浙江省湖州市濱湖高級中學(xué) (313000) 鄭夢華

浙江省湖州中學(xué) (313000) 祝峰澤

數(shù)學(xué)教育基本理念是“以學(xué)生發(fā)展為本，立德樹人、提升學(xué)生核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，實現(xiàn)不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展，培養(yǎng)具有終身學(xué)習(xí)能力并適應(yīng)社會需要的人才”，數(shù)學(xué)本質(zhì)實際上是指數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程、數(shù)學(xué)思想方法的提煉以及數(shù)學(xué)理性精神的體驗，教師通過問題驅(qū)動引導(dǎo)學(xué)生在課堂中通過活動探究分析、解決問題，學(xué)生在活動探究過程中，通過親身體驗數(shù)學(xué)知識的形成過程，體會到數(shù)學(xué)知識的理性精神與科學(xué)精神，并在知識的探索過程中逐步摸索其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)研究工具，掌握并理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高學(xué)生終身學(xué)習(xí)能力，最終實現(xiàn)學(xué)生個人的發(fā)展.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中通過問題驅(qū)動讓學(xué)生知識自然生成中掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)不失為一個有效又合理的教學(xué)方法，該教學(xué)模式也能為當(dāng)下數(shù)學(xué)教育改革尋找一個新路徑.

筆者對“三角函數(shù)的概念(人教A版2019)”一課進行課堂實錄，節(jié)選部分教學(xué)片段進行分析評價，教學(xué)過程中主要通過問題驅(qū)動引導(dǎo)學(xué)生進行活動探究、獨立思考等讓學(xué)生在課堂中掌握理解三角函數(shù)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，體會其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)規(guī)律，體驗數(shù)學(xué)知識的生成過程及數(shù)學(xué)的理性精神，加深學(xué)生對三角函數(shù)的概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，從而實現(xiàn)學(xué)生的素養(yǎng)發(fā)展.

1 課堂實錄(節(jié)選片段)

1.1 在活動中提煉數(shù)學(xué)思想方法

提出問題：讓學(xué)生以三人一組為單位，組號記為A、B、C等，每一組任意畫一個銳角，記作角α、β、γ等，借助三角板，各自求出該銳角的正弦值、余弦值和正切值的近似值.

學(xué)生回答如下表：(投影儀展示，此略)

師生活動：師生一起了解三角函數(shù)的數(shù)學(xué)史，了解數(shù)學(xué)史中三角函數(shù)定義——線段比.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生對不同的銳角以及同一個銳角運用不同的線段比去計算三角函數(shù)值，從一般的銳角三角函數(shù)值計算中體會到其線段比的數(shù)學(xué)本質(zhì)定義，及數(shù)學(xué)史的角度.學(xué)生能夠從中體會到相同的定義，提煉了從一般到特殊的思想方法，為學(xué)生后續(xù)運用數(shù)學(xué)思想方法進行學(xué)習(xí)打下深厚的基礎(chǔ).并且學(xué)生是在自己的活動經(jīng)驗中進行體會，學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解和運用能夠更加深刻.

1.2 在思考中體會數(shù)學(xué)規(guī)律

提出問題：大家所求的銳角三角函數(shù)值有何特點呢？

學(xué)生回答：角的大小確定時，對應(yīng)的銳角三角函數(shù)值差不多相等，為該角所在的直角三角形中線段長度的比值.

提出問題：與你們找的點所在的位置有關(guān)嗎？

學(xué)生回答：無關(guān).

提出問題：既然銳角三角函數(shù)值與點A所在的位置無關(guān)，那你們能否找到一個點A，使銳角三角函數(shù)值計算更簡潔呢？

設(shè)計意圖：這一過程教師是通過三個問題引導(dǎo)學(xué)生思考，有何特點、是否有關(guān)、如何更簡潔等問題，通過一連串精簡的提問，給學(xué)生充足的思考時間讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)任意的銳角三角函數(shù)值的共同特征是線段比這一數(shù)學(xué)規(guī)律，以及三角函數(shù)中可以運用單位圓這一研究工具使問題更簡便，學(xué)生在自己的獨立思考之中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識中蘊含的數(shù)學(xué)規(guī)律，學(xué)生能夠?qū)σ?guī)律的形成以及理解更深刻，后續(xù)的使用也能更得心應(yīng)手，同時學(xué)生在思考過程中的體驗都能給學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)提供一些幫助.

1.3 在已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實上建構(gòu)新知

提出問題：既然銳角三角函數(shù)值sinα只與角α有關(guān)，那么sinα和角α有什么關(guān)系呢？

學(xué)生回答：(生1)三角關(guān)系；(生2) 函數(shù)關(guān)系.

提出問題：α是一個數(shù)嗎？

設(shè)計意圖：高中數(shù)學(xué)由代數(shù)、幾何、統(tǒng)計與概率幾個模塊內(nèi)容展開，而函數(shù)是代數(shù)的一個重要主線，三角函數(shù)又是函數(shù)的一個重要分支，如何將銳角三角函數(shù)值過渡到三角函數(shù)，讓學(xué)生能夠從函數(shù)的角度研究三角函數(shù)值，這對于學(xué)生來說是一個質(zhì)的變化，在這一過程，教師通過提問式，讓學(xué)生對自己的回答與他人的回答進行反思，并在反思與猜想中與自己已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實進行聯(lián)系，對已有的知識系統(tǒng)進行重新建構(gòu)，發(fā)現(xiàn)在角度與銳角三角函數(shù)值之間也有一種特殊的關(guān)系，而這種特殊的關(guān)系正符合函數(shù)的定義，在這一過程中，學(xué)生是自己通過猜想論證過程得到三角函數(shù)的函數(shù)本質(zhì)，而不是教師直接告知學(xué)生銳角三角函數(shù)也是一個函數(shù)的，學(xué)生能夠通過對自己知識系統(tǒng)進行聯(lián)想，再創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)銳角三角函數(shù)的函數(shù)本質(zhì)，這種學(xué)習(xí)方式也能為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)的概念、性質(zhì)等奠定基礎(chǔ).

1.4 運用數(shù)學(xué)工具得到數(shù)學(xué)概念

提出問題：既然sinα是一個函數(shù)，自變量是銳角α，那如果角α為其他角度時，是怎樣的呢？

學(xué)生回答：(生1) 在平面直角坐標(biāo)系作角(弧度制是在平面直角坐標(biāo)系中研究得到)；(生2)隨便作一個角.

提出問題：如果角α為其他任意角時，此時角α與sinα的定義是怎樣的？

師生活動：學(xué)生利用已有經(jīng)驗作任意角，教師則運用幾何畫板作可以轉(zhuǎn)動的任意角(以原點O為角的頂點，以x軸正半軸為角的一邊OB，轉(zhuǎn)動另一邊，表現(xiàn)任意角)，隨后學(xué)生之間進行交流探索，得到以下幾種不同結(jié)果.

學(xué)生回答(隨意作任意角)：運用直尺作直角三角形，度量長度得到三角函數(shù)值.

提出問題：你們覺得自己所作的角能清晰明了地表現(xiàn)三角函數(shù)值與角的關(guān)系嗎?如何作角才能簡潔明了地體現(xiàn)三角函數(shù)的特征？

設(shè)計意圖：教師通過問題引導(dǎo)學(xué)生將銳角拓展到任意角，任意角如何表示及其三角函數(shù)如何定義是這一教學(xué)過程的重難點，首先讓學(xué)生自己作出任意角，教師用幾何畫板作角，此時學(xué)生作角有各種情況，但是當(dāng)他們在求所作角的三角函數(shù)值時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值求解較復(fù)雜，此時讓學(xué)生進行對比討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)將直角三角形與平面直角坐標(biāo)系、單位圓相結(jié)合時，運用單位圓及坐標(biāo)能夠簡潔明了地表示出角的三角函數(shù)值，單位圓與平面直角坐標(biāo)系的教學(xué)工具是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的，由銳角到任意角，始終抓住三角函數(shù)原始定義線段比，運用單位圓，實現(xiàn)由幾何定義法——終邊定義法——單位圓定義法得到最簡潔的三角函數(shù)的定義，學(xué)生在這個過程能夠?qū)θ呛瘮?shù)的概念有一個深刻的理解和認(rèn)識，并且始終是學(xué)生去尋找工具、發(fā)現(xiàn)概念，由此發(fā)揮了“以學(xué)生為主體”的教學(xué)思想，并且在三角函數(shù)的概念獲得的過程中凸顯了數(shù)學(xué)工具的重要性，也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)選擇合適的數(shù)學(xué)工具、數(shù)學(xué)方法提供了一些經(jīng)驗.

2 感悟結(jié)語

通過本節(jié)課的教學(xué)，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)瞄準(zhǔn)學(xué)生如何“學(xué)”，讓知識不再是直接呈現(xiàn)給學(xué)生，而應(yīng)讓學(xué)生參與到課堂，喚醒學(xué)生的思考能力，讓學(xué)生在探究思考的過程中能夠了解知識的生成過程，體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法、工具，從而培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.