楊流松 姚文莉 薛世峰,?

1. 中國石油大學(xué)(華東)儲(chǔ)運(yùn)與建筑工程學(xué)院, 青島 266580; 2. 青島理工大學(xué)理學(xué)院, 青島 266520;

多體系統(tǒng)是由多個(gè)剛體或柔體通過某種形式聯(lián)結(jié)的復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)?？紤]到系統(tǒng)中存在的運(yùn)動(dòng)約束, 一般會(huì)將多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)模型表示為微分?代數(shù)混合方程組(Differential-Algebraic Equations, DAEs)。由于不方便得到 DAEs 的解析解, 對(duì)多體系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真時(shí), 需通過一些數(shù)值分析方法得到其數(shù)值解, 其中應(yīng)用最廣的是拉格朗日乘子法[1]。假如一個(gè)多體系統(tǒng)受m個(gè)完整約束C作用, 廣義坐標(biāo)用q表示, 微分?代數(shù)混合方程組描述的動(dòng)力學(xué)模型[2]可簡(jiǎn)寫為

其中,M(q,t)?Rn×n是系統(tǒng)的廣義質(zhì)量矩陣,q?Rn×1代表系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)列陣,C q(q,t) ?Rm×n為系統(tǒng)的雅可比矩陣,λ?Rm×1代表拉格朗日乘子,Q(q,q.,t)?Rn×1為系統(tǒng)的廣義力列陣(包含外力和速度相關(guān)項(xiàng))。對(duì)式(2)求導(dǎo), 可以得到系統(tǒng)的速度和加速度的約束方程:

其中,

式(1)～(4)構(gòu)成封閉的微分–代數(shù)混合方程組。

一些多體系統(tǒng)常常由于自身的幾何構(gòu)型的原因, 在運(yùn)動(dòng)過程中出現(xiàn)奇異位置, 系統(tǒng)的自由度發(fā)生突變, 導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)分叉點(diǎn)[3]。利用微分?代數(shù)混合方程組對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真時(shí), 在奇異位置處,約束方程(式(2))的雅可比矩陣的秩rank(Cq)﹤m, 給計(jì)算造成很大的困難, 導(dǎo)致仿真結(jié)果與實(shí)際情況不符, 甚至發(fā)生嚴(yán)重的失真。引起這些問題的直接原因是系統(tǒng)經(jīng)過奇異位置時(shí)約束反力的突變, 根本原因在于奇異位置處約束方程允許運(yùn)動(dòng)的子空間擴(kuò)展[4]。當(dāng)系統(tǒng)離開奇異位置時(shí), 擴(kuò)展的子空間的運(yùn)動(dòng)不再滿足約束方程, 致使系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)偏離實(shí)際運(yùn)動(dòng)。為了克服約束雅克比矩陣缺秩引起的約束反力突變, 一些數(shù)值方法會(huì)引入較大的沖擊載荷來消除不在約束空間內(nèi)的速度分量[5–6]。如果數(shù)值方法不夠穩(wěn)定, 過大的沖擊載荷也可能導(dǎo)致仿真失敗。Kurdila 等[7]給出一種修正的 Lagrange 方程, 適用于具有奇異位置的多體系統(tǒng), 但由于存在較強(qiáng)的剛性,不具有普適性。Bayo 等[8]提出一種增廣拉格朗日方法, 通過選擇較大的懲罰因子, 對(duì)約束方程的違約進(jìn)行限制, 最后利用迭代算法來求解動(dòng)力學(xué)方程組。還有一些學(xué)者將增廣拉格朗日方法應(yīng)用到非完整多體系統(tǒng)中, 用于提高計(jì)算機(jī)模擬的實(shí)時(shí)仿真效率[9–10]。增廣拉格朗日方程已成功地應(yīng)用于機(jī)械系統(tǒng)的研究和仿真, 如重型機(jī)械模擬器[11]、生物力學(xué)[12]和車輛動(dòng)力學(xué)的聯(lián)合模擬設(shè)置[13]等。Aghili 等[11]和Phong 等[12]利用雅可比矩陣的零空間, 將微分?代數(shù)方程組轉(zhuǎn)換為常微分方程組。不論系統(tǒng)是否存在奇異位置或冗余約束, 利用零空間方法得到的微分方程組形式緊湊, 其系數(shù)矩陣始終保持正定狀態(tài),方程組具有唯一解。上述方法都可以處理冗余約束和具有奇異位置的動(dòng)力學(xué)問題, 但都有局限性, 比如, 基于增廣拉格朗日方程方法依賴于懲罰參數(shù)的選取, 零空間方法中廣義逆的數(shù)值計(jì)算比較耗時(shí),影響仿真效率。

近年來, 關(guān)于高斯原理的研究呈增長(zhǎng)趨勢(shì)。姚文莉等[13–17]將極值形式的高斯原理拓展到多剛體系統(tǒng)的單邊接觸動(dòng)力學(xué)問題。Udwadia 等[18]對(duì)受約束的多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)提出新的解釋, 并基于高斯原理和廣義逆矩陣推導(dǎo)出顯示形式的動(dòng)力學(xué)方程。劉延柱[19–20]將高斯原理應(yīng)用到柔體和剛?cè)狁詈舷到y(tǒng), 推導(dǎo)高斯拘束函數(shù)的表示方法, 并探討利用最小值模型解決多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的數(shù)值方法。楊流松等[17,21]利用高斯原理, 對(duì)受冗余約束作用的多體系統(tǒng)進(jìn)行建模, 將力學(xué)中的動(dòng)力學(xué)問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)求函數(shù)極值的數(shù)學(xué)問題, 并采用智能優(yōu)化方法進(jìn)行求解, 可以大大地提高仿真的計(jì)算效率。

上述關(guān)于高斯原理的研究沒有涉及多體系統(tǒng)的奇異位置問題。本文利用高斯原理, 建立具有奇異位置的多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化模型, 直接采用數(shù)學(xué)優(yōu)化方法求解, 將具有奇異位置的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極值的優(yōu)化問題。目前, 優(yōu)化問題的求解手段主要分為兩類: 第一類是傳統(tǒng)算法,對(duì)于凸問題求解效率高, 但不適用于多極值問題,所求解多為局部最優(yōu)解; 另一類是智能算法, 此類算法具有一定的隨機(jī)性, 適用于多峰優(yōu)化問題, 魯棒性強(qiáng), 不易陷入局部最優(yōu)。粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization, PSO)是一種基于種群的隨機(jī)優(yōu)化算法, 由于易于實(shí)施, 并且可以快速地收斂到最優(yōu)解, 近年來受到廣泛關(guān)注, 并應(yīng)用于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練、功能優(yōu)化、模糊控制和模式識(shí)別等領(lǐng)域。本文對(duì) PSO 進(jìn)行改進(jìn), 并將智能優(yōu)化與傳統(tǒng)優(yōu)化方法相結(jié)合, 充分利用傳統(tǒng)優(yōu)化的快速收斂和智能優(yōu)化優(yōu)化的全局搜索特性, 求解高斯方法建立的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化模型, 探討其應(yīng)用于求解動(dòng)力學(xué)奇異位置問題的可行性。

1 建模方法

1.1 增廣拉格朗日方法(ALF)

Bayo 等[5]根據(jù)多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的哈密頓描述,提出增廣拉格朗日方法。該方法具有普遍性, 并且可以應(yīng)用到完整系統(tǒng)和非完整系統(tǒng)中。與傳統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型不同, 增廣拉格朗日方法通過增加一部分懲罰項(xiàng), 使動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)化為一組常微分方程, 表達(dá)形式如下:

其中,λ是拉格朗日乘子,κ是由懲罰因子組成一個(gè)對(duì)角方陣,Ω和μ是常系數(shù)對(duì)角方陣。這里的系數(shù)Ω和μ與約束穩(wěn)定理論中的常系數(shù)有相同的作用, 但在增廣拉格朗日方法中, 這兩個(gè)參數(shù)有特別的物理意義, 分別代表與約束方程相關(guān)的自然頻率和阻尼系數(shù)。

從式(5)可以看出, 與傳統(tǒng)的拉格朗日方法不同, 增廣拉格朗日方法不需要附加約束方程組, 它允許約束直接插入動(dòng)力學(xué)方程中, 將最初的 DAEs轉(zhuǎn)化成常微分方程組。實(shí)際上, 增廣拉格朗日方法是將懲罰的約束方程合并到動(dòng)力學(xué)方程中, 從而使約束條件得到滿足。為了求解式(5), 需要先計(jì)算出乘子λ。

將式(3)和(4)代入式(5), 可以得到

比較式(1)和(5), 可以得到

根據(jù)式(7), 可以建立一個(gè)迭代程序, 計(jì)算未知乘子λ,公式如下:

其中,i代表迭代次數(shù),λ0=0。

將式(8)左乘AT帶入式(6), 可以得到關(guān)于廣義加速度..q的迭代公式:

1.2 零空間方法(NS)

為了克服動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的奇異位置問題, Phong等[12]利用約束方程的雅克比矩陣的零空間, 推導(dǎo)出一種形式緊湊的動(dòng)力學(xué)方程——零空間方法。假設(shè)H滿足以下條件:

則H就是雅克比矩陣Cq的零空間。根據(jù)秩–零化度定理[22], 下列關(guān)系式始終成立:

對(duì)式(10)兩邊同時(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)置運(yùn)算, 可得

用HT左乘式(1), 并利用式(11), 可得

合并式(4)和(12), 則微分代數(shù)混合方程可以用矩陣表示為如下零空間方程:

其中,

事實(shí)上, 不論系統(tǒng)受到冗余約束的作用或經(jīng)過某些奇異位置引起自由度的突變, 由于 rank(HTM)+ rank(Cq)=n始終成立, 所以式(13)的方程數(shù)目始終與系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)的數(shù)目保持相等。所以, 不論雅克比矩陣Cq是否缺秩, 式(13)始終是一個(gè)正定方程組, 系統(tǒng)加速度具有唯一解, 并且可以直接求出。此外, 雖然零空間可以簡(jiǎn)化系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程,但同時(shí)也增加計(jì)算的負(fù)擔(dān)。利用約束慣性矩陣的零空間, 系統(tǒng)的加速度可以顯式地表達(dá)為

1.3 高斯優(yōu)化方法

1.3.1 基于高斯原理建立的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化模型

高斯原理是基本的變分原理。與其他積分變分原理相比, 作為一種以加速度為變量的微分變分原理, 高斯原理可以更方便地將多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為求有約束條件函數(shù)的最小值問題, 從而借助于數(shù)學(xué)的優(yōu)化算法來處理[23]。

高斯原理可以描述為最小值形式: 在任意時(shí)刻,系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)與位置和速度相同, 但加速度不同的可能運(yùn)動(dòng)相比較, 其拘束函數(shù)G取極小值, 因此高斯原理也稱為高斯最小拘束原理。其中, 拘束函數(shù)是系統(tǒng)真實(shí)運(yùn)動(dòng)偏離自由運(yùn)動(dòng)的度量。

假設(shè)系統(tǒng)由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成,mi與ir..分別是第i個(gè)質(zhì)心的質(zhì)量和加速度, 則拘束函數(shù)表達(dá)如下:

針對(duì)上述質(zhì)點(diǎn)系, 選取n個(gè)坐標(biāo)q1,q2,...,qn作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo), 所選取的廣義坐標(biāo)彼此之間可以不獨(dú)立。質(zhì)點(diǎn)的矢徑可用廣義坐標(biāo)表達(dá)為

對(duì)式(16)求導(dǎo), 可得

將式(15)表示的拘束展開, 得到

將式(18)代入式(19)可得

令

引入下列矩陣

將式(20)用上述矩陣表示, 可以得到廣義坐標(biāo)形式的拘束函數(shù):

則系統(tǒng)的廣義加速度可以通過求解以下約束優(yōu)化問題而得到:

1.3.2 奇異位置問題的求解難點(diǎn)

求解優(yōu)化模型(式(22))常用的約束優(yōu)化方法有很多, 包括傳統(tǒng)的優(yōu)化和智能優(yōu)化算法。傳統(tǒng)的優(yōu)化中常用的有罰函數(shù)法、廣義拉格朗日乘子法以及可行方向法。如果qC滿秩, 則利用傳統(tǒng)的拉格朗日乘子法得到式(22)的解是具有唯一性的。但是, 當(dāng)系統(tǒng)存在奇異位置時(shí), 在奇異位置附近約束方程(式(2))的雅克比矩陣是奇異的, 此時(shí)引用拉格朗日函數(shù)的約束最優(yōu)性條件(K-T 條件)可以寫為如下形式:

其中λ是引入的拉格朗日乘數(shù)。式(22)的全局最優(yōu)解包含于式(23)的解空間。由于qC行不滿秩, 求解式(23)可以得到無數(shù)個(gè)解。所以, 用傳統(tǒng)的優(yōu)化算法求解式(22)時(shí), 容易陷入局部最優(yōu), 導(dǎo)致所求系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的加速度出現(xiàn)分叉, 仿真與實(shí)際出現(xiàn)偏差,甚至失敗。

因此, 如果采用傳統(tǒng)的優(yōu)化算法求解奇異約束條件下的優(yōu)化問題, 難點(diǎn)在于如何在保證收斂效率的前提下跳出局部最優(yōu), 得到全局最優(yōu)解。近年來,受人類智能、生物群體社會(huì)性和自熱現(xiàn)象規(guī)律啟發(fā), 人們發(fā)明了很多智能算法, 用于解決復(fù)雜的高維數(shù)和多極值優(yōu)化問題。智能算法不依賴于初值,算法獨(dú)立于求解域, 具有全局優(yōu)化的性能, 通用性強(qiáng), 適用于并行處理。但是, 智能算法具有一定的隨機(jī)性, 所以也存在一些缺陷, 比如收斂速度慢、局部搜索能力差以及控制的參數(shù)較多等。

本文充分利用傳統(tǒng)優(yōu)化的快速局部尋優(yōu)能力和智能優(yōu)化算法的全局搜索性能, 將二者相結(jié)合來求解多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化模型, 克服因動(dòng)力學(xué)問題的奇異性導(dǎo)致的計(jì)算精度和效率問題。本文將這種采用高斯原理進(jìn)行建模, 并采用優(yōu)化算法的動(dòng)力學(xué)求解方法稱為高斯優(yōu)化方法(Gauss optimization method, GS)。

2 計(jì)算方法

2.1 粒子群算法簡(jiǎn)介

為了解決約束優(yōu)化問題, 有學(xué)者開發(fā)了不同的確定算法和隨機(jī)算法[24]。由于可行方向和廣義梯度下降等確定性方法對(duì)目標(biāo)函數(shù)的連續(xù)性和可微性給出較強(qiáng)的假設(shè), 而在實(shí)際問題中這些條件很難全部滿足, 所以它們的適用性有限。隨著優(yōu)化理論的發(fā)展, 一些智能算法得到迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用, 為非線性、多極值的復(fù)雜函數(shù)及組合優(yōu)化問題提供了切實(shí)可行的解決方案, 如遺傳算法、進(jìn)化策略、進(jìn)化規(guī)劃和粒子群優(yōu)化等。

粒子群優(yōu)化算法作為一種啟發(fā)式全局優(yōu)化技術(shù)[25–26], 可以模擬鳥群隨機(jī)搜尋食物的捕食行為。鳥群通過自身經(jīng)驗(yàn)和種群之間的交流, 調(diào)整自己的搜尋路徑, 從而找到食物。粒子群優(yōu)化每次搜尋時(shí)都會(huì)根據(jù)自身經(jīng)驗(yàn)(自身歷史搜尋的最優(yōu)位置)和種群交流(種群歷史搜尋的最優(yōu)位置), 調(diào)整自身搜尋方向和速度, 從而找到最優(yōu)解。

假設(shè)在一個(gè)D維的目標(biāo)搜索空間中, 有τ個(gè)顆粒組成一個(gè)群落, 其中第i個(gè)粒子的位置表示為一個(gè)D維的向量Xi＝(X i1,Xi2,...,XiD); 第i個(gè)顆粒的歷史最優(yōu)位置為Pi＝(Pi1,Pi2,...,PiD); 整個(gè)顆粒群迄今為止搜索到的最好位置記為Pg＝(Pg1,Pg2,...,PgD); 第i個(gè)顆粒的運(yùn)動(dòng)速度也是一個(gè)D維的向量Vi＝(Vi1,Vi2,...,ViD)。對(duì)于顆粒i, 第k+1 次迭代時(shí)的顆粒速度和位置可以表示為

其中,w是慣性權(quán)重,c1和c2是兩個(gè)隨機(jī)數(shù), rand()產(chǎn)生一個(gè)(0, 1)之間的隨機(jī)數(shù),i表示第i個(gè)顆粒,k代表迭代的次數(shù),d代表維度。本文中, 這些參數(shù)分別取為

2.2 算法流程

本文對(duì)經(jīng)典的 PSO 進(jìn)行改進(jìn), 在文獻(xiàn)[25]的基礎(chǔ)上, 增加一個(gè)傳統(tǒng)無約束優(yōu)化的可行解和上一時(shí)間步的最優(yōu)解作為額外的顆粒, 添加到初始顆粒群中, 以便達(dá)到快速收斂和全局尋優(yōu)的目的。針對(duì)奇異位置引起的求解空間的擴(kuò)張, 本文將變異算子引入粒子群優(yōu)化算法中, 進(jìn)一步增加種群的多樣性,使算法盡快跳出局部最優(yōu)解, 防止算法過早收斂。新的粒子群算法如下:

其中ρ為變異因子, 取值為2。

對(duì)具有奇異位置的多體系統(tǒng)進(jìn)行仿真的操作流程如下。

1) 預(yù)先給定仿真時(shí)間tend和時(shí)間步長(zhǎng)Δt, 給出滿足約束方程的初始條件: 速度和位移q0, 令t＝t0。

2) 計(jì)算系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M, 包括外力和速度相關(guān)項(xiàng)的廣義力矩陣Q, 約束方程的雅克比矩陣Cq以及約束方程的右端項(xiàng)η。

3) 用式(22)建立多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型, 并按照下列步驟, 求解得到系統(tǒng)此時(shí)的加速度。

① 令k=0, 初始化滿足約束條件的d維顆粒Xk,令所有顆粒的初始速度Vk＝0。

② 求得無約束目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解x0, 將最后一個(gè)顆粒更新為Xτ＝x0; 如果k=0, 則Xτ-1＝x0, 否則,Xτ-1＝qt-1。

③ 將當(dāng)前顆粒的最優(yōu)位置賦值給Pk:

④ 評(píng)價(jià)每個(gè)顆粒的目標(biāo)函數(shù)值f k(Xk), 找到最優(yōu)值, 并賦值給:

⑤ 令k=k+1, 利用式(24)～(27)更新顆粒速度和位置。

⑥ 更新每個(gè)顆粒的歷史最優(yōu)位置與群體最優(yōu)顆粒位置:

4) 對(duì)加速度進(jìn)行積分, 得到下一時(shí)刻的速度+Δt和位移qt+Δt, 并令t＝t+Δt。

5) 若t﹥tend, 則程序終止, 否則, 轉(zhuǎn)到步驟2。

2.3 3 種方法對(duì)比

盡管本文提到的3 種方法所建立的動(dòng)力學(xué)方程的形式及求解過程存在差異, 但它們?cè)谇蠼夥瞧娈悊栴}方面都具有可行性。雖然零空間方法和增廣拉格朗日方法在求解多體系統(tǒng)中的奇異問題方面可行, 但其求解速度不能滿足實(shí)際仿真的需要[8,12]。比如, 雖然零空間方法得到的動(dòng)力學(xué)方程是一個(gè)正定方程組, 但用奇異值分解方法計(jì)算約束雅克比矩陣的零空間非常耗時(shí)。增廣拉格朗日方法將一個(gè)動(dòng)力學(xué)問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)非線性問題, 并通過循環(huán)迭代來求解, 當(dāng)系統(tǒng)存有奇異位置時(shí), 迭代不一定收斂,并且十分依賴參數(shù)的選擇。

與增廣拉格朗日方法和零空間方法相比, 在求解具有奇異位置的動(dòng)力學(xué)問題時(shí), 高斯優(yōu)化方法具有以下獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。

1) 不需要進(jìn)行復(fù)雜的奇異值分解計(jì)算, 可以大大地提高求解效率。

2) 不需要選擇合適的懲罰因子, 更具有普適性。

3) 將動(dòng)力學(xué)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閮?yōu)化問題, 并通過數(shù)學(xué)優(yōu)化理論進(jìn)行求解, 擴(kuò)展了求解方式。

4) 引入粒子群算法進(jìn)行數(shù)值求解, 并借鑒遺傳算法的思想, 引入變異因子來擴(kuò)展求解空間, 在初始種群中添加與時(shí)間相關(guān)的顆粒, 豐富了種群的多樣性。

3 數(shù)值算例

如圖 1 所示, 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)由兩個(gè)質(zhì)量和長(zhǎng)度相同的均質(zhì)桿件和一個(gè)滑塊構(gòu)成, 在重力作用下,在鉛錘平面內(nèi)運(yùn)動(dòng), 重力加速度向下。假設(shè)x軸水平,y軸垂直向上, 滑塊只能沿x軸滑動(dòng), 笛卡爾坐標(biāo)為(x, 0)。兩個(gè)桿的質(zhì)量均為m1=6 kg, 長(zhǎng)度均為l=1 m, 滑塊的質(zhì)量為m2=2 kg。1θ和2θ分別是兩根桿繞x軸旋轉(zhuǎn)的角度。系統(tǒng)有一個(gè)自由度, 取q=[x,θ1,θ2]T作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。作用于系統(tǒng)的兩個(gè)完整約束表示如下:

圖1 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)Fig. 1 Slider-crank mechanism

對(duì)約束方程分別求一次和二次導(dǎo)數(shù), 可以得到速度和加速度約束方程:

約束方程的雅可比矩陣及右端項(xiàng)可以寫成如下形式:

約束方程的零空間為

同時(shí), 可以得到式(21)中的廣義質(zhì)量矩陣和廣義力列陣, 分別為

從圖 2 可以看出, 零空間方法在仿真進(jìn)行到 5 s左右時(shí), 計(jì)算結(jié)果發(fā)生突變, 滑塊的位移開始發(fā)散,不再做周期運(yùn)動(dòng), 與曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)不符。高斯優(yōu)化方法在整個(gè)仿真過程中都表現(xiàn)得比較穩(wěn)定, 而且約束方程只發(fā)生極小的違約(10–20)。由于增廣拉格朗日方程中含 3 個(gè)不確定系數(shù), 不同的取值對(duì)計(jì)算結(jié)果會(huì)有不同的影響, 本文取兩組不同的參數(shù)對(duì)曲柄滑快機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真, 分別為 μ=10, ?=1 (case 1)和 μ=5, ?=3 (case 2)。從圖3 可以看出, 當(dāng)增廣拉格朗日方程取 case 1 中參數(shù)時(shí), 系統(tǒng)的仿真比較精確穩(wěn)定; 當(dāng)取 case 2 中參數(shù)時(shí), 仿真在 8 s 左右開始失效。因此, 增廣拉格朗日方程是否保持平穩(wěn)的仿真結(jié)果依賴于選取的參數(shù),這會(huì)增加動(dòng)力學(xué)計(jì)算的復(fù)雜度。高斯優(yōu)化方法可以平穩(wěn)地經(jīng)過奇異位置, 并且只發(fā)生極小的違約, 說明與零空間方法和增廣拉格朗日方法相比, 在不進(jìn)行違約修正的前提下, 該方法更適合應(yīng)用于含有奇異位置的多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)求解。

圖2 高斯優(yōu)化與零空間方法的對(duì)比Fig. 2 Time history of displacement of point B and constraint violation obtained by GS and NS

圖3 高斯優(yōu)化與增廣拉格朗日方程的對(duì)比Fig. 3 Time history of displacement of point B and constraint violation obtained by GS and ALF

4 結(jié)論

本文以廣義坐標(biāo)形式的高斯原理作為建模方法, 從數(shù)學(xué)優(yōu)化的角度對(duì)動(dòng)力學(xué)奇異問題進(jìn)行求解。在求解極值問題的最優(yōu)解時(shí), 對(duì)傳統(tǒng)的顆粒流算法進(jìn)行改進(jìn), 將用傳統(tǒng)優(yōu)化方法得到的動(dòng)力學(xué)方程無約束最優(yōu)解以及前一時(shí)刻的最優(yōu)解作為額外的顆粒添加到初始顆粒群, 并充分利用傳統(tǒng)優(yōu)化方法的快速收斂和智能優(yōu)化的全局搜索特性, 達(dá)到提高顆粒尋優(yōu)的計(jì)算效率的目的。分別采用高斯優(yōu)化方法、零空間方法和增廣拉格朗日方程, 對(duì)一個(gè)具有奇異位置的多體系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真, 結(jié)果表明高斯優(yōu)化方法不僅具有較高的計(jì)算精度, 而且可以長(zhǎng)時(shí)間保持?jǐn)?shù)值計(jì)算的穩(wěn)定, 不會(huì)因?yàn)橄到y(tǒng)自由度的突變而導(dǎo)致仿真失敗。