葉志勇，羅良剛，羅小玉

重慶理工大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400054

近年來(lái)二維系統(tǒng)的控制問(wèn)題受到了廣泛關(guān)注，得到了極大發(fā)展[1-6]．

耗散系統(tǒng)是由Willems在1972年提出，然后由Hill和Moylan進(jìn)行了推廣，使得耗散性在系統(tǒng)和控制系統(tǒng)中起重要作用．耗散性理論概括包含了無(wú)源性定理、 有界實(shí)引理、 Kalman-Yakubovich-Popov引理和圓判據(jù)[7-9]．因此，耗散性及其在控制和濾波中的應(yīng)用受到廣泛關(guān)注并且取得重大突破，得到許多新的理論和結(jié)果．針對(duì)連續(xù)時(shí)間[10]和離散時(shí)間[11]系統(tǒng)的耗散控制器的設(shè)計(jì)方法被提出．文獻(xiàn)[12]考慮隨機(jī)發(fā)生的一種分布式時(shí)滯，利用凸優(yōu)化和隨機(jī)分析理論，保證了得到的誤差系統(tǒng)在耗散性下的穩(wěn)定性．而對(duì)于不確定擾動(dòng)的T-S模糊系統(tǒng)，文獻(xiàn)[13]提出基于非并行分布補(bǔ)償?shù)膰?yán)格耗散標(biāo)準(zhǔn)，利用控制器增益中的有界不確定性來(lái)處理控制信號(hào)增益的實(shí)際元件不確定性和使用多李雅普諾夫函數(shù)進(jìn)行控制器綜合，得到了相對(duì)保守的設(shè)計(jì)條件．

帶有馬爾可夫跳的系統(tǒng)也是研究鄰域的熱點(diǎn)，馬爾可夫鏈的優(yōu)勢(shì)在于擅長(zhǎng)對(duì)突然改變的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化進(jìn)行建模．文獻(xiàn)[14]研究了一類馬爾可夫跳系統(tǒng)在連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間條件下的非脆弱控制問(wèn)題，其構(gòu)造了一個(gè)隨機(jī)正李雅普諾夫函數(shù)，基于增益矩陣分解技術(shù)，利用李雅普諾夫函數(shù)設(shè)計(jì)了一組模態(tài)相關(guān)的狀態(tài)反饋控制和吸引域增益．文獻(xiàn)[15]研究了具有乘性噪聲的離散時(shí)間奇異馬爾可夫跳系統(tǒng)的耗散控制，并針對(duì)系統(tǒng)模態(tài)與控制器模態(tài)之間的異步現(xiàn)象，構(gòu)造了一組馬爾可夫鏈，最后利用線性矩陣不等式給出了保證耗散性和穩(wěn)定性的充分條件．

雖然目前大多數(shù)的研究方向都集中在同步的控制器和濾波器上[17-19]，但同步的控制器和濾波器往往不符合現(xiàn)實(shí)，需要的條件過(guò)于苛刻，在實(shí)際中，控制器或?yàn)V波器的模式不能完全跟隨系統(tǒng)模式轉(zhuǎn)換，因此，異步控制器/過(guò)濾器更現(xiàn)實(shí)，也更可取，并且越來(lái)越受到關(guān)注[20-21]．文獻(xiàn)[20]建立了對(duì)二維馬爾科夫跳的羅塞爾系統(tǒng)的H∞控制問(wèn)題．文獻(xiàn)[21]研究了離散馬爾可夫跳系統(tǒng)的無(wú)源異步控制問(wèn)題，采用隱馬爾可夫模型描述了系統(tǒng)模式與控制器模式之間的異步現(xiàn)象，利用矩陣不等式技術(shù)，給出了保證隱馬爾可夫跳變系統(tǒng)隨機(jī)無(wú)源性的3個(gè)等價(jià)充分條件．因此，我們研究了具有輸出反饋控制器的二維羅塞爾系統(tǒng)的異步耗散控制和穩(wěn)定性，并給出了具有輸出反饋控制器的系統(tǒng)的穩(wěn)定性和耗散的充分條件．

1 預(yù)備知識(shí)

在這篇文章中，我們將研究下列含有馬爾可夫跳的二維羅塞爾(Roesser)模型：

(1)

其中：

xh(i，j)∈Rnh表示在水平方向的狀態(tài)，同理，xv(i，j)∈Rnv表示在垂直方向的狀態(tài)，u(i，j)∈Rnu表示控制輸入，ω(i，j)∈Rnω表示擾動(dòng)輸入，y(i，j)∈Rny表示輸出，z(i，j)∈Rnz表示控制輸出．A(γi，j)，B(γi，j)，C(γi，j)，E(γi，j)，F(xiàn)(γi，j)，G1(γi，j)，G2(γi，j)，G3(γi，j)，G4(γi，j)都是已知的相應(yīng)維數(shù)的實(shí)值矩陣，它們都是γi，j的函數(shù)，γi，j是馬爾可夫鏈．γi，j∈H1={1，2，…，k1}并且具有轉(zhuǎn)移函數(shù)矩陣Λ=(λpq)，

(2)

這里的δ>0并且γi，j≥0是從i到j(luò)的轉(zhuǎn)移率．

注1本文研究的系統(tǒng)是帶有馬爾可夫跳的．不帶馬爾可夫跳的情形，能夠作為本文的一個(gè)極其特殊的情況．

根據(jù)現(xiàn)代概率理論，對(duì)?p，q∈H1有

(3)

系統(tǒng)的邊界條件(X0，Γ0)被定義為

(4)

定義零邊界條件：xh(0，j)=0，xv(i，0)=0，i，j=0，1，2，…．下面對(duì)X0進(jìn)行假設(shè)．

假設(shè)1假設(shè)X0滿足下列條件，

(5)

這里的E(·)表示數(shù)學(xué)期望，|·|表示歐基米德范數(shù)．

假設(shè)γi，j的準(zhǔn)確數(shù)值是難以獲得的．若(1)式中F(γi，j)為空矩陣，B1(γi，j)為列滿秩的矩陣，本文將設(shè)計(jì)如下異步輸出反饋控制器：

(6)

其中：Ac，11(ηi，j)，Ac，12(ηi，j)，Ac，21(ηi，j)，Ac，22(ηi，j)，Bc，1(ηi，j)，Bc，2(ηi，j)，Cc，1(ηi，j)，Cc，2(ηi，j)，K(ηi，j)都表示表示控制增益，其中ηi，j是決定控制增益的參數(shù)，ηi，j∈H2，H2={1，2，…，k2}．同時(shí)由γi，j得到條件概率πps，即

πps=P{ηi，j=s|γi，j=p}

(7)

本文利用蒙特卡洛方法得到條件概率矩陣Π=(πps)且滿足條件

1)πps∈[0，1]，

對(duì)任意的p∈H1，s∈H2．

為了方便計(jì)算，分別用p，q，s表示γi，j，γi+1，j(γi，j+1)和ηi，j，即Ap表示A(γi，j)．

將(6)式代入(1)式，得到下面的閉環(huán)動(dòng)力系統(tǒng)：

(8)

這里的

下面根據(jù)一維系統(tǒng)的耗散性給出帶有馬爾科夫跳的二維羅塞爾系統(tǒng)的嚴(yán)格的2D(Q，S，R)-α耗散性定義和系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性．

定義1[20]對(duì)二維閉環(huán)系統(tǒng)ξ，輸入ω(i，j)≡0若對(duì)任意邊界條件(X0，Γ0)滿足

(9)

則稱二維閉環(huán)系統(tǒng)ξ是漸近均方穩(wěn)定的．

定義2[20]假設(shè)二維閉環(huán)系統(tǒng)ξ滿足假設(shè)1，如果在零邊界條件和ω(i，j)∈l2{[0，∞)，[0，∞)}下，下列條件成立

(10)

注2(10)式是由Willems所提出的耗散不等式．

本文將設(shè)計(jì)一個(gè)形如(6)式的異步控制器來(lái)保證二維羅塞爾系統(tǒng)ξ的漸近穩(wěn)定性和2D(Q，S，R)-α耗散性能．

2 主要結(jié)論

本節(jié)將研究對(duì)于帶有馬爾科夫跳的二維羅塞爾系統(tǒng)ξ的漸近均方穩(wěn)定性和嚴(yán)格的2D(Q，S，R)-α耗散并提出控制器的設(shè)計(jì)方法．首先給出一個(gè)充分條件：

定理1在假設(shè)1的條件下思考閉環(huán)二維系統(tǒng)ξ，對(duì)給定的α>0以及對(duì)稱矩陣Q和R，其中

(11)

(12)

其中

則系統(tǒng)ξ是漸近均方穩(wěn)定的和嚴(yán)格2D(Q，S，R)-α耗散的

證首先定義一個(gè)新的矩陣Λ：

(13)

將矩陣(12)前乘Λ，后乘ΛT，那么矩陣(12)轉(zhuǎn)換為下列矩陣

(14)

基于舒爾補(bǔ)定理，下列線性矩陣不等式與矩陣(14)是等價(jià)的：

(15)

(16)

對(duì)ΔV(i，j)求期望得

(17)

基于φ1得

(18)

將(18)式帶入(17)式得

(19)

根據(jù)(19)式得到

(20)

另一方面，

(21)

(22)

下面讓m和n趨于無(wú)窮大，

(23)

(24)

這表示(9)式成立，所以系統(tǒng)ξ是漸近均方穩(wěn)定的．

(25)

根據(jù)舒爾補(bǔ)定理，矩陣(12)的期望等價(jià)于

(26)

這里的

下面定義J，由(11)式和(26)式得到

(27)

這里的

注意到

(28)

在零邊界條件下結(jié)合(27)，(28)式有

(29)

根據(jù)定義2系統(tǒng)ξ是嚴(yán)格的2D(Q，S，R)-α耗散．定理得證．

注4通過(guò)選擇Q=0，S=I和R=2αI，得到系統(tǒng)ξ是無(wú)源性的條件，即滿足

注5通過(guò)選擇Q=-I，S=0和R=(α2+α)I，得到了系統(tǒng)ξ是H∞性的條件，即滿足

雖然定理1給出了一個(gè)形式簡(jiǎn)單的充分條件，但由于非線性的存在，將其直接用于控制器設(shè)計(jì)是困難的．接下來(lái)進(jìn)一步研究控制器的設(shè)計(jì)方法．

(30)

這里的

(31)

(32)

然后將(33)式前乘diag{M-1，I，I，I}和后乘diag{M-T，I，I，I}．

(33)

這里的

注6定理2通過(guò)松弛矩陣技術(shù)和變量替換處理矩陣不等式(11)和(12)所涉及的非線性問(wèn)題，成功地將控制設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)基于LMI的問(wèn)題，利用Matlab可以輕松地解決該問(wèn)題．

3 數(shù)值模擬

本節(jié)將使用Darboux方程來(lái)驗(yàn)證控制器的有效性．這里選擇以下的馬爾可夫跳躍系統(tǒng)，相應(yīng)的系統(tǒng)矩陣如下所示：

G3=0.05G4=0.6

由馬爾可夫跳躍組成的系統(tǒng)矩陣滿足以下轉(zhuǎn)移概率矩陣和條件概率矩陣：

然后利用定理2中提出的控制器設(shè)計(jì)方法得到如下控制器增益：

接下來(lái)，將通過(guò)比較有控制輸入和無(wú)控制輸入時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)的演化來(lái)進(jìn)一步證明其有效性．因此，有必要提出邊界條件：

而w(i，j)是滿足正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，根據(jù)這些零邊界條件和系數(shù)條件可以得到不帶有控制輸出的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)．選擇Q=-1，S=1，R=3，得到Qc(Ti，Tj)(圖1)與隨機(jī)場(chǎng)狀態(tài)z(i，j)(圖2)．從圖1可知參數(shù)α的最小值，即α=1.927 1．圖2可知控制器能有效地穩(wěn)定開(kāi)環(huán)系統(tǒng)．

圖1 Qc(Ti，Tj)

圖2 隨機(jī)場(chǎng)狀態(tài)Z(i，j)

5 結(jié) 論

本文研究了基于羅塞爾模型構(gòu)建的二維馬爾可夫系統(tǒng)的2D(Q，S，R)-α耗散控制問(wèn)題．考慮到系統(tǒng)模式信息的不可獲取性，我們將研究重點(diǎn)放在了異步控制上，建立了被控二維系統(tǒng)與控制器之間異步的隱馬爾可夫模型．將一維系統(tǒng)的耗散性定義推廣到二維系統(tǒng)，得到了保證系統(tǒng)漸近均方穩(wěn)定性和2D(Q，S，R)-α耗散的充分條件，并且通過(guò)優(yōu)化技術(shù)給出了一種控制器的設(shè)計(jì)方法．在之后的工作中，將考慮在有限域上開(kāi)展異步控制器的設(shè)計(jì)及其有效性論證的工作．