王杰鋮，常錦才，祝青鈺

(1. 華北理工大學(xué)理學(xué)院，河北 唐山 063210；2. 中國航空綜合技術(shù)研究所，北京 100028)

1 引言

多部位損傷(MSD，Multiple Site Damage)問題[1]的提出起源于Aloha事故，多裂紋的連通造成了蒙皮結(jié)構(gòu)的破壞。此后，人們發(fā)現(xiàn)該問題普遍存在于飛機(jī)、火車[2]、橋梁[3]等工程結(jié)構(gòu)中。疲勞裂紋的存在削弱了結(jié)構(gòu)損傷容限特性[4]，嚴(yán)重影響了其使用壽命。因此，需要精確的結(jié)構(gòu)健康檢測技術(shù)來對(duì)結(jié)構(gòu)演變趨勢進(jìn)行預(yù)測分析，以保證結(jié)構(gòu)在設(shè)計(jì)壽命內(nèi)的安全性和可靠性，并節(jié)約成本。目前，結(jié)構(gòu)損傷模型問題使用最為廣泛的方法是有限元方法(FEM， Finite Element Method)。隋立軍等[5]通過試驗(yàn)對(duì)機(jī)身蒙皮試件進(jìn)行了有限元分析，結(jié)果表明了多裂紋的共同作用造成了裂紋擴(kuò)展速率的增加。學(xué)者們?cè)诔Ｒ?guī)有限元方法的基礎(chǔ)上提出了它的改進(jìn)算法擴(kuò)展有限元法(XFEM， Extended Finite Element Method)，解決了二次網(wǎng)格劃分問題，節(jié)約了計(jì)算時(shí)間。謝俊杰等[6]利用擴(kuò)展有限元對(duì)滾動(dòng)軸承內(nèi)部裂紋擴(kuò)展問題進(jìn)行了模擬仿真，計(jì)算出裂紋擴(kuò)展釋放的能量；王綜軼等[7]將擴(kuò)展有限元法應(yīng)用于交通信號(hào)支撐結(jié)構(gòu)的疲勞壽命預(yù)測。這些表征裂紋演變的方法基于物體是連續(xù)體這一基本假設(shè)，仿真過程對(duì)網(wǎng)格具有較強(qiáng)的依賴性。

為實(shí)現(xiàn)多部位損傷的機(jī)身蒙皮結(jié)構(gòu)裂紋演化仿真，采用毗域動(dòng)力學(xué)方法(PD，Peridynamics)建立疲勞裂紋演化運(yùn)動(dòng)方程。該方法摒棄了物體的連續(xù)性假設(shè)，以離散晶格間的相互作用力形式對(duì)宏觀不連續(xù)現(xiàn)象進(jìn)行了重新定義，物體在形變過程中僅需滿足柯西四個(gè)基本假設(shè)中的能量守恒律，以積分方程的形式來描述選定區(qū)域內(nèi)材料的斷裂情況，避免了導(dǎo)數(shù)在不連續(xù)處不存在的奇異性。

2 疲勞裂紋仿真原理

毗域動(dòng)力學(xué)最早由Silling提出并得到推廣[8，9]，而后引發(fā)了國內(nèi)學(xué)者[10-12]的關(guān)注。該方法適用于處理復(fù)雜物理模型的建立問題。本質(zhì)上是對(duì)連續(xù)性的一種非局部新定義，從微觀角度以積分形式表征宏觀連續(xù)現(xiàn)象，避免了在裂紋處求導(dǎo)的困難。

2.1 模型建立

局部思想的裂紋運(yùn)動(dòng)方程以Hamilton算子來表征：

上式的求解需要對(duì)應(yīng)力張量求偏導(dǎo)，在面對(duì)復(fù)雜物理模型時(shí)，方程難以求解。在處理此問題時(shí)，以粒子間的相互作用力為出發(fā)點(diǎn)，從微觀角度對(duì)裂紋進(jìn)行了重新定義，認(rèn)為結(jié)構(gòu)上任一點(diǎn)x與該點(diǎn)所視范圍δ內(nèi)的所有物質(zhì)點(diǎn)均存在相互作用力，這些完整的力鍵構(gòu)成了宏觀意義H上的連續(xù)，如圖1所示。

圖1 物質(zhì)點(diǎn)間的非局部作用

通過對(duì)物質(zhì)點(diǎn)做效果疊加，將裂紋處梯度方程轉(zhuǎn)換成如下積分運(yùn)動(dòng)方程

(1)

對(duì)于彈性材料，點(diǎn)對(duì)相互作用f可以由點(diǎn)對(duì)間的彈性勢能推出

(2)

若材料的拉伸與點(diǎn)對(duì)間的彈性勢能呈線性變化趨勢，則

(3)

式中，c(ξ)為微模量函數(shù)，表示的是材料點(diǎn)對(duì)間鍵的彈性剛度，s是鍵的伸長量

(4)

通過對(duì)式(4)積分可以得到毗域范圍內(nèi)點(diǎn)對(duì)的材料斷裂能W

(5)

假設(shè)微模量函數(shù)c(ξ)=c0是常數(shù)，由式(5)與載荷所做的功聯(lián)立可得

(6)

式中E是材料的楊氏模量，ν是泊松比。

毗域動(dòng)力學(xué)理論中引入了損傷的概念，用于判斷點(diǎn)對(duì)間的相互作用效果，當(dāng)超過了鍵的臨界伸長量s0，則點(diǎn)對(duì)間不再存在相互作用，即產(chǎn)生裂紋。對(duì)于二維案例，有

(7)

將式(3)和式(4)帶入式(2)，并聯(lián)立式(7)可得點(diǎn)對(duì)相互作用力f

(8)

2.2 模型離散化

根據(jù)PD理論將機(jī)身蒙皮結(jié)構(gòu)離散成晶格的思想，式(1)可轉(zhuǎn)換成求解有限和的形式

(9)

式中n為時(shí)間步長，Vp為節(jié)點(diǎn)p處的體積，下表為節(jié)點(diǎn)號(hào)。

對(duì)于線性化模型，有

(10)

左邊的加速度場表示為

(11)

在式(10)中，為保證方程求解的穩(wěn)定性，令

(12)

(13)

定義

(14)

用式(14)代入(13)求解ξ可得

(15)

由于|ξ|≤1，有

(16)

(17)

因此

(18)

更加普遍的形式為

(19)

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 基于毗域動(dòng)力學(xué)的裂紋演化模擬

以二維含孔機(jī)身蒙皮結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，假定蒙皮結(jié)構(gòu)是均勻，各向同性的彈脆性材料，蒙皮結(jié)構(gòu)其楊氏模量為192GPa，泊松比為0.3，密度為8000kg/m3，尺寸為長50mm，寬50mm，孔直徑10mm，毗域半徑為δ=3.015Δx，晶格常數(shù)Δx為0.5mm，臨界伸長量s0為0.02，節(jié)點(diǎn)體積為ΔV=1.25×10-10m3，時(shí)間步長Δt=1.0s，時(shí)間步數(shù)為1000。通過毗域動(dòng)力學(xué)方法模擬裂紋演化結(jié)果如圖2所示。

圖2 基于PD的單孔裂紋模擬

如圖2所示，分別對(duì)單孔邊裂紋擴(kuò)展的四個(gè)時(shí)間步長進(jìn)行了可視化模擬，在時(shí)間步長為675時(shí)，孔邊裂紋開始產(chǎn)生，隨著步長的增加，裂紋開始擴(kuò)展，直至?xí)r間步長為1000時(shí)，整個(gè)機(jī)身蒙皮結(jié)構(gòu)破裂。

現(xiàn)行的損傷容限技術(shù)考慮的僅是單一裂紋情況，沒有考慮多裂紋的存在，多裂紋連續(xù)擴(kuò)展會(huì)產(chǎn)生干涉效應(yīng)，導(dǎo)致裂紋擴(kuò)展速率加快、臨界裂紋尺寸減少等現(xiàn)象。因此，多裂紋對(duì)工程結(jié)構(gòu)造成的危害遠(yuǎn)大于單一裂紋，多裂紋結(jié)構(gòu)剩余壽命預(yù)測方法的研究迫在眉睫。針對(duì)該問題，采用PD方法對(duì)雙孔孔邊裂紋的演化過程進(jìn)行模擬，結(jié)果如圖3所示。

圖3 基于PD的雙孔裂紋模擬

通過圖3雙孔孔邊裂紋演化的模擬可知，在時(shí)間步長為675時(shí)，雙孔孔邊外側(cè)裂紋開始萌生，在時(shí)間步長為750時(shí)，雙孔內(nèi)側(cè)裂紋擴(kuò)展長度小于外側(cè)，在時(shí)間步長為825時(shí)，雙孔之間的裂紋已經(jīng)聯(lián)通，整個(gè)結(jié)構(gòu)就已基本破裂。驗(yàn)證了在多裂紋存在的情況下，由于干涉效應(yīng)的存在，導(dǎo)致了裂紋擴(kuò)展速率的加快，加速了機(jī)身蒙皮結(jié)構(gòu)的破裂。

上述仿真基于理想狀態(tài)下進(jìn)行，離散化的每個(gè)粒子在受外力情況下具有相同的初速度，產(chǎn)生了對(duì)稱的疲勞裂紋。在通過MTS Landmark電液伺服疲勞試驗(yàn)機(jī)系統(tǒng)對(duì)多種金屬結(jié)構(gòu)進(jìn)行疲勞裂紋試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，裂紋的開口位置和擴(kuò)展方向通常不具有對(duì)稱性。如圖4-圖6所示。

圖4 MTS Landmark電液伺服疲勞試驗(yàn)機(jī)系統(tǒng)

圖5 機(jī)身蒙皮結(jié)構(gòu)

圖6 7050鋁合金HST645-6高鎖栓連接件

實(shí)際疲勞試驗(yàn)中，對(duì)物體施加外載荷，離散粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以視為流體運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中存在層流現(xiàn)象，各層粒子以不同的速度向前運(yùn)動(dòng)，影響疲勞裂紋的擴(kuò)展速度和方向。根據(jù)牛頓粘性定律對(duì)離散模型粒子的初始速度進(jìn)行了修正，速度分布呈拋物線，其仿真結(jié)果如圖7所示。

如圖7所示，在時(shí)間步長為675時(shí)，由于離散粒子初始速度的降低，孔邊疲勞裂紋并沒有產(chǎn)生，表明疲勞裂紋的萌生時(shí)間延后了，在時(shí)間步為750時(shí)，右側(cè)孔邊裂紋開始萌發(fā)并擴(kuò)展，時(shí)間步為825時(shí)，雙孔的疲勞裂紋都已經(jīng)產(chǎn)生，時(shí)間步為1000時(shí)，雙孔的疲勞裂紋連通。根據(jù)該仿真結(jié)果與實(shí)際的疲勞裂紋圖片對(duì)比可見，兩者之間具有較高的相符度，證明了該方法在處理疲勞裂紋演化問題的優(yōu)勢。

圖7 基于PD的修正雙孔裂紋模擬

3.2 基于擴(kuò)展有限元方法的裂紋擴(kuò)展模擬

采用傳統(tǒng)方法中的擴(kuò)展有限元方法對(duì)裂紋演化進(jìn)行了模擬，其結(jié)果如圖8所示:

圖8 基于XFEM的單孔裂紋模擬

通過上圖可知，擴(kuò)展有限元法可以用于單孔裂紋演化過程的模擬，但是其仍需進(jìn)行網(wǎng)格劃分，對(duì)網(wǎng)格具有較強(qiáng)的依賴性，且該方法基于連續(xù)性假設(shè)，并不能很好地解釋應(yīng)力尖端的奇異性，自然也不能考慮尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子之間的干涉作用。因此，該方法在雙孔裂紋演化模擬上的應(yīng)用有待進(jìn)一步研究。

4 結(jié)論與展望

毗域動(dòng)力學(xué)方法提供了一種積分的思想，從非局部的觀點(diǎn)來重新定義裂縫的萌生，生長和擴(kuò)展，較好地解釋了應(yīng)力尖端的奇異性，對(duì)裂紋路徑形狀、分支模式和傳播速度有較好的預(yù)測能力，解決了連續(xù)介質(zhì)力學(xué)在遇到含裂紋的材料時(shí)，方程求解困難的問題。該方法摒棄了物體變形時(shí)仍保持連續(xù)性的基本假設(shè)，對(duì)連續(xù)性進(jìn)行了非局部新定義，以微觀粒子間作用力的表現(xiàn)形式將局部和非局部思想統(tǒng)一在一個(gè)體系下。相較于有限元方法，其數(shù)值求解過程是一種無網(wǎng)格法，能較好地自發(fā)模擬裂紋演變過程。本文建立了航空連接結(jié)構(gòu)裂紋演變問題的非局部模型，結(jié)合實(shí)際疲勞試驗(yàn)對(duì)PD模型進(jìn)行了修正，并將毗域動(dòng)力學(xué)方法與擴(kuò)展有限元方法進(jìn)行了對(duì)比，算例表現(xiàn)了毗域動(dòng)力學(xué)方法在處理不連續(xù)區(qū)域時(shí)的優(yōu)勢，避免了有限元法的網(wǎng)格依賴性，從微觀粒子角度解釋了應(yīng)力尖端的奇異性，與實(shí)際疲勞試驗(yàn)具有較高的相符度。該方法可應(yīng)用于航空故障診斷與預(yù)測，將可推廣應(yīng)用在缺陷、相變、位錯(cuò)等其它需要考慮材料內(nèi)部作用的復(fù)雜問題，為非局部問題提供新的解決方法。非均勻材料的離散化問題有待進(jìn)一步研究。