廣東省佛山市順德區(qū)容山中學(xué) (528303) 潘敬貞

廣東省東莞市麻涌中學(xué) (523000) 駱妃景

1 引言

眾所周知，教材是課程標(biāo)準(zhǔn)的載體，是教材編寫者的集體智慧，也是師生教學(xué)的主要材料.從歷年高考試卷分析看，很多高考試題都是從教材習(xí)題改編、綜合、延伸、拓展、嫁接而來，具體表現(xiàn)為教材習(xí)題的數(shù)據(jù)的變更，條件的拓展，背景的變換以及結(jié)論的應(yīng)用.因此，在平時(shí)的教學(xué)和高三復(fù)習(xí)過程中，一定要重視教材，尤其要重視對(duì)教材中經(jīng)典題目的深入研究，本文對(duì)教材一道習(xí)題進(jìn)行分析、變式探究以及類比拓展來激活教材習(xí)題，試圖構(gòu)建深度教學(xué)與同行交流.

2 案例描述

2.1 片段一：?jiǎn)栴}呈現(xiàn)，挖掘設(shè)問

問題(人教版選修2-1第73頁習(xí)題6)直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB.

師：同學(xué)們，大家來看一下這個(gè)問題.(過了片刻)

師：哪位同學(xué)來說一下自己的想法？(在老師的引導(dǎo)下讓學(xué)生有充分表達(dá)自己想法的機(jī)會(huì))

生1：我想將問題轉(zhuǎn)化為直線斜率進(jìn)行證明，即證明kOA·kOB=-1.

師：非常好！這位同學(xué)是從直線斜率角度對(duì)該問題進(jìn)行證明，其他同學(xué)還有不同的想法嗎？

師：非常好！這位同學(xué)是想利用向量工具進(jìn)行求證，平面向量是解決平面解析幾何的重要工具.

師：這兩位同學(xué)都是想將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)，利用代數(shù)方法解決幾何問題，其中關(guān)鍵問題是什么？

生3：最關(guān)鍵是坐標(biāo)化，即聯(lián)立直線方程與拋物線方程求交點(diǎn)坐標(biāo).

師：大家動(dòng)手試試.(大概過了2-3分鐘)

師：哪位同學(xué)展示一下.

師：還有其它解法嗎？

師：如果聯(lián)立直線與曲線方程消元后得到的一元二次方程容易求解的，求兩點(diǎn)的坐標(biāo)也不失為好選擇，關(guān)鍵在于選擇合適方法，優(yōu)化運(yùn)算，簡(jiǎn)化解題過程，提高解題效率.

師：請(qǐng)大家思考，根據(jù)已有的解題經(jīng)驗(yàn)，本題中的“OA⊥OB”還可以怎么處理？

此時(shí)給足學(xué)生回憶與聯(lián)想，最終師生共同歸納出：

變形2 以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.

變形4 設(shè)A，B的中點(diǎn)為M，且OM⊥AB，OM2=AM·BM.

設(shè)計(jì)意圖:高三后階段復(fù)習(xí)中，回歸教材，設(shè)計(jì)低起點(diǎn)的課本習(xí)題，旨在激勵(lì)更多的學(xué)生參與課堂活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)一題多解；問題變形處理環(huán)節(jié)意在聯(lián)系平面幾何知識(shí)溝通平面向量工具，構(gòu)建知識(shí)體系，拓展學(xué)生的思維，提高學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸能力.

2.2 片段二：?jiǎn)栴}驅(qū)動(dòng)，一題多變

變式1 若直線y=3(x-2)與拋物線y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)，試問：OA⊥OB？

師：大家動(dòng)手試一下.(過了幾分鐘)

師：哪位同學(xué)來展示一下.

師：這位同學(xué)做的非常漂亮，主要用向量工具和韋達(dá)定理，思路清晰，過程簡(jiǎn)潔，大家掌聲鼓勵(lì)！(此時(shí)教室響起了熱烈的掌聲！)

變式2 若直線AB過點(diǎn)(2,0)且與拋物線y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)，試問：OA⊥OB？

師：大家動(dòng)手試試這道題.(幾分鐘后)

師：哪位同學(xué)來展示一下.

師：非常棒，這位同學(xué)思維嚴(yán)謹(jǐn)，他在設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程時(shí)很細(xì)心，先考慮直線斜率不存在的情況，這是很多同學(xué)容易遺漏的.

設(shè)計(jì)意圖：改變?cè)磫栴}的條件，由特殊到一般進(jìn)行變式探究，一方面鞏固源問題中涉及到的數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的數(shù)學(xué)品質(zhì)，另一方面，也為得到一般結(jié)論做鋪墊.

教師通過投影展示不同學(xué)生的解答情況，并對(duì)學(xué)生解答中存在的“亮點(diǎn)”和“不足”作出必要的點(diǎn)評(píng).

師：本題求解過程中存在幾點(diǎn)不足：一是有學(xué)生在設(shè)直線方程時(shí)用點(diǎn)斜式方程，遺漏了直線斜率不存在的情形；二是y1y2是通過k(x1-2)(x2-2)=kx1x2-2k(x1+x2)+4k增加了計(jì)算量.

師：大家反思總結(jié)以上幾道試題，大膽猜想有沒有什么發(fā)現(xiàn).

生7：直線過定點(diǎn)(2,0)時(shí)，滿足OA⊥OB.

師：非常棒！問題反過來是否也成立呢？大家看一下變式3.

變式3 若A，B是拋物線y2=2x上異于頂點(diǎn)O的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足OA⊥OB，試問：AB恒過定點(diǎn)嗎？

師：大家嘗試一下.(幾分鐘后)

師：誰愿意來展示一下？

師：很好，請(qǐng)大家再觀察一下定點(diǎn)(2,0)與拋物線的方程y2=2x有什么關(guān)系呢？

生9：定點(diǎn)(2,0)中的橫坐標(biāo)，恰巧是拋物線的方程y2=2x中的2p.然后我們小組進(jìn)行了猜想如下：已知A，B是拋物線y2=2px(p>0)上異于定點(diǎn)O的兩動(dòng)點(diǎn)，滿足OA⊥OB，直線AB恒過定點(diǎn)(2p,0).

師：完成的非常漂亮！那么我們現(xiàn)在是否可以初步下這樣的結(jié)論：“當(dāng)滿足OA⊥OB時(shí)直線AB恒過定點(diǎn)”.

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)課本習(xí)題的多角度探索，得到解決這一類問題的通法，同時(shí)注重方法的提煉與優(yōu)選，滲透特殊值法、轉(zhuǎn)化的思想，也為得到一般結(jié)論做鋪墊.

2.3 片段三：一般推廣，一深化理解

變式4 已知A，B是拋物線y2=2px(p>0)上異于定點(diǎn)O的兩動(dòng)點(diǎn)，滿足OA⊥OB，證明：直線AB恒過定點(diǎn)(2p,0).

師：哪位同學(xué)來展示一下.

師：真棒！如果將變式4的條件與設(shè)問調(diào)換是否同樣成立呢？大家動(dòng)手探索一下.

變式5 已知A，B是拋物線y2=2px(p>0)上異于定點(diǎn)O的兩動(dòng)點(diǎn)，若直線AB恒過定點(diǎn)(2p,0)，證明：OA⊥OB.

師：哪位同學(xué)來展示一下.

設(shè)計(jì)意圖：通過發(fā)散思考，把具體的拋物線得到結(jié)論推廣到一般情況，加深理解.

師：如果把拋物線上特殊定點(diǎn)O改為一般的定點(diǎn)結(jié)果將會(huì)怎么樣呢？大家請(qǐng)看變式6.

2.4 片段四：類比遷移，拓展延伸

變式6 過拋物線y2=2x上的點(diǎn)M(2,2)，作直線MA⊥MB交拋物線于A，B兩點(diǎn)，是否存在直線AB恒過定點(diǎn)，若存在，請(qǐng)求出該定點(diǎn)，若不存在請(qǐng)說明理由.

學(xué)生用上述解題方法和經(jīng)驗(yàn)，解出定點(diǎn)為(4,-2)，教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，然后求證.

師：誰來展示？

師：非常好！大家探索一下是否存在更一般化的結(jié)論，大家試求證一下變式7.

變式7 過拋物線y2=2px(p>0)上的一點(diǎn)M(x0,y0)作兩條互相垂直的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，如圖1.證明：直線AB經(jīng)過定點(diǎn)N(x0+2p,-y0).

圖1

師：哪位同學(xué)來展示一下？

師：太棒了！還有其它解法嗎？

師：這兩位同學(xué)非常優(yōu)秀！這樣我們得到這樣的結(jié)論：“過拋物線y2=2px(p>0)上的一點(diǎn)M(x0,y0)作兩條互相垂直的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，直線AB經(jīng)過定點(diǎn)N(x0+2p,-y0)”.

設(shè)計(jì)意圖：從具體到一般，從拋物線頂點(diǎn)的特殊位置到一般位置，這樣由淺入深，由表及里，搞清楚了該類直線恒過定點(diǎn)的性質(zhì)，使知識(shí)體系化.同時(shí)變式6讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉直線恒過定點(diǎn)的開放性問法.

2.5 鏈接課本和高考

鏈接1 (選修4-4第33頁例3探究)在例3中(O是直角坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，且OA⊥OB)，點(diǎn)A，B在什么位置時(shí)，△AOB的面積最小？最小值是多少？

采用今天方法的解答，過程如下:

鏈接2 (2017年全國(guó)3卷理科20題)已知拋物線C:y2=2x，過點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.

(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；

(2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4,-2)，求直線l與圓M的方程.

設(shè)計(jì)意圖：把分散在課本中例題、習(xí)題、高考真題聚結(jié)串聯(lián)起來，形成知識(shí)鏈，加深對(duì)一類問題的深刻理解，并且通過對(duì)課本題源的挖掘、引申、拓展，展現(xiàn)高考題的命題過程和思路軌跡，讓學(xué)生看到教材上例題、習(xí)題與高考題之間的內(nèi)在聯(lián)系，消除了學(xué)生對(duì)高考試題的恐懼感和神秘感，同時(shí)幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)，掌握方法.

3 教學(xué)反思

3.1 后期備考思考

高三后階段復(fù)習(xí)，要回歸基礎(chǔ)、回歸教材，設(shè)計(jì)低起點(diǎn)的課本習(xí)題為切入點(diǎn)，旨在激勵(lì)更多的學(xué)生參與課堂活動(dòng)，營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍，為后續(xù)的課堂教學(xué)做好鋪墊.然后通過溫和的變式，變式之間思維跨度不宜過大，綜合度不宜過高.一般從特殊情形出發(fā)，逐漸改變某些量得到一連串相關(guān)的變式題，最后觸及問題的內(nèi)核，構(gòu)建深度教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí).在此過程中，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)“四基”的理解與掌握，提升數(shù)學(xué)“四能”發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.2 復(fù)習(xí)教學(xué)要重視“導(dǎo)”

本節(jié)課所選的教材習(xí)題并沒有直接提到直線定點(diǎn)問題，但通過教師的引導(dǎo)將學(xué)生目光聚焦本節(jié)課的核心問題.教師科學(xué)的設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，通過改變定直線的斜率、過定點(diǎn)到一般直線，從特定曲線到一般曲線，從曲線上的特殊點(diǎn)到一般點(diǎn)學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的研究過程，爾后教師引導(dǎo)學(xué)生分析：?jiǎn)栴}在變式過程中弄清變化的因子和不變的本質(zhì)，從而得到一般的結(jié)論，再到鏈接課本和高考，讓學(xué)生體會(huì)發(fā)現(xiàn)問題，探究新知，應(yīng)用知識(shí)解決問題的愉快過程.教學(xué)過程由淺入深、層層遞進(jìn)，符合學(xué)生的元認(rèn)知水平，提高學(xué)生參與課堂活動(dòng)的積極性，又通過問題驅(qū)動(dòng)為教學(xué)開展注入了活力，整個(gè)教學(xué)過程教師很好的做到了教師是主導(dǎo)學(xué)生是主體的課堂角色，教學(xué)效果顯著.

3.3 挖掘教材例題、習(xí)題

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)沒有教材，可以根據(jù)所教學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)以及心理規(guī)律和學(xué)生當(dāng)前的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)能力等實(shí)際情況，全面研究課標(biāo)、研究考綱、研究考題、研究教材例題，有機(jī)整合教材例題、習(xí)題.在尊重教材例題、習(xí)題的基礎(chǔ)上，對(duì)教材例題、習(xí)題進(jìn)行推廣、變式、類比探究、改編等方式方法激活教材例題、習(xí)題，編寫復(fù)習(xí)材料.可以將教材例題、習(xí)題原先主要用來鞏固知識(shí)、深化概念理解的知識(shí)立意改編成突出能力立意，突出數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)；可將教材例題習(xí)題的單純解答問題改編成突出回顧復(fù)習(xí)知識(shí)，建構(gòu)知識(shí)體系，鞏固知識(shí)結(jié)構(gòu)；可將教材例題、習(xí)題“結(jié)構(gòu)良好”的封閉題改編成“思維發(fā)散”的開放題，如：探究型存在性問題、探索性問題、歸納猜想和演繹證明等問題，創(chuàng)造性的使用教材例題、習(xí)題，讓教材例題、習(xí)題更好地發(fā)揮其教學(xué)作用.