錢寶琮

《九章算術(shù)》是一部現(xiàn)有傳本中最古老的中國數(shù)學經(jīng)典著作.書中收集了二百四十六個應(yīng)用問題和各個問題的解法，分別隸屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章.現(xiàn)在擬就問題的性質(zhì)分成算術(shù)、幾何、代數(shù)三類，介紹全書的主要內(nèi)容.下面主要介紹《九章算術(shù)》中的代數(shù)部分，列出開平方與開立方、開帶從平方、方程與正負數(shù)三個部分.

一、開平方與開立方

《九章算術(shù)》的少廣章中提到了開平方法和開立方法，內(nèi)容簡明，依照兩種方法進行演算也很方便.開平方法借用一根算籌來表示未知量的平方，開立方法借用一根算籌表示未知量的立方，這樣就建立了籌式和代數(shù)方程之間的聯(lián)系.開平方或開立方的各個演算步驟相當于解方程中求正根的過程.中國古代開平方、開立方的方法，不僅具有算術(shù)上的意義，更重要的是它們具有代數(shù)方面的意義.

少廣章中的開方術(shù)說：“置積為實.借一算，步之，超一等.議所得，以一乘所借一算為法而以除.除已，倍法為定法.其復除，折法而下.復置借算步之如初.以復議一乘之，所得副，以加定法以除.以所得副從定法.復除，折下如前.”

例如，少廣章中的第12題：一平方積為55225，求方邊的長.布置算籌 ，這叫做“實”（被開方數(shù)）.取一算籌放在“實”的個位下邊，如圖1，這個籌式用代數(shù)符號表達出來是一個方程 .將這個“借算”向左移動，每一步移兩位，移兩步，便停在“實”的萬位上，如圖2.這樣，“借算”所表示的數(shù)不是 ，而是 ，原方程就變?yōu)?，可估算出 x 大于2而小于3，在“實”的百位上面放算籌ll，表示平方根的第一個數(shù)碼.

以“議得”的2乘以10000得20000，擺在“實”的下面，“借算”的上面的算籌，叫做“法”.再以“議得”的2乘以“法”得40000，從“實”中減去40000，余數(shù)為15225，如圖3.把“法”數(shù)加倍，向右邊移一位，就變?yōu)?000，叫做“定法”.把“借算”向右邊移兩位，就變成100，如圖4.這個籌式和代數(shù)方程 有同樣的意義.

“議得”x 大于3而小于4，就把作3為平方根的第二個數(shù)碼，將其放在“實”的十位上面.用3乘以100得300，將其放在“定法”的右邊，加上“定法”得4300.用3乘以4300，從“實”中減去4300，余數(shù)為2325，如圖5.再將300加上4300得4600，向右邊移一位可得460，這是求平方根的第三個數(shù)碼.把“借算”向右邊移兩位變?yōu)?，如圖6.這籌式和代數(shù)方程 有同樣的意義.

議得平方根的個位數(shù) .用5乘以“借算”1得5，加上460得 465.用5乘以465，從“實”內(nèi)減去它，沒有余數(shù).這樣，我們就得到55225的平方根235.當被開方數(shù)是一個分數(shù)時，分母 b 開得盡，則 ，若開不盡，則 .

少廣章中的開立方術(shù)說：“置積為實，借一算，步之，超二等.議所得，以再乘所借一算為法，而除之，除已，三之為定法.復除.折而下以三乘所得數(shù)置中行復借一算置下行步之，中超一、下超二位.復置議，以一乘中，再乘下，皆副，以加定法以定法除除已，倍下，并中從定法復除，折下如前.”

例如，少廣章中的第19題：求1860867的立方根.要先布置算籌 ，將其作為“實”，并在“實”下面保留兩個空層，把“算借”放在最下層.把這個“借算”從個位上移到千位上，再移到百萬位上，如圖8.這個籌式表示代數(shù)方程

通過估算可得 x1>1，將其作為立方根的第一個數(shù)碼，在“實”的百位上面.用1乘以1000000得1000000，把它放在借算上面，稱為“中行”.再用1乘以“中行”得1000000，將其放在“中行”的上面，“實”的下面，稱為“法”.用1乘以“法”，從“實”內(nèi)減去1000000，余數(shù)為860867，如圖9.將其乘以3并向右移一位，將300000作為“定法”，“中行”乘以3并向右移兩位可得30000.把“借算”向右移三位，可得1000，如圖10.這個籌式表示方程

又“議得”x2>2，將其放在立方根的第二個數(shù)碼上，并放在“實”的十位上，把“中行”乘以2得60000，將其放在“法”的右邊.用2的平方乘以“借算”得4000，將其放在“中行”的右邊.又將這兩個數(shù)加上“定法”得364000.用2以乘“法”，從"實"內(nèi)減去所得的結(jié)果，余數(shù)為132867，如圖11.

用2乘以余下的數(shù)得8000，，加上“法”得432000，向右移一位得“定法”為43200.用3×2乘以“借算”得6000，加上“中行”得36000，向右移兩位得360.把“借算”向右移三位，如圖12.這個籌式表示方程? .

再“議得”立方根的末位數(shù)為 x3=3.用3乘以“中行”得1080，用3的平方乘以“借算”得9，將兩數(shù)并入“定法”得44289為“法”，用3乘以”法”，從”實”內(nèi)減去所得的結(jié)果，恰好為0，如圖13.這樣就得1860867的立方根123.

二、開帶從平方

中國古代數(shù)學中求二次方程 x 2+ bx = c 的正根，經(jīng)常用開帶從平方法.這個方法的數(shù)字計算程序一般比“補足方”的方法要簡便得多《.九章算術(shù)》的勾股章中第 20題是一個開帶從平方的例子：今有邑方不知大小，各中開門出北門二十步有木.出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木.問邑方幾何.題目的意思是：已知 CB =20步，F(xiàn)E =14步，ED =1775步，求 FC .解法是：以出北門步數(shù)，乘西行步數(shù)，倍之為實.并出南門步數(shù)為從法.開方除之，即邑方.即設(shè) x = FC =2AC ，則 ，或 .式內(nèi) x 的系數(shù)34是“從法”，常數(shù)項71000是“實”.

《九章算術(shù)》中沒有說明怎樣開帶從法的平方.但我們從少廣章的“開方術(shù)”中了解到，所列的籌式是一個有“從法”的開方式，用少廣開方術(shù)求平方根第二個、第三個數(shù)碼的方法就可以求出方程 x 2+ 34x =71000的正根，得“邑方”x =250步.當然，一般二次方程都可以用開帶從平方法求出它的個根.

三、方程與正負數(shù)

《九章算術(shù)》的方程章中提到的“方程”是指聯(lián)立一次方程組.例如，第1題：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗;上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗;上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗.問上、中、下禾實一秉各幾何“.禾”是黍米，“一秉”是一捆，“實”是打下來的黍米谷子.秦漢時期一“斗”的量約等于現(xiàn)在的二升“.上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗”譯成現(xiàn)代語是：三捆上等的谷子，二捆中等的谷子，一捆下等的谷子，打出來的黍米谷子一共有39斗.

設(shè) x、y、z 依次為每捆上、中、下等谷子的“斗”數(shù)，那么這個問題是求解下列三元一次方程組：

用算籌布置起來，如圖14，各行由上而下列出的算籌表示 x、y、z 的系數(shù)和常數(shù)項.三元一次方程組各項未知量的系數(shù)用算籌表示就像方陣，所以叫做“方程”.古代數(shù)學書中的“方程”和現(xiàn)在一般所謂方程是兩個不同的概念.包含不止一個未知量的算式和聯(lián)立方程組的概念.

以上面所舉的第1題為例，依照方程章的“方程術(shù)”演算如下：

用（1）式內(nèi) x 的系數(shù)3乘以（2）式中的各項，得6x +9y +3z =102（4）

將（4）式“直除”（1）式，也就是兩次減去（1）式的各項，得5y + z =24，（5）

同樣，用（1）式內(nèi) x 的系數(shù)3乘以（3）式中的各項，得3x +6y +9z =78，（6）

將（6）式“直除”（1）式，得4y +8z =39，（7）

用算籌來演算得結(jié)果，如圖15.

然后，用（5）式內(nèi) x 的系數(shù)5乘以（7）式中的各項，得20y +40z =195，（8）

將（8）式“直除”（5）式，得36z =99，（9）

將（9）式的兩端同時除以9，得4z =11，（10），籌式如圖16所示.在圖16中，左行的未知量項只剩一項，用4除以11，即得 二斗.求 x 和 y ，還是用”遍乘直除”的方法.用（10）式的系數(shù)4乘以（5）式的各項，得20y +4z =96，再"直除"（10）式得20y =85，將（10）的兩端同時除以5，得4y =17.（11）

用（10）式的系數(shù)4乘以（11）式的各項，得12x +8y +4z =156，“直除”（10）式，得12x +8y =145;再"直除"（11）式，得12x =111，將（11）的兩端同時除以3，得4x =37（12），籌式如圖17.

從圖14到圖17，方程組的算籌形式始終保持右、中、左三行，運籌演算相當便利.最后由（10）（11）（12）式，計算得 .

如果我們把上列消元過程中的四個籌算圖寫成現(xiàn)代代數(shù)學中矩陣的形式：

那么，利用直除法的方程術(shù)就是一種關(guān)于矩陣的計算《.九章算術(shù)》的方程章中有十八個聯(lián)立一次方程組問題，其中二元的有八題，三元的有六題，四元的、五元的各有兩題，都用上述的演算程序解答多元一次方程組.

該方法在印度最早出現(xiàn)于七世紀初婆羅門笈多（Brahmagupta，約628年）所著書中.在歐洲，最早提出三元一次方程組的解法是十六世紀中的法國數(shù)學家布丟（Buteo，1559年）《.九章算術(shù)》中的方程術(shù)，不但是中國古代數(shù)學中的偉大成就，在世界數(shù)學史上，也是一份最可寶貴的財產(chǎn).

“方程”的每一行是由多項未知量和一個已知量所組成的等式，其中可能有相反意義的數(shù)量，由此產(chǎn)生正數(shù)與負數(shù)的對立概念.用“直除”法消元，當減數(shù)大于被減數(shù)時，也需要負數(shù)的概念來擴充減法的功用.因此，中國數(shù)學家在方程章里提出了正負數(shù)的不同表示法和正負數(shù)的加減法則.這在數(shù)學史上是一個無比的偉大成就.

正負術(shù)是指，同名相除，異名相益.正無入負之，負無入正之其異名相除，同名相益.正無入正之，負無入負之.這是方程章正負數(shù)加減法則的條文“.同名”“異名”就是現(xiàn)在所謂同號、異號.文中指出，兩數(shù)同號則絕對值的差是余數(shù)的絕對值;兩數(shù)異號則絕對值的和是余數(shù)的絕對值;減去的數(shù)如其是正數(shù)而大于被減數(shù)時，余數(shù)得負號;如其是負數(shù)而小于被減數(shù)時，余數(shù)得正號;兩數(shù)同號則和數(shù)的絕對值等于兩絕對值的和;兩數(shù)異號則和數(shù)的絕對值等于兩絕對值的差;當兩數(shù)異號時，其中正數(shù)的絕對值較大則和數(shù)取正號，其中負數(shù)的絕對值較大則和數(shù)取負號.有了這正負數(shù)加減法則后，“直除”消元法的應(yīng)用可以推廣到任何聯(lián)立一次方程組.在后世的“開方法”和天元術(shù)里，正負數(shù)加減法則也起著重要的作用.

——摘自《中國數(shù)學史》