù)對(duì)于FGM梁非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律。

1 模型描述及公式推導(dǎo)

1.1 模型描述

研究飛行器壁板的氣彈動(dòng)力學(xué)問題，一般采用板殼模型或梁模型。對(duì)比長(zhǎng)寬比接近的壁板結(jié)構(gòu)，其長(zhǎng)度和寬度方向變形對(duì)系統(tǒng)的氣彈特性影響較大，因此多采用板殼模型；對(duì)于細(xì)長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)，可以按照梁模型進(jìn)行分析，同時(shí)梁模型為一維結(jié)構(gòu)，其動(dòng)力學(xué)特性分析的計(jì)算量將小于板殼模型的計(jì)算量[13-16]。因此，細(xì)長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)可以簡(jiǎn)化為梁模型。本文將研究細(xì)長(zhǎng)FGM結(jié)構(gòu)的氣彈動(dòng)力學(xué)特性，將其簡(jiǎn)化為梁結(jié)構(gòu)，如圖1所示，其長(zhǎng)寬高分別為L(zhǎng)，b和h，笛卡爾坐標(biāo)系建立于結(jié)構(gòu)左端幾何中面上。

圖1 FGM梁示意圖Fig.1 The schematic diagram of the heated FGM beam

為了簡(jiǎn)化建模過程，本文主要假設(shè)如下：①超聲速氣流沿著梁的x軸方向；②溫差存在于梁的厚度方向，同一高度截面上梁的溫度相同；③基于Timoshenko梁理論考慮梁的變形，梁的兩端受支撐約束。為模擬梁的各種邊界條件，三組虛擬彈簧ku，kw和kx布置于梁的兩端，分別模擬兩端支撐的縱向、橫向和轉(zhuǎn)動(dòng)約束。通過修改虛擬彈簧的剛度值，即可等效模擬各種經(jīng)典邊界和彈性邊界條件[17]。舉例來(lái)說(shuō)，固支梁可將虛擬彈簧的剛度值設(shè)為無(wú)窮大，而自由梁可將虛擬彈簧的剛度值設(shè)為零，彈性約束邊界按照實(shí)際的約束剛度值給定即可。

考慮到FGM梁在加工過程中極易產(chǎn)生孔隙，而這些孔隙對(duì)梁的力學(xué)性能具有顯著的影響。因此，本文將考慮孔隙的影響。根據(jù)文獻(xiàn)[10]，F(xiàn)GM材料的孔隙可大致分為兩類：當(dāng)孔隙均勻分布于梁的厚度方向時(shí)，此處定義為Ⅰ型均勻多孔梁；當(dāng)孔隙集中分布于梁的中面時(shí)，定義為Ⅱ型非均勻多孔梁。兩者示意圖如圖2所示。

圖2 多孔FGM梁示意圖Fig.2 The schematic diagram of the porousFGMbeam

1.2 材料特性

假設(shè)FGM梁由陶瓷和金屬兩種材料構(gòu)成，假定材料的屬性沿著梁的厚度方向以指數(shù)形式變化，梁的上下表面分別為純陶瓷和純金屬材料。由FGM材料參數(shù)與溫度之間關(guān)系可得

P=P0(P-1T-1+1+P1T+P2T2+P3T3)

(1)

式中，P0，P-1，P1，P2和P3分別為相應(yīng)的系數(shù)。

Ⅰ型多孔FGM梁和Ⅱ多孔FGM梁的彈性模量E、熱膨脹系數(shù)α、密度ρ、熱傳導(dǎo)率κ及泊松比ν可分別表示為

(2)

(3)

式中：下標(biāo)m和c分別代表金屬成分和陶瓷成分；ζ為孔隙率；p為FG材料指數(shù)。

假設(shè)溫差只存在于梁的厚度方向，根據(jù)一維傅里葉熱傳導(dǎo)，可得

(4)

求解式(4)，即可得溫度在FGM梁厚度方向的分布。

1.3 控制方程

基于一階剪切變形理論，多孔FGM梁的位移分量可表示為

(5)

式中：u和w分別為FGM梁中面在x和z方向的位移；φx為轉(zhuǎn)角；t為時(shí)間變量。

基于von-Karman大變形理論，多孔FGM梁的應(yīng)變?yōu)?/p>

(6)

進(jìn)一步可得FGM梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力

(7)

式中：Ks為剪切修正因子。定義溫差ΔT=T-T0，其中T和T0分別為當(dāng)前溫度和參考溫度。Q11和Q66分別為FGM梁的彈性系數(shù)

(8)

多孔FGM梁的熱應(yīng)力可表示為

(9)

由溫度變化引起的熱應(yīng)變?yōu)?/p>

(10)

基于超聲速活塞理論，作用于FGM梁上的氣動(dòng)壓力為

(11)

式中，ρ∞，U∞和M∞分別為來(lái)流密度、速度及馬赫數(shù)。

多孔FGM梁的應(yīng)變能為

(12)

多孔FGM梁的動(dòng)能為

(13)

儲(chǔ)存于FGM梁兩端虛擬彈簧中的彈性勢(shì)能為

(14)

氣動(dòng)力做功為

(15)

因此，系統(tǒng)的整體能量泛函為

Π=Tk-U-UBC+W

(16)

將式(12)～式(15)代入式(16)中，可得由u，w和φx所表示的系統(tǒng)能量泛函的詳細(xì)表達(dá)式。

若直接對(duì)式(16)變分，可得系統(tǒng)的偏微分方程組。為離散系統(tǒng)的控制方程，將偏微分方程組轉(zhuǎn)為常微分方程組，本文將利用里茨法求解FGM多孔梁的振動(dòng)特性[18]。為滿足一般約束邊界條件，將FGM梁的位移展開為如下的試函數(shù)形式[19]

(17)

式中：Am,Bm和Cm為展開系數(shù)；試函數(shù)具體形式為

(18)

實(shí)際數(shù)值計(jì)算中，式(18)中的無(wú)限項(xiàng)試函數(shù)應(yīng)得到截?cái)?。假設(shè)試函數(shù)取至M階，并將式(12)～式(18)代入Hamilton原理中，令離散后的系統(tǒng)能量泛函對(duì)所有展開系數(shù)的變分為零，即

(19)

可得離散后的多孔FGM梁的非線性氣動(dòng)熱彈性控制方程

(20)

其中，

式中，一般情況下γ=0.5,β=0.25。詳細(xì)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的計(jì)算流程如圖3所示。

圖3 非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的計(jì)算流程圖Fig.3 The calculation flow chart of the nonlinear dynamic response

2 數(shù)值算例

2.1 理論模型驗(yàn)證

表1 Si3N4/SUS304的材料性能參數(shù)Tab.1 The temperature dependent material parameters of Si3N4/SUS304

表2所示為本文模型計(jì)算所得的熱環(huán)境下多孔FGM梁的固有頻率與文獻(xiàn)[11]中的結(jié)果對(duì)比。由表2內(nèi)容的結(jié)果可知，本模型計(jì)算所得結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果吻合良好，驗(yàn)證了本方法預(yù)測(cè)熱環(huán)境下多孔FGM梁動(dòng)力學(xué)特性的準(zhǔn)確性。

表2 熱環(huán)境下多孔FGM梁的無(wú)量綱固有頻率對(duì)比Tab.2 The comparisons of non-dimensional natural frequencies of porous FGM beam in the thermal environment

為驗(yàn)證本文模型計(jì)算梁結(jié)構(gòu)氣彈特性的準(zhǔn)確性，進(jìn)一步將本模型的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[3]中的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。此處選取的計(jì)算模型參數(shù)如表3所示。分別計(jì)算S-S和C-F邊界下(S：簡(jiǎn)支；C：固支；F：自由)，梁的固有頻率隨氣動(dòng)力的變化，并將本文結(jié)果與文獻(xiàn)[3]中的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖4所示。由曲線對(duì)比可知，本文方法與文獻(xiàn)結(jié)果吻合良好，驗(yàn)證了本方法的準(zhǔn)確性。

表3 梁的尺寸和材料參數(shù)Tab.3 The dimensional and material parameters of the beam

圖4 本方法計(jì)算所得梁的氣彈結(jié)果與文獻(xiàn)對(duì)比Fig.4 The comparisons of the obtained aero-elastic results of beam structures with those from literature

2.2 參數(shù)分析

本節(jié)開展FGM梁的氣彈動(dòng)力學(xué)特性分析，以探討各參數(shù)的影響規(guī)律。這里繼續(xù)選用Si3N4/SUS304梁作為計(jì)算模型，梁的尺寸為1.0 m×0.05 m×0.05 m，參考溫度T0=300 K。

首先研究氣動(dòng)力對(duì)FGM梁動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律。圖5所示為無(wú)缺陷簡(jiǎn)支FGM梁(p=1)在無(wú)氣動(dòng)力和臨界顫振動(dòng)壓下的前四階振型對(duì)比。經(jīng)計(jì)算，本例FGM梁的臨界顫振動(dòng)壓為。顯而易見，當(dāng)無(wú)氣動(dòng)力時(shí)，F(xiàn)GM梁的一階振型最大位移點(diǎn)位于0.5L點(diǎn)處；當(dāng)氣動(dòng)力等于臨界顫振動(dòng)壓時(shí)，F(xiàn)GM梁的一階振型最大位移點(diǎn)位于0.75L點(diǎn)處。同時(shí)，一旦發(fā)生顫振，梁的前兩階模態(tài)將發(fā)生耦合。

圖5 無(wú)氣動(dòng)力和臨界顫振動(dòng)壓下梁的前四階振型Fig.5 The first four mode shapes of the FGM beam without aerodynamic pressure and at flutter boundary

同時(shí)，計(jì)算不同氣動(dòng)力作用下FGM梁在脈沖激勵(lì)下0.75L點(diǎn)處的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，分別如圖6～圖8所示。如圖6所示，當(dāng)λ=0時(shí)，由于未考慮梁的結(jié)構(gòu)阻尼，當(dāng)氣動(dòng)力為零時(shí)，F(xiàn)GM梁在受到脈沖激勵(lì)后作不衰減的周期運(yùn)動(dòng)；如圖7所示，當(dāng)氣動(dòng)力不為零且小于臨界顫振動(dòng)壓時(shí)，由于氣動(dòng)阻尼存在，F(xiàn)GM梁在受到脈沖激勵(lì)后作衰減運(yùn)動(dòng)；如圖8所示，當(dāng)氣動(dòng)力大于等于臨界顫振動(dòng)壓時(shí)，F(xiàn)GM梁在受到脈沖激勵(lì)后將作等幅極限環(huán)運(yùn)動(dòng)。

圖6 脈沖激勵(lì)下梁的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)(λ=1,p=1)Fig.6 The dynamic response of the FGM beam with pulse excitation (λ=1,p=1)

圖7 脈沖激勵(lì)下梁的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)(λ=20,p=1)Fig.7 The dynamic response of the FGM beam with pulse excitation (λ=20,p=1)

圖8 脈沖激勵(lì)下梁的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)(λ=36,p=1)Fig.8 The dynamic response of the FGM beam with pulse excitation (λ=36,p=1)

圖9所示為不同約束邊界下，無(wú)缺陷FGM梁(p=1)的固有頻率和0.75L點(diǎn)處的極限環(huán)振幅隨氣動(dòng)力的變化曲線。這里選取了S-S、S-C和C-C三種邊界約束條件。顯而易見，由于C-C梁的邊界剛度最大，所以它在三者中的臨界顫振動(dòng)壓最大，且極限環(huán)振幅最小。相反，S-S梁的邊界剛度最小，故其臨界顫振動(dòng)壓最小，且極限環(huán)振幅最大。

圖9 邊界對(duì)無(wú)缺陷FGM梁的固有頻率和極限環(huán)振幅的影響(p=1)Fig.9 The effect of boundary conditions on the natural frequencies and LCO amplitude of the perfect FGM beam (p=1)

圖10所示為不同F(xiàn)G材料指數(shù)下，無(wú)缺陷簡(jiǎn)支FGM梁的固有頻率和0.75L點(diǎn)處的極限環(huán)振幅隨氣動(dòng)力的變化曲線。由圖中結(jié)果可知，隨著FG材料指數(shù)的增加，梁的臨界顫振動(dòng)壓減小，極限環(huán)振幅增大。這是由于隨著FG材料指數(shù)的增加，結(jié)構(gòu)的整體剛度下降所導(dǎo)致的。

圖10 FG材料指數(shù)對(duì)無(wú)缺陷FGM梁的固有頻率和極限環(huán)振幅的影響Fig.10 The effect of the volume fraction index on the natural frequencies and LCO amplitude of simply supported perfect FGM beam

圖11所示為不同熱環(huán)境下，無(wú)缺陷簡(jiǎn)支FGM梁(p=1)的固有頻率和0.75L點(diǎn)處的極限環(huán)振幅隨氣動(dòng)力的變化曲線。假設(shè)FGM梁的內(nèi)層為參考溫度T0，而外層溫度分別為300 K、450 K和600 K三種不同的工況?？梢钥闯?，隨著外層溫度的增加，F(xiàn)GM梁的臨界顫振動(dòng)壓隨之下降，極限環(huán)振幅增大。這是由于梁內(nèi)熱應(yīng)力隨溫度的升高而增大，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的整體剛度下降造成的。

圖11 溫度對(duì)無(wú)缺陷簡(jiǎn)支FGM梁的固有頻率和極限環(huán)振幅的影響(p=1)Fig.11 The effect of the thermal gradient on the natural frequencies and LCO amplitude of the simply supported perfect FGM beam (p=1)

圖12和圖13所示為不同孔隙率下，簡(jiǎn)支FGM梁(p=1)的固有頻率和0.75L點(diǎn)處的極限環(huán)振幅隨氣動(dòng)力的變化曲線?？傮w而言，隨著孔隙率的增加，梁的臨界顫振動(dòng)壓減小，極限環(huán)振幅增大。但是Ⅰ型孔隙對(duì)FGM梁氣彈特性的影響大于Ⅱ型，主要由于Ⅰ型孔隙均勻分布在厚度方向上，而Ⅱ型主要集中于中面附近，使得I型孔隙對(duì)于結(jié)構(gòu)的整體剛度影響更大。

圖12 孔隙率對(duì)簡(jiǎn)支FGM梁的固有頻率和極限環(huán)振幅的影響(Ⅰ型，p=1)Fig.12 The effect of the porosity volume fraction on the natural frequencies and LCO amplitude of the simply supported FGM beam (Type Ⅰ,p=1)

圖13 孔隙率對(duì)簡(jiǎn)支FGM梁的固有頻率和極限環(huán)振幅的影響(Ⅱ型，p=1)Fig.13 The effect of the porosity volume fraction on the natural frequencies and LCO amplitude of the simply supported FGM beam (Type Ⅱ,p=1)

3 結(jié) 論

本文基于能量法，建立了適用于一般約束邊界下多孔FGM梁的非線性氣動(dòng)熱彈性動(dòng)力學(xué)模型，通過數(shù)值算例驗(yàn)證了理論模型的正確性并開展了其動(dòng)力學(xué)特性分析，主要研究結(jié)論如下：

(1)本文模型求解的梁的固有頻率和臨界顫振動(dòng)壓與文獻(xiàn)結(jié)果基本吻合，驗(yàn)證了本文方法的有效性。

(2)隨著邊界約束剛度的下降、FG材料指數(shù)的增加或熱載荷的增大，F(xiàn)GM梁的整體剛度下降，致使結(jié)構(gòu)的臨界顫振動(dòng)壓降低、顫振極限環(huán)振幅增大。

(3)隨著孔隙率的增大，F(xiàn)GM梁的臨界顫振動(dòng)壓降低、顫振極限環(huán)振幅增大。由于I型孔隙對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的影響更為顯著，致使I型孔隙對(duì)FGM梁的氣彈特性的影響大于II型孔隙。

附錄A

梁的位移可展開為離散形式

u(x,t)=Hqu,w(x,t)=Hqw,φx(x,t)=Hqx

其中，

H=[ψ1(x),ψ2(x),…,ψM(x)]

qu=[A1,A2,…,AM]T，qw=[B1,B2,…,BM]T,

qx=[C1,C2,…,CM]T，Q=[qu;qw;qx]

因此，經(jīng)離散后梁的結(jié)構(gòu)線性剛度矩陣、結(jié)構(gòu)非線性剛度矩陣、熱應(yīng)力矩陣和氣動(dòng)力矩陣分別為

kux0(H)T(H)|x=0+kuxL(H)T(H)|x=L,

kwx0(H)T(H)|x=0+kwxL(H)T(H)|x=L,

kxx0(H)T(H)|x=0+kxxL(H)T(H)|x=L,

梁的氣動(dòng)阻尼矩陣和質(zhì)量矩陣分別為