韓和旭

函數(shù)的單調(diào)性作為函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，在解題中發(fā)揮著巨大的作用，尤其是在證明不等式、解方程、求參數(shù)的取值范圍時(shí)，巧妙利用函數(shù)的單調(diào)性可以使問(wèn)題快速獲解.下面我們結(jié)合實(shí)例來(lái)分析.

一、證明不等式

不等式與函數(shù)之間的關(guān)系很密切.在證明不等式時(shí)，我們可以將不等式兩邊的式子轉(zhuǎn)化為在同一單調(diào)區(qū)間上自變量取不同值時(shí)的函數(shù)值，這樣便可以借助函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性來(lái)建立新的不等式，結(jié)合已知條件便可證明原不等式成立.

我們首先將不等式進(jìn)行變形，根據(jù)不等式的特點(diǎn)構(gòu)造出函數(shù) g（x），而 g（x）是函數(shù) 與函數(shù) 的和，且這兩個(gè)函數(shù)為增函數(shù)，由此可推出 g（x）是增函數(shù).然后便可利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式成立.

二、解方程

有些方程較為復(fù)雜，我們采用常規(guī)的方法很難求出方程的解，此時(shí)，我們可根據(jù)方程的特點(diǎn)構(gòu)造出合適的函數(shù)模型，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定方程中代數(shù)式所對(duì)應(yīng)的自變量，建立新的方程或方程組，便可求得方程的解.

方程式中既含有指數(shù)函數(shù)又含有對(duì)數(shù)函數(shù)，用常規(guī)方法難以使問(wèn)題獲解，于是通過(guò)換元構(gòu)造出函數(shù) f（x），借助函數(shù)的單調(diào)性來(lái)去掉函數(shù)符號(hào)“ f ”，建立新的方程并解方程，即可求得原方程的解.

三、求參數(shù)的取值范圍

運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性是求參數(shù)的取值范圍的常用方法.解題的思路是首先根據(jù)已知條件求出函數(shù)的解析式或建立合適的函數(shù)模型，然后判斷函數(shù) f （x）在 R 上的單調(diào)性，并據(jù)此確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再將其與已知區(qū)間（a，b）進(jìn)行比較，建立關(guān)于參數(shù)的不等式，進(jìn)而求參數(shù)的取值范圍.

例3.已知函數(shù) f （x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，且當(dāng) x ≥0時(shí)， .若對(duì)于任意的 x ∈[t，t+2] ，不等式 f （x + t）≥ 2f （x）恒成立，則 t 的取值范圍為（）.

本題較為復(fù)雜.要使不等式恒成立，我們需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性將原不等式變形、化簡(jiǎn)，得到有關(guān)參數(shù)的新不等式.

函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用較為廣泛.在運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題時(shí)，無(wú)論是哪種類(lèi)型的題目，我們首先要建立合適的函數(shù)模型，確定函數(shù)的單調(diào)性，然后將所求目標(biāo)與函數(shù)關(guān)聯(lián)起來(lái)，這樣便能求得問(wèn)題的答案.

（作者單位：甘肅省寧縣第一中學(xué)）