劉曉燕 楊 瑤 李秉晨

1.湖南鐵路科技職業(yè)技術(shù)學院鐵道工程與信息學院湖南 株洲 412006

2. 湖南中醫(yī)藥高等?？茖W校護理系湖南 株洲 412012

3. 湖南工業(yè)大學軌道交通學院湖南 株洲 412007

0 引言

凹版印刷機是包裝印刷行業(yè)的重要設(shè)備之一[1]。盡管我國在1990年就生產(chǎn)了第一臺具有自主知識產(chǎn)權(quán)的凹版印刷機[2]，然而我國凹版印刷技術(shù)和設(shè)備與發(fā)達國家的還存在一定差距，多色套印系統(tǒng)的準確度、印刷設(shè)備的穩(wěn)定性等有待提高。因而研制一種適用于國產(chǎn)凹版印刷機的高精度自動套印系統(tǒng)，是提高我國凹印技術(shù)的關(guān)健。

基于傳統(tǒng)PID控制器的套準系統(tǒng)已不能滿足高速高精的生產(chǎn)要求[3]。為此，國內(nèi)許多專家學者開展了眾多相關(guān)的研究。李坤全等[4]針對凹版印刷機放卷系統(tǒng)設(shè)計了一個模糊自抗擾控制器，有效提高了系統(tǒng)控制的穩(wěn)定性和抗干擾性。Chen Z. H.等[5]設(shè)計了基于模型的前饋比例微分控制器，有效減少了由張力波動引起的套準誤差。Zhang E. P.等[6]提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡的主動擾動抑制控制策略，并將其應用于凹版印刷機的套印校正系統(tǒng)中。劉小剛等[7]針對凹版印刷機的無軸傳動多軸同步控制系統(tǒng)，提出了模糊分數(shù)階PID控制方法，極大改善了系統(tǒng)穩(wěn)定性。劉成等[8]設(shè)計了二階自抗擾控制器，實現(xiàn)了印刷色組單元的高精度控制。Huang G.等[9]提出了一種基于等價輸入干擾的未知外部干擾抑制方法，有效提高了系統(tǒng)對時變外部干擾的魯棒性。陳銀環(huán)[10]設(shè)計了一種相鄰交叉耦合控制策略，有效補償了凹版印刷機滾軸的跟蹤誤差及多軸之間的同步誤差。

盡管上述方法在提高凹版印刷機的套印精度方面取得了很好的效果，但它們的控制精度嚴重依賴于被控對象的精確數(shù)學模型?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制方法對系統(tǒng)參數(shù)攝動、外界擾動及數(shù)學模型不準確具有很好的魯棒性[11-12]?；诖?，本課題組擬以自動套印系統(tǒng)中交流永磁同步伺服電機（permanent magnet synchronous motor，PMSM）為被控對象，采用基于比例切換控制策略的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，并對其仿真結(jié)果進行分析比較，以期為自動套印系統(tǒng)設(shè)計提供參考。

1 系統(tǒng)模型

套印準確是印刷的最基本要求，但由于各種因素的影響，套印不可避免地存在一定的偏差。PMSM以其體積小、功率因數(shù)高、響應快速及維護容易等優(yōu)勢廣泛應用于包裝印刷機械中[13]。因此，本課題組采用永磁同步電機驅(qū)動伺服系統(tǒng)調(diào)整定位技術(shù)來修正套印誤差。其工作原理為：每個印刷單元配一臺永磁同步伺服電機，先檢測套印誤差，再根據(jù)控制算法計算驅(qū)動電機的修正值，并調(diào)整修正輥的移動以補償套印誤差。

兩相靜止αβ坐標系下PMSM的數(shù)學模型[14]可描述為：

式中：iα、iβ分別為α、β軸定子電流；uα、uβ分別為α、β軸定子電壓；Lα、Lβ分別為α、β軸定子電感；Rs為定子電阻；ψr為永磁體磁鏈；ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；θ為電機轉(zhuǎn)子位置。

定子電感為

式中Ld、Lq分別為d、q軸定子電感。

電磁轉(zhuǎn)矩（Te）為

式中：iq為q軸定子電流；np為極對數(shù)。

機械方程為

式中：Tl為永磁同步電機的負載轉(zhuǎn)矩；J為轉(zhuǎn)動慣量；B為轉(zhuǎn)矩阻尼系數(shù)；ωm為轉(zhuǎn)子機械角速度；Bωm為阻尼轉(zhuǎn)矩。

由于三相交流永磁同步伺服電機具有較強的耦合性和嚴重的非線性，且某些電氣參數(shù)具有可變性，因此該伺服系統(tǒng)的模型較為復雜。本課題組選取位置伺服系統(tǒng)的近似傳遞函數(shù)[15]，即

式中：Θ(s)、U(s)分別為位置θ和定子電壓u的拉普拉斯變換；K為位置伺服單元系數(shù)；T為速度伺服單元時間常數(shù)。

2 滑?？刂破髟O(shè)計

對交流傳動等快速變化的非線性復雜系統(tǒng)，專家學者已經(jīng)提出了各種控制方案。這些控制方案雖然解決了一些問題，但新的矛盾也涌現(xiàn)出來。有些方案因算法太復雜、穩(wěn)定性及收斂性難以證明而不能實用。因此對快速變化的復雜工業(yè)系統(tǒng)，研究一種工程實用的有效控制方法是急待解決的問題[4]。

滑模變結(jié)構(gòu)控制方法響應快，對系統(tǒng)參數(shù)和外部干擾呈不變性，這保證了系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。尤其可貴的是其算法簡單，易于工程實現(xiàn)[16]。因此，采用滑模變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計伺服系統(tǒng)的位置控制器。其中，電動機的轉(zhuǎn)角θ是控制對象的輸出量，定子電壓u是其輸入量，參數(shù)K、Ts+1可以通過系統(tǒng)仿真實驗測得。為構(gòu)建一個簡單而有效的滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)，本課題組采用比例切換控制策略。

采用比例切換控制策略后，式（6）可表示為

式中：a1=0；a2=1/T；b=K/T。設(shè)b=133，a2=25，可得電機參數(shù)T=0.04 s，K=5.32。

輸入量u為

對于位置伺服系統(tǒng)[17]，

式（9）～（10）中：α′、β′為待求解的控制增益；θr為給定的角位移；θ為實際的角位移。

根據(jù)廣義滑模條件

式（10）表示在有限時間內(nèi)滑模面外的任意點必可到達滑模面。

反饋控制系統(tǒng)要求系統(tǒng)在進入滑動模態(tài)區(qū)后的運動必須是漸進穩(wěn)定的，因此需確定恰當?shù)那袚Q函數(shù)s，使得其滿足：

滑模面為

可得：

取c1=30，可得α′=500，β′=10。

3 系統(tǒng)仿真結(jié)果與分析

3.1 被控對象為時不變系統(tǒng)

在本設(shè)計中，系統(tǒng)的魯棒性可以通過比較被控對象即電機參數(shù)（T,K）改變前后的響應特征曲線進行衡量。若系統(tǒng)具有強魯棒性，則在電機參數(shù)發(fā)生變化后仍然具有很好的動態(tài)、靜態(tài)性能。實驗時，輸入采用單位階躍響應。

1）T值不變，改變K值

圖1為參數(shù)K值變化時（K值減少20%和增加20%）的系統(tǒng)響應曲線。圖中，曲線1為參數(shù)K變化前的響應曲線，曲線2為參數(shù)K變化后的響應曲線。

圖1 K值變化時系統(tǒng)響應曲線Fig. 1 System response curve with changes in K

由圖1可知，當T值不變時，K取值越小，系統(tǒng)的響應越快，且與輸出給定值的誤差越小。

2）K值不變，改變T值

圖2為參數(shù)T值變化時（T值減少20%和增加20%）的系統(tǒng)響應曲線。圖中，曲線1為參數(shù)變化前的響應曲線，曲線2為參數(shù)變化后的響應曲線。

圖2 T值變化時系統(tǒng)響應曲線Fig. 2 System response curve with changes in T

由圖2可知，當K值不變，T值越大，系統(tǒng)的控制性能越好，響應越快，且與輸出給定的誤差越小，但T值不能太大，太大會出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象。

通過上述改變T、K的仿真結(jié)果可得：基于比例切換控制策略的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法能夠較好地克服永磁同步伺服電機參數(shù)變化帶來的影響，系統(tǒng)具有較好的魯棒性和跟蹤精度。

3.2 被控對象為時變系統(tǒng)

交流伺服系統(tǒng)中永磁同步電機具有強耦合和嚴重的非線性，且部分電氣參數(shù)可變。也就是說，除對上述時不變系統(tǒng)的參數(shù)進行討論分析外，還有必要研究時變系統(tǒng)的輸出情況。

設(shè)電機參數(shù)如下：

輸入分別為方波信號和正弦波信號時，系統(tǒng)的響應情況如圖3所示。

圖3 不同信號作用下系統(tǒng)的響應曲線Fig. 3 System response curve under different signals

由圖3可知，當被控對象參數(shù)按非線性變化時，基于比例切換滑模變結(jié)構(gòu)控制方法的永磁同步電機伺服系統(tǒng)仍然有著很好的動態(tài)跟隨性能。

3.3 兩種控制方式的比較

當控制器分別采用PI控制器和滑模變結(jié)構(gòu)控制器時，本課題組對其系統(tǒng)性能進行對比分析。為使兩種控制方式具有可比性，將被控對象校正成典型II型系統(tǒng)。按閉環(huán)幅頻特性峰值Mr最小準則，取頻寬h=5，以確定PI控制器參數(shù)。設(shè)計PI控制器時，比例系數(shù)Kp越大，系統(tǒng)超調(diào)量變大，但系統(tǒng)響應速度加快，可以獲得盡可能小的穩(wěn)態(tài)誤差；積分系數(shù)Ki越大，積分作用越弱，系統(tǒng)超調(diào)量變小，但系統(tǒng)響應速度變慢。綜合考慮超調(diào)量不會過大的情況下，系統(tǒng)能有相對較高的系統(tǒng)響應速度，選擇控制器增益：Kp=19.94，Ki=1。

圖4為兩種控制方式下系統(tǒng)的階躍響應曲線。

圖4 系統(tǒng)階躍響應曲線Fig. 4 System step response

由圖4可知，采用PI控制器的系統(tǒng)響應在0.9 s后達到給定值，而采用滑模變結(jié)構(gòu)控制器的系統(tǒng)響應在0.2 s后就達到給定值?？梢姡捎没Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制器的系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)的時間明顯小于采用PI控制器的（兩者相差0.7 s），且采用PI控制器的系統(tǒng)有較明顯的超調(diào)現(xiàn)象。

圖5為兩種控制方式下系統(tǒng)的擾動響應曲線。

圖5 系統(tǒng)擾動響應曲線Fig. 5 System disturbance response

由圖5可知，在1 s時加入擾動，采用PI控制器的系統(tǒng)響應有較明顯的波動，且需要較長一段時間（約0.4 s）才能重新達到原來的穩(wěn)定值；而采用滑模變結(jié)構(gòu)控制的系統(tǒng)響應曲線未出現(xiàn)波動，在擾動下依然能夠很好地穩(wěn)定跟蹤給定值。

4 結(jié)語

本課題組以凹版印刷機套印系統(tǒng)中交流伺服系統(tǒng)為控制對象，為確保系統(tǒng)運行時的速度穩(wěn)定性、電流快速性和位置準確性，設(shè)計了基于比例切換控制策略的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法。著重討論了被控對象為時不變和時變時系統(tǒng)的響應情況，并對PI控制和滑模變結(jié)構(gòu)控制兩種控制方式下系統(tǒng)的響應、過渡時間、超調(diào)、抗干擾能力等進行了仿真分析。理論分析與仿真結(jié)果表明，所設(shè)計方法能對具有數(shù)學模型不精確、非線性、強耦合的被控對象進行控制，極大提高了伺服控制系統(tǒng)的性能。