童其林

概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，它為人們從不確定性的角度認(rèn)識(shí)客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法，為統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展提供理論基礎(chǔ). 概率是新課程高考的重要內(nèi)容，從2021年及2020年全國新高考Ⅰ卷對(duì)概率的考查，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)此內(nèi)容的考查有所拓展，比如對(duì)相互獨(dú)立事件的考查，積事件的概率公式的應(yīng)用等. 下面先分析和解答2021年全國新高考Ⅰ卷第8題，然后再全面了解必修課程中概率問題的考點(diǎn)和?？碱}型，希望對(duì)大家的復(fù)習(xí)備考有幫助.

例1.（2021年全國新高考Ⅰ卷第8題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（??? ）

A. 甲與丙相互獨(dú)立?? B. 甲與丁相互獨(dú)立

C. 乙與丙相互獨(dú)立?? D. 丙與丁相互獨(dú)立

解析：判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的兩種方法：

（1）根據(jù)問題的實(shí)質(zhì)，直觀上看一事件的發(fā)生是否影響另一事件發(fā)生的概率來判斷，若沒有影響，則兩個(gè)事件就是相互獨(dú)立事件;

（2）定義法：通過式子P（AB）=P（A）P（B）來判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立，若上式成立，則事件A，B相互獨(dú)立，這是定量判斷.

本題用方法1較難判斷，所以采用方法2進(jìn)行判斷. 這6個(gè)相同的分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的球，從中有放回的隨機(jī)取兩次，可能的結(jié)果可以通過下表得到.

解析：P（甲）=，P（乙）=，P（丙）=，P（?。?=，

P（甲丙）=0≠P（甲）P（丙）=，P（甲丁）==P（甲）P（?。?，

P（乙丙）=≠P（乙）P（丙）=，P（丙丁）=0≠P（?。㏄（丙）=.

故選B.

點(diǎn)評(píng)：判斷事件A，B是否獨(dú)立，先計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，再判斷P（A）P（B）=P（AB）是否成立.

例2.（2020年全國新高考Ⅰ卷第5題）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（??? ）

A. 62%?? B. 56%?? C. 46%?? D. 42%

解析：記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件A，“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件B，則“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球或游泳”為事件A+B，“該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件A·B，

則P（A）=0.6，P（B）=0.82，P（A+B）=0.96，

所以P（A·B）=P（A）+P（B）-P（A+B）=0.6+0.82-0.96=0.46.

所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46%. 故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了積事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題. 本題也可以類似地通過集合中元素個(gè)數(shù)的公式得出結(jié)論（必修1第13頁），即對(duì)于兩個(gè)有限集合A，B，有：

card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）.

從以上兩例新高考對(duì)概率的考查，我們發(fā)現(xiàn)，概率問題很重視慨念的考查，考查的內(nèi)容符合新課程標(biāo)準(zhǔn)，符合新課程理念. 因此，我們很有必要認(rèn)真學(xué)習(xí)新課程標(biāo)準(zhǔn).

一、課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)概率考查的內(nèi)容要求

在新教材中，對(duì)概率的學(xué)習(xí)分為兩部分，一部分在必修課程中，另一部分在選擇性必修課程中. 而目前高三學(xué)生使用的是老教材，命題卻按新的課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行命制，所以把新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)概率的要求羅列出來，清楚新高考概率的內(nèi)容要求，對(duì)于把握新高考概率的命題走向顯得很有意義.

1. 必修課程對(duì)概率考查的內(nèi)容要求

本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助考生結(jié)合具體實(shí)例，理解樣本點(diǎn)、有限樣本空間、隨機(jī)事件，會(huì)計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率，加深對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)和理解.

內(nèi)容包括：隨機(jī)事件與概率、隨機(jī)事件的獨(dú)立性. 具體來說，內(nèi)容包括：“隨機(jī)事件和概率”——有限樣本空間與隨機(jī)事件，事件的關(guān)系和運(yùn)算，古典概型，概率的基本性質(zhì);“事件的相互獨(dú)立性”;“頻率與概率”——頻率的穩(wěn)定性，隨機(jī)模擬;“概率的初步應(yīng)用”.

（1）隨機(jī)事件與概率

①結(jié)合具體實(shí)例，理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系. 了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件并、交運(yùn)算.

②結(jié)合具體實(shí)例，理解古典概型，能計(jì)算古典概率模型中隨機(jī)事件的概率.

③通過實(shí)例，理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.

④結(jié)合實(shí)例，會(huì)用頻率估計(jì)概率.

（2）隨機(jī)事件的獨(dú)立性

結(jié)合有限樣本空間，了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義. 結(jié)合古典概型，利用獨(dú)立性計(jì)算概率.

2. 選擇性必修課程對(duì)概率考查的內(nèi)容要求

本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生了解條件概率及其獨(dú)立性的關(guān)系，能進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算;感悟離散隨機(jī)變量及其分布列的含義，知道可以通過隨機(jī)變量更好地刻畫隨機(jī)現(xiàn)象;理解伯努利試驗(yàn)，掌握二項(xiàng)分布，了解超幾何分布;感悟服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，知道連續(xù)型隨機(jī)變量;基于隨機(jī)變量及其分布解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題.

內(nèi)容包括：隨機(jī)事件的條件概率，離散型隨機(jī)變量及其分布列，正態(tài)分布.

（1）隨機(jī)事件的條件概率

①結(jié)合古典概型，了解條件概率，能計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的條件概率.

②結(jié)合古典概型，了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系.

③結(jié)合古典概型，會(huì)利用乘法公式計(jì)算概率.

④結(jié)合古典概型，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.了解貝葉新公式.

（2）離散型隨機(jī)變量及其分布列

①通過具體實(shí)例，了解隨機(jī)變量的概念，理解離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)字征值（均值、方差）.

②通過具體實(shí)例，了解伯努利試驗(yàn)，掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征，并能解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題.

③通過具體實(shí)例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題.

（3）正態(tài)分布

①通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量. 通過具體實(shí)例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征.

②了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.

全國新高考Ⅰ卷在必修課程中，以隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)度量——概率為主題，培養(yǎng)學(xué)生通過概率模型認(rèn)識(shí)和分析隨機(jī)現(xiàn)象的能力，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的科學(xué)素養(yǎng).

二、概率問題常考題型例析

下面針對(duì)必修課程對(duì)概率考查的內(nèi)容要求，舉例說明概率問題常考題型.

1. 事件類型的判斷及隨機(jī)事件的關(guān)系

例3. 指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件.

（1）中國體操運(yùn)動(dòng)員將在下屆奧運(yùn)會(huì)上獲得全能冠軍.

（2）出租車司機(jī)小李駕車通過幾個(gè)十字路口都將遇到綠燈.

（3）若x∈R，則x2+1≥1.

（4）拋一枚骰子兩次，朝上面的數(shù)字之和小于2.

解析：由題意知（1）（2）中事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以是隨機(jī)事件;（3）中事件一定會(huì)發(fā)生，是必然事件;由于骰子朝上面的數(shù)字最小是1，兩次朝上面的數(shù)字之和最小是2，不可能小于2，所以（4）中事件不可能發(fā)生，是不可能事件.

點(diǎn)評(píng)：可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件叫是隨機(jī)事件;不可能發(fā)生的事件叫不可能事件;一定會(huì)發(fā)生的事件叫必然事件.

例4. 把紅、黃、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四人，每個(gè)人分得一張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”（ ）

A. 是對(duì)立事件 ???? ? B. 是不可能事件

C. 是互斥但不對(duì)立事件 ???? ??D. 不是互斥事件

解析：顯然兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，但兩者可能同時(shí)不發(fā)生，因?yàn)榧t牌可以分給丙、丁兩人，綜上，這兩個(gè)事件為互斥不對(duì)立事件，故選C.

點(diǎn)評(píng)：判斷互斥、對(duì)立事件的2種方法：

例5. 某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽，判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件，如果是，再判別它們是不是對(duì)立事件.

（1）恰有1名男生與恰有2名男生;（2）至少有1名男生與全是男生;

（3）至少有1名男生與全是女生;（4）至少有1名男生與至少有1名女生.

解析：判別兩個(gè)事件是否互斥，就要考察它們是否能同時(shí)發(fā)生;判別兩個(gè)互斥事件是否對(duì)立，就要考察它們是否必有一個(gè)發(fā)生.

（1）因?yàn)椤扒∮?名男生”與“恰有2名男生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們是互斥事件;當(dāng)恰有2名女生時(shí)它們都不發(fā)生，所以它們不是對(duì)立事件.

（2）因?yàn)榍∮?名男生時(shí)“至少有1名男生”與“全是男生”同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件.

（3）因?yàn)椤爸辽儆?名男生”與“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們互斥;由于它們必有一個(gè)發(fā)生，所以它們是對(duì)立事件.

（4）由于選出的是1名男生1名女生時(shí)“至少有1名男生”與“至少有1名女生”同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件.

例6.（多選題）一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號(hào)為 1 和2 ）， 2個(gè)綠色球（標(biāo)號(hào)為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，每次摸出一個(gè)球. 設(shè)事件R1=“第一次摸到紅球”， 事件R=“兩次都摸到紅球”，事件G=“兩次都摸到綠球”，事件M=“兩球顏色相同”，事件= N“兩球顏色不同”，則（ ）

A. R1？哿R? B. R∩G=？覫? C. R∪G=M?? D. M=

解析：在一次實(shí)驗(yàn)中，“第一次摸到紅球”，第二次可能摸到紅球，也可能摸到綠球，所以R？哿R1，A錯(cuò).

在一次實(shí)驗(yàn)中，事件R=“兩次都摸到紅球”，事件G=“兩次都摸到綠球”，不能同時(shí)發(fā)生，所以R∩G=？覫，B正確.

“兩球顏色相同”，包括“兩次都摸到紅球”或“兩次都摸到綠球”，所以R∪G=M，C正確.

在一次實(shí)驗(yàn)中，“兩球顏色相同”與“兩球顏色不同”是對(duì)立事件，所以D正確.

故選BCD.

2. 隨機(jī)事件的頻率與概率

例7.（2019·北京高考）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

（1）估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù);

（2）從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率;

（3）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元. 結(jié)合（2）的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.

解析：（1）由題知，樣本中僅使用A的學(xué)生有27+3=30（人），僅使用B的學(xué)生有24+1=25（人），A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人. 故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100-30-25-5=40（人）. 估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)為×1000=400.

（2）記事件C為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于2000元”，則P（C）==0.04.

（3）記事件E為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，該學(xué)生本月的支付金額大于2000元”.

假設(shè)樣本僅使用B的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化，則由（2）知，P（E）=0.04.

答案示例1：可以認(rèn)為有變化.理由如下：

P（E）比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生，一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化. 所以可以認(rèn)為有變化.

答案示例2：無法確定有沒有變化.理由如下：

事件E是隨機(jī)事件，P（E）比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變化.

點(diǎn)評(píng)：（3）是一個(gè)開放性問題，只要用數(shù)據(jù)說話，作出合理的解釋都是可以的.

3. 古典概型

例8. 某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中2名女生的概率為________.

解析：記2名男生分別為A，B，3名女生分別為a，b，c，則從中任選2名學(xué)生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10種情況，其中恰好選中2名女生有ab，ac，bc，共3種情況，故所求概率為.

點(diǎn)評(píng)：古典概型的概率求解步驟：（1）求出所有基本事件的個(gè)數(shù)n;（2）求出事件A包含的所有基本事件的個(gè)數(shù)m;（3）代入公式P（A）=求解. 本題也可以直接求解：記恰好選中2名女生為事件A，則P（A）==.

例9.（2021年全國高考數(shù)學(xué)甲卷，文理10）將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（ ）

A. 0.3?? B. 0.5? ? C. 0.6 D. 0.8

解析1：將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可以是：

00111，01011，01101，01110，10011，10101，10110，11001，11010，11100共10種排法，

其中2個(gè)0不相鄰的排列方法為：

1011，01101，01110，10101，10110，11010共6種方法，

故2個(gè)0不相鄰的概率為=0.6，故選C.

點(diǎn)評(píng)：利用古典概型的概率公式可求概率.當(dāng)情形不多的情況下，列出所有情形，再算出則2個(gè)0不相鄰的情形，便可求解.

解析2：將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，若2個(gè)0相鄰，則有=5種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有=10種排法，所以2個(gè)0不相鄰的概率為==0.6. 故選C.

點(diǎn)評(píng)：采用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，分2個(gè)0相鄰和2個(gè)0不相鄰進(jìn)行求解.

4. 相互獨(dú)立事件的判斷

例10. 一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為 1， 2， 3， 4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異. 采用不放回方式從中任意摸球兩次，每次摸出一個(gè)球. 記事件A=“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于 3 ”，事件B=“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”，事件C=“摸出的兩個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和為6 ”，事件D=“摸出的兩個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和不超過4”，則（ ）

A. A與 B相互獨(dú)立? B. A與 D相互獨(dú)立

C. B與 C相互獨(dú)立?? D. B與 D相互獨(dú)立

解析：顯然P（A）==. 用不放回方式從中任意摸球兩次，每次摸出一個(gè)球，標(biāo)號(hào)可能出現(xiàn)的情形有：12，13，14，21，23，

24，31，32，34，41，42，43，共12種.

“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”，此時(shí)第一次摸出球的標(biāo)號(hào)可能小于3，也可能不小于3，所以P（B）=·+·==.

“摸出的兩個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和為6”的情形只有24，42兩種，所以P（C）==.

“摸出的兩個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和不超過4”，有12，13，21，31四種，所以P（D）==.

而P（AB）=·=≠P（A）P（B）=，

A=“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于 3 ”且D=“摸出的兩個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和不超過4”，只有12，21，13三種，所以P（AD）==≠P（A）P（D）=，

B=“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”且C=“摸出的兩個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和為6 ”，只有42一種，所以P（BC）==P（B）P（C），

B=“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”且D=“摸出的兩個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和不超過4”，只有12，13，21，31四種，所以P（BD）==≠P（B）P（D）=.

所以選C.

點(diǎn)評(píng)：本題與2021年全國新高考Ⅰ卷第8題類似，不同的是一個(gè)的有放回的抽取，一個(gè)是不放回抽取.為了進(jìn)一步鞏固此類問題的解法，不妨做做下面的問題：

變式：（多選題）袋子中有 5 個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出 2 個(gè)球，每次摸出一個(gè)球，則（??? ）

A. 第一次摸到紅球的概率為

B. 第二次摸到紅球的概率為

C. 兩次都摸到紅球的概率為

D. 兩次都摸到黃球的概率為

答案：ABD

5. 相互獨(dú)立事件的概率

例11.（2019·全國卷Ⅱ）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為 0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為 0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.

（1）求P（X=2）;

（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

解析：（1）X=2就是某局雙方10∶10平后，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分.

因此P（X=2）=0.5×0.4+（1-0.5）×（1-0.4）=0.5.

（2）X=4且甲獲勝，就是某局雙方10∶10平后，兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分.

因此所求概率為[0.5×（1-0.4）+（1-0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1.

例12. 某校舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，競(jìng)賽要完成三道題：代數(shù)，幾何，組合各一道，競(jìng)賽記分方法如下：在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，答對(duì)代數(shù)題、組合題，每題均可獲得30分，答對(duì)幾何題，可獲得40分，每答錯(cuò)一題，則扣除總分中的10分（假設(shè)答題只有對(duì)與錯(cuò)兩種結(jié)果）. 根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)結(jié)果，小明答對(duì)代數(shù)、幾何、組合的概率分別為，，a，假設(shè)解答這三題結(jié)果彼此獨(dú)立. 已知小明初始分為0分，設(shè)比賽結(jié)束后，小明的總分為X，求：

（1）已知小明在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，將三題都答對(duì)的概率為，求該學(xué)生恰能答對(duì)三題中的一題的概率;

（2）已知a=，求總分X不低于50分的概率.

解析：（1）小明三道題都答對(duì)概率為××a=，故a=，

恰能解決三道題中的一道題的概率：××××+××=

（2）若三道題均答對(duì)，則X=100，P（X=100）=××=;

若組合題答對(duì)，代數(shù)、幾何恰有一道題答對(duì)，

則X=60，P（X=60）=××+××=;

若代數(shù)幾何均答對(duì)，但組合未答對(duì)，則X=50，

P（X=50）=××=;

∴ P（X≥50）=++=.

6. 互斥事件、對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用

例13. 某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購多得.1 000 張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè). 設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求：

（1）P（A），P（B），P（C）;

（2）1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率;

（3）1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率.

解析：（1）易知P（A）=，P（B）=，P（C）=.

（2）1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng). 設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”這個(gè)事件為M，則M=A∪B∪C.

因?yàn)锳，B，C兩兩互斥，

所以P（M）=P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）==.

故1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為.

（3）設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N，則事件N與“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”為對(duì)立事件，

所以P（N）=1-P（A∪B）=1-（+）=.

故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為.

點(diǎn)評(píng)：事件A，B，C兩兩互斥，則P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）;事件A，B是對(duì)立事件，則P（A）+P（B）=1.

7. 隨機(jī)模擬法估計(jì)概率

例14. 已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器算產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中;再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：

907? 966? 191? 925? 271? 932? 812

458? 569? 683? 431? 257? 393? 027

556? 488? 730? 113? 537? 989

據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為（?? ）

A. 0.35 B. 0.25 C. 0.20 D. 0.15

解析：該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的隨機(jī)數(shù)有191，271，932，812，393，共五組，所以該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率p==0.25，選B.

點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用隨機(jī)數(shù)估計(jì)概率的步驟：（1）明確隨機(jī)數(shù)的范圍及數(shù)字與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)應(yīng)關(guān)系;（2）產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)：（3）統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)次數(shù)N及所求事件包含的次數(shù)n;（4）計(jì)算便可.

8. 游戲的公平性

例15. 某校高二年級(jí)（1）（2）班準(zhǔn)備聯(lián)合舉辦晚會(huì)，組織者欲使晚會(huì)氣氛熱烈、有趣，策劃整場(chǎng)晚會(huì)以轉(zhuǎn)盤游戲的方式進(jìn)行，每個(gè)節(jié)目開始時(shí)，兩班各派一人先進(jìn)行轉(zhuǎn)盤游戲，勝者獲得一件獎(jiǎng)品，負(fù)責(zé)表演一個(gè)節(jié)目.（1）班的文娛委員利用分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤（如圖所示），設(shè)計(jì)了一種游戲方案：兩人同時(shí)各轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)轉(zhuǎn)盤一次，將轉(zhuǎn)到的數(shù)字相加，和為偶數(shù)時(shí)（1）班代表獲勝，否則（2）班代表獲勝. 該方案對(duì)雙方是否公平？為什么？

解析：該方案是公平的，理由如下：各種情況如表所示：

由表可知該游戲可能出現(xiàn)的情況共有12種，其中兩數(shù)字之和為偶數(shù)的有6種，為奇數(shù)的也有6種，所以（1）班代表獲勝的概率P1==，（2）班代表獲勝的概率P2==，即P1=P2，機(jī)會(huì)是均等的，所以該方案對(duì)雙方是公平的.

點(diǎn)評(píng)：游戲公平性的標(biāo)準(zhǔn)及判斷方法：（1）游戲規(guī)則是否公平，要看對(duì)游戲的雙方來說，獲勝的可能性或概率是否相同. 若相同，則規(guī)則公平，否則就是不公平的.（2）具體判斷時(shí)，可以按所給規(guī)則，求出雙方的獲勝概率，再進(jìn)行比較.

在本例中，若把游戲規(guī)則改為自由轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，兩個(gè)指針指向的兩個(gè)數(shù)字相乘，如果積是偶數(shù)，那么（1）班代表獲勝，否則（2）班代表獲勝.游戲規(guī)則公平嗎？為什么？

解析：不公平. 因?yàn)槌霈F(xiàn)奇數(shù)的概率為=，而出現(xiàn)偶數(shù)的概率為=.

總之，必修課程中概率問題?？碱}型包括：事件類型的判斷，樣本點(diǎn)與樣本空間，事件的運(yùn)算，互斥事件與對(duì)立事件的判定，古典概型的概率計(jì)算，數(shù)學(xué)建?！诺涓判偷膶?shí)際應(yīng)用，互斥事件與對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用，相互獨(dú)立事件的判斷，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，概率的含義，游戲的公平性，隨機(jī)模擬法估計(jì)概率等. 在新課程的理念下，弄明白概念，懂得知識(shí)從何處來，知識(shí)本身是什么，知識(shí)到何處去（應(yīng)用），顯得很重要.

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)